8.3集合的含义及运算.doc

第一讲 集合的含义及运算一课标要求1、理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法2、集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用3、理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法4、交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用二要点精讲1集合：某些指定的对象集在一起成为集合。（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；（4）常用数集及其记法：2集合的包含关系：（1）集合的子集、真子集（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n1个真子集）；3、主要方法：解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化5全集与补集：（1）概念 （2）简单性质：1）()=A；2）S=，=S。6交集与并集：7集合的简单性质：（1）（2） （3）（4） ;同样等价（5）（AB）=（A）（B），（AB）=（A）（B）【课前预习】1.（2008 山东，1）满足M,且M的集合M的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2、（2011新全国）已知集合M=，N=，P=,则P的子集的个数共有（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 3.设全集U=，集合M=MU，UM=，则a的值为 （ ） A.2或-8 B.-8或-2 C.-2或8 D.2或84、【07全国】设，集合，则（ ）A1 B C2 D 25（2011北京理）已知集合，若，则a的取值范围是( )A. B. C. D. 6、（2011.江西理2） 若集合，则( )A. B. C. D. 三典例解析题型1：集合的概念例1（1）设集合，若，则下列关系正确的是（ ）A B C D（2）已知集合，则 （ ） （3）设集合P=m|1m0，Q=mR|mx2+4mx40对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（ ）APQBQPCP=QDPQ=Q题型2：集合的性质例2已知集合A=1，2，3，4，那么A的真子集的个数是（ ）A15 B16 C3 D4例3（1）已知全集，A=1,如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由。（2）设集合，若，求的值及集合、题型3：集合的运算例4（1）（06全国理，2）已知集合Mx|x3，Nx|log2x1，则MN（ ）A Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|2x3（2）（06安徽理，1）设集合，则等于（ ）A B C D题型4：图解法解集合问题例5（1）设全集，若，则 ， （2）已知全集IN*，集合Axx2n，nN*，Bxx4n，nN，则（ ）AIABBI（A）BCIA（B）DI（A）（B） (3)（2009湖南卷）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .题型5：集合综合题例6设集合A=,B.(1)若AB=,求实数a的值；(2)若AB=A,求实数a的取值范围；(3)若U=R，A（UB）=A.求实数a的取值范围. 变式:设全集U1,2,3,4,5,6，集合A、B都是U的子集，若AB1,3,5，则称A、B为“理想配集”，记作(A，B)这样的“理想配集”(A，B)共有()A7个 B8个C27个 D28个四思维总结1、区分集合中元素的形式：如；。2、空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。3、两个集合的叫、并、补的运算分别与逻辑联结词的且、或、非对应，但不能等同和混淆。4、数形结合的思想法在集合的运算中也是常见的，利用文氏图和数轴来解题有时显得更直观和方便。右图的四个区域的表示应该牢记。5集合的简单性质：（1）（2）（3）（4） ;同样等价（5）（AB）=（A）（B），（AB）=（A）（B）六.课后练习一.选择题1（2011福建理1）i是虚数单位，若集合，则（ ） A B C D 2（2011湖北理2）已知，则 ( )A B C D 3.（2011山东理1）设集合 M =x|，N =x|1x3，则MN = ( )A1,2） B1,2 C（ 2,3 D2,34.（2011上海理2）若全集，集合，则 . 5.（2011江苏1）已知集合则 .6. （2011广东理2）已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为 （ ）A0B1C2D37.已知，则可以是（ ）A B C D二、填空题8.已知集合，那么 . 9.(2008江西理2)定义集合运算：A*B=设A=B则集合A*B 的所有元素之和为 .10.(2008福建理16) 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、bP，都有a+b、a-b、ab、P（除数b0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集也是数域.有下列命题:整数集是数域；若有理数集QM,则数集M必为数域；数域必为无限集；存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题11.已知集合.（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.12.（1）已知A=a+2，（a+1）2，a2+3a+3且1A，求实数a的值；（2）已知M=2，a，b，N=2a，2，b2且M=N，求a，b的值.13.已知集合A=，B=. （1）当m=3时，求A（RB）；（2）若AB，求实数m的值.14.设集合，问是否存在非零整数a，使AB？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.第一讲 集合的含义及运算一课标要求1、理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法2、集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用3、理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法4、交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用二要点精讲1集合：某些指定的对象集在一起成为集合。（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；（4）常用数集及其记法：2集合的包含关系：（1）集合的子集、真子集（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n1个真子集）；3、主要方法：解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化5全集与补集：（1）概念 （2）简单性质：1）()=A；2）S=，=S。6交集与并集：7集合的简单性质：（1）（2）（3）（4） ;同样等价（5）（AB）=（A）（B），（AB）=（A）（B）【课前预习】1.（2008 山东，1）满足M,且M的集合M的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 2、（2011新全国）已知集合M=，N=，P=,则P的子集的个数共有（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B3.设全集U=，集合M=MU，UM=，则a的值为 （ ） A.2或-8 B.-8或-2 C.