第02章-导数与微分习题详解.doc

第二章 导数与微分习题详解第二章 导数与微分习题2-11.解：当自变量从变到时，相应地从变到，所以导数.2.解：由导数的定义可知。3解：4. 解：（1）不能，（1）与在的取值无关，当然也就与在是否连续无关，故是存在的必要条件而非充分条件.（2）可以，与导数的定义等价.（3）可以， 与导数的定义等价.5. 解：（1） ； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）.6. 解：物体在时刻的运动速度为：，故物体在时的速度为：. 7证明：由导数定义，知：所以，。8. 解：，故在点的切线平行于直线；同理在点的切线垂直于直线.9.解：过点的直线的斜率为：，而，令，得：，所以该抛物线上过点的切线平行于此割线. 10.解：（1）连续，但因为因而，即导数为无穷大。（2），而，所以函数在处连续而，所以函数在点处可导.11.解：要使函数在处连续且可导，则应满足存在， ，又 ，要使存在，则，。 12.解：因为，所以不存在.13.解：当时，是初等函数，所以；同理，当时；当时，故，所以或.14(1)证明：设，且可导，则由导数定义即结论可证。(2)略.15.解：当时，不妨设，则在的某一邻域中有，故，所以在处也可导；当时，由于，其中，分别在处计算左、右极限，得在处的左导数为，右导数为，所以在处也可导的充分必要条件。16.略 17.略习题2-21.解：（1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.2解：（1）（2）。3解：（1）；（2）同理可证。4.解：（1），； （2）同理可求.5.解：当时，则，所以，故切线方程为.6.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）； （8）；（9）； （10）.7.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）=；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.8.解：当时，；当时；在分段点，由导数定义知所以，在也可导，故在上都可导。9解：（1），；10.解：（1）；（2）；（3）.11.解：（1）；（2）.习题2-31.解：（1）；（2）；（3）；（4），； （5），（6）.2.解：因为，运用莱布尼茨公式得.3.解：。4解：（1）；（2）。5证明：；故有6.解：（1）；（2）依次类推就可以导出它的一般规律（3）； 一般地，可得即 。（4）一般地，可得.习题2-41.解：（1）两边关于求导，得 ，整理可得； （2）两边关于求导，得，整理可得；（3）两边关于求导，得，整理可得； （4）两边关于求导，得，整理可得.2.解：两边关于求导，得整理可得 ，所以曲线在点处的切线方程为，即. 3.解：对两边关于求导，得整理可得，则。4.解：（1）应用隐函数的求导方法，得解得：，对此式再对求导。（2）应用隐函数的求导方法，得，对此式两边再对求导，得.5.解：两边取对数， ，再分别求导数， 于是求得。 （2）先两边取对数，得对上式两边关于求导，得，于是。（3）先两边取对数，得对上式两边关于求导，得即 ；（4）先两边取对数，得对上式两边关于求导，得即.6.解：（1），由参数方程的求导公式，得；（2），由参数方程的求导公式，得；7.解：，由参数方程的求导公式，得；，对应的点为，故切线方程为：法线方程为：.8.解：，由参数方程的求导公式，得又曲线在过原点，得 （1） （2）又已知曲线与直线平行，故 （3）联立（1）（2）（3）可解得：。9.解：（1），由参数方程的求导公式，得，对此式再求导，得，即；（2），对此式再求导，得。10.解：设在时刻漏斗中水面高度为，漏斗在高为处的截面圆的半径为，桶中水面的高度为.（1）建立变量与之间的关系因任何时刻，漏斗中的水量与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量，设水的密度为1，则有又因为，所以，代入上式，得（2）对上式关于求导，得，解得。由已知，当时，代入上式得，故桶中水面上升的速度为。习题2-51.解：，当时，当时，.2.解：，当时，；当时，。3.解：因为，所以，由变到时，在处的微分为。4.解：（1）因为，所以；（2）因为，；（3）因为，； （4）因为，所以； （5）因为，所以； （6）因为，所以；5.解：（1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；6. 解：圆柱体，以代入得铜的密度为，故每个插头所需要铜的质量为：。7证明：由图可知当很小时，由近似公式知故有 。8.解：设，则故；（2）设，则故；（3）设，则故； （4）设，则故；（5）设，则故；（6）设，则故。9证明：（1）设，则；（2）设，则，故；（3）设，则，故.习题 2-6 略.本章复习题A一、1.充分，必要.2.充要. 3.解：由极限定义，可得 ，所以。 4. 2. 5. .二、1.B.2.C. 3.B . 4.B. 5. D.三、解：1.因为时，所以；.2.3.4. ，.5对方程两边关于求导，得，解得所以 .注：本题也可以利用一阶微分形式不变性求解。四、解：由可导一定连续，知，由连续性，有有因，由可导性，必有，故有，可得.五、解：六、解：对式关于求导，在求导的过程中，解得由参数方程求导公式，得.七.解：在点连续可导，且，。，.八证：时，式中为的次多项式，设，则由，可得，由此即得对任意正整数都有。本章复习题B一、1.2. 3. 4. 5. . 6，得，因此所求切线方程为。二、1.D. 2.B 3.解：设切点为，则按题意有又则，所以选D.4.解：由导数定义知，再由极限的不等式性质，存在，当时，当时，故选C. 5.解：当时对应不合题意），相应地。为求法线，先求切线的斜率，于是在处的法线方程为。令得法线与轴交点的横坐标是，故选A .三、解：1.； 2.3 4.5.6.两边取对数得：两边关于求导数，得.四、解：参数