-2或8 D.2或8答案：D4、【07全国】设，集合，则（ C ）A1 B C2 D 25（2011北京理1.）已知集合，若，则a的取值范围是 C B. C. D. 【解析】：，选C。6、（2011.江西理2） 若集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】，三典例解析题型1：集合的概念例1（1）设集合，若，则下列关系正确的是（ ）A B C D(1)解：由于中只能取到所有的奇数，而中18为偶数。则。选项为D；点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。（2）已知集合，则 （ ） 解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简（3）设集合P=m|1m0，Q=mR|mx2+4mx40对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（ ）APQBQPCP=QDPQ=Q(3)解：Q=mR|mx2+4mx40对任意实数x恒成立，对m分类：m=0时，40恒成立；m0时，需=（4m）24m（4）0，解得m0。综合知m0，Q=mR|m0。答案为A。点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。集合中含有参数m，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。题型2：集合的性质例2已知集合A=1，2，3，4，那么A的真子集的个数是（ A ）A15 B16 C3 D4例3（1）已知全集，A=1,如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由。解：；，即0，解得当时，为A中元素；当时，当时，这样的实数x存在，是或。另法：，0且或。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。（2）设集合，若，求的值及集合、解：且，（1）若或，则，从而，与集合中元素的互异性矛盾，且；（2）若，则或 当时，与集合中元素的互异性矛盾，； 当时，由得 或 由得，由得，或，此时题型3：集合的运算例4（1）（06全国理，2）已知集合Mx|x3，Nx|log2x1，则MN（ ）A Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|2x3（2）（06安徽理，1）设集合，则等于（ ）A B C D（1）解：由对数函数的性质，且21，显然由易得。从而。故选项为D。点评：该题考察了不等式和集合交运算。（2）解：，所以，故选B。点评：该题考察了集合的交、补运算。题型4：图解法解集合问题例5（1）设全集，若，则，解法要点：利用文氏图（2）已知全集IN*，集合Axx2n，nN*，Bxx4n，nN，则（ B ）AIABBI（A）BCIA（B）DI（A）（B）题型5：集合综合题例6设集合A=,B.(1)若AB=,求实数a的值；(2)若AB=A,求实数a的取值范围；(3)若U=R，A（UB）=A.求实数a的取值范围. 解 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A= （1）AB=,2B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0,a=-1或a=-3. 当a=-1时，B=满足条件；当a=-3时，B=满足条件；综上，a的值为-1或-3. （2）对于集合B，=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).AB=A,BA,当0,即a-3时，B=，满足条件；当=0，即a=-3时，B=，满足条件；当0，即a-3时，B=A=才能满足条件， 则由根与系数的关系得即矛盾；综上，a的取值范围是a-3. （3）A（UB）=A，AUB，AB= 若B=，则0符合；若B，则a=-3时，B=，AB，不合题意；a-3，此时需1B且2B.将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）；将1代入B的方程得a2+2a-2=0a-1且a-3且a-1例7设全集U1,2,3,4,5,6，集合A、B都是U的子集，若AB1,3,5，则称A、B为“理想配集”，记作(A，B)这样的“理想配集”(A，B)共有()A7个 B8个C27个 D28个解析：由AB1,3,5，可按AB分成以下四类求解：若AB1,3,5，则“理想配集”(A，B)只有一个；若AB1,3,5,2或AB1,3,5,4或AB1,3,5,6，则“理想配集”(A，B)各有2个，共计6个；若AB1,3,5,4,6或AB1,3,5,2,4或AB1,3,5,2,6，则“理想配集”(A，B)各有22个，共计32212个；若AB1,3,5,2,4,6，则“理想配集”(A，B)有238个所以“理想配集”(A，B)共有1612827个，故应选C.点评：该题立意新颖，背景公平考查集合的概念及运算，运用数学中分类讨论思想解题练习 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、bP，都有ab、ab、ab、 P(除数b0)，则称P是一个数域例如有理数集Q是数域；数集Fab |a，bQ也是数域有下列命题：整数集是数域；若有理数集QM，则数集M必为数域；数域必为无限集；存在无穷多个数域其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)解析：整数a2，b4， 不是整数；如将有理数集Q，添上元素 ，得到数集M，则取a3，b ，abM；由数域P的定义知，若aP，bP(P中至少含有两个元素)，则有abP，从而a2b，a3b，anbP，P中必含有无穷多个元素，对设x是一个非完全平方正整数(x1)，a，bQ，则由数域定义知，Fab |a、bQ必是数域，这样的数域F有无穷多个答案：例8（2009湖南卷）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 .解: 设所求人数为，则只喜爱乒乓球运动的人数为，故. 注：最好作出韦恩图！四思维总结1、区分集合中元素的形式：如；。2、空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。3、两个集合的叫、并、补的运算分别与逻辑联结词的且、或、非对应，但不能等同和混淆。4、数形结合的思想法在集合的运算中也是常见的，利用文氏图和数轴来解题有时显得更直观和方便。右图的四个区域的表示应该牢记。5集合的简单性质：（1）（2）（3）（4） ;同样等价（5）（AB）=（A）（B），（AB）=（A）（B）六.课后练习一.选择题1（2011福建理1）i是虚数单位，若集合，则 （ ） A B C D【答案】B 2（2011湖北理2）已知，则 ( )A B C D 【答案】A3.（2011山东理1）设集合 M =x|，N =x|1x3，则MN = ( )A1,2） B1,2 C（ 2,3 D2,3【答案】A4.（2011上海理2）若全集，集合，则 . 【答案】5.（2011江苏1）已知集合则 .【答案】1，26. （2011广东理2）已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为 （ ）A0B1C2D3【答案】C7. (2011福建省古田县适应性测试)已知，则可以是（ ）A B C D【答案】C二、填空题8.已知集合，那么 . 【答案】9.(2008江西理2)定义集合运算：A*B=设A=B则集合A*B 的所有元素之和为 .答案 610.(2008福建理16) 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、bP，都有a+b、a-b、ab、P（除数b0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集也是数域.有下列命题:整数集是数域；若有理数集QM,则数集M必为数域；数域必为无限集；存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上)答案 三、解答题11.