中学数学中证明的教育价值.doc

中学数学中证明的教育价值-数学教育热点问题系列访谈之三* 访谈之一见本刊2004年第9期； 访谈之二见本刊2005年第6期。 作者简介：史宁中，博士，东北师范大学校长，教授，统计学博士生导师、数学课程与教学论博士生导师，国务院学科评议组成员，国家自然科学基金评委会成员，中国教育学会副会长，全国中小学数学教材审查委员（中学数学教材主审委员）； 郭 民（1972-），东北师大数学与统计学院副教授，博士。史宁中， 郭 民（东北师范大学，吉林长春130024）摘 要：几何证明在本质上是一种方法论，学生学习欧氏几何、经过这种论证方法的训练，其作用不限于几何学、甚至不限于数学，对于学生学习其他学科，对于学生未来走向社会都是很有益处的，这便是教育价值所在。数学教学必须尊重学生身心发展的规律，有关逻辑推理的数学教学不能出现的太早，因为逻辑推理是基于概念和符号的，而对于孩子来说，建立概念、特别是抽象的概念是很困难的。小学阶段主要是认同；初中阶段可以逐渐建立概念、以及在此基础上的逻辑推理，但必须有物理背景；到了高中，才可以逐步渗透形式化的概念、以及在此基础上的逻辑推理。过分强调演绎逻辑的数学教学，是不利于创新人才培养的。归纳推理有利于发现新的命题，是培养创新性人才所必需的。关键词：数学证明；欧氏几何；几何原本；演绎推理；归纳推理；教育价值；方法论当前数学教育界讨论的一个热门话题就是如何具体处理中学几何课程问题，争论的焦点之一是如何看待平面几何中逻辑推理(数学证明)的教育价值。数学证明的含义是什么？数学证明的教学观念发生了怎样的变化？应当怎样理解数学证明的教育价值？带着这些问题，我们进行了较长时间的专题访谈和深入研讨。 访谈对象：史宁中教授（以下简称史教授）。访谈形式：专题访谈，多人参加讨论班式的访谈；辅以资料查询。话题1问： 对于全日制义务教育数学课程标准（实验稿），一些数学家提出平面几何的内容还是必要的，并且指出，其不必要性并不在于知识本身，而在于平面几何的数学证明能够培养学生的逻辑推理能力，您怎样看待这些数学家的观点？史教授：我想，他们的提法是有道理的。这里所说的平面几何主要是指欧氏（欧几里得）几何，它曾经是中学（甚至包括高中）数学教学的主要内容。随着社会的发展，就知识本身来说，欧氏几何的教育价值已经不大了。因此有些国家，比如美国，虽然保留了几何的名称，但已经不是欧氏几何的内容了。我曾查阅了有关资料，希望了解美国是如何通过其他知识的传授，让学生掌握类似欧氏几何那样系统证明的思想的，很可惜，没有找到，虽然他们谈到了这样的思想：“他们（指学生）应当能用直接证明的方法确定一个假设的真假与否。这样的推理一直是欧氏几何的核心，但也应当把它应用于其他所有的数学领域。” 事实上，我在那些资料中只找到了个案的证明方法，但那不是欧氏几何证明方法的本质。话题2问： 您认为欧氏几何证明的本质是什么呢？在义务教育阶段欧氏几何又有什么教育价值呢？史教授：这是一个非常难以回答的问题。人们通常把平面几何证明与欧氏几何证明等同看待。虽然人们知道，早在欧几里得之前，泰勒斯、柏拉图、毕达哥拉斯等人就研究平面几何，并且得到许多重要结果，但是人们仍然认定几何证明（因而数学证明）渊源于欧几里得，这就涉及到欧氏几何证明的本质。我想，欧氏几何证明的本质有两条：一个是给出了证明的出发点，即公理、公设和定义；一个是给出了证明的方法，即演绎法或三段论。欧几里得从5条公理和5个公设出发得到467个定理。这样，欧氏几何就形成了一个体系，这个体系被后人称为公理化体系。事实上，欧氏几何的论证方法派生于古希腊的思辨风尚。古希腊的哲学思想十分活跃，哲学家们热中于辩论，罗素在他的西方哲学史中很生动地描写了苏格拉底的辩论。亚里士多德总结了人们辩论的经验，认为在进行论理之前，必须建立起禁得起推敲的、得到大家认可的规则，他说：“推理是一种论证，其中有些被设为前提，另外的判断则必然地由它们发生。当推理由以出发的前提是真实的和原始的时，或者当我们对于它们的最初知识是来自于某些原始的和真实的前提时，这种推理就是证明。” 这已经很清晰地表明了公理化体系的本质。另一方面，论证的形式也被亚里士多德确定下来了，其核心就是三段论,就是人们常说的，大前提、小前提和结论。我们分析一下三段论，就能够看到欧氏几何证明的根基。三段论包括四个格,最为本质的是第一格。第一格有下面四种形式:全称肯定形:凡人都有死,苏格拉底是人,所以苏格拉底有死。全称否定、全称肯定、全称否定形:没有一条鱼是有理性的,所有的鲨鱼是鱼,所以没有一条鲨鱼是有理性的。全称肯定、特称肯定、特称肯定形:凡人都有理性,有些动物是人,所以有些动物是有理性的。全称否定、特称肯定、特称否定形:没有一个希腊人是黑色的,有些人是希腊人,所以有些人不是黑色的。我之所以谈这些，是希望在更高的层次，即方法论的角度来分析欧氏几何证明。可以看到，演绎推理是一个由一般到特殊的论证方法。这种论证方法体现了两个基本特性：顺序性和严密性。其中，顺序性表现为：在证明中，不能使用尚未定义的概念，不能使用尚未证明的命题。严密性表现为：按照逻辑，一步一步地进行推理，每一步都不能凭借直觉。这种论证方法希望达到的目标是：用于任意一个前提，推导出的结果和前提一样可靠，由此，如果前提为真，则结论也为真。后来，这种论证方法成为数学证明的主要方法，被称为演绎逻辑。因此，几何证明在本质上是一种方法论。学生学习欧氏几何、经过这种论证方法的训练，其作用不限于几何学、甚至不限于数学，对于学生学习其他学科，对于学生未来走向社会都是很有益处的，这便是教育价值所在。当然，如果我们能找到一个教学内容，既能体现思维训练，又能与现代生活有密切联系，那么，这个教学内容就可以取代欧氏几何，就像话题1中所希望的那样。话题3问： 根据您的描述，欧氏几何证明是不是很繁杂、很枯燥呢？据了解，现在有许多中学生对于平面几何的学习有厌学情绪和为难情绪。史教授：恰恰相反，欧氏几何的哲理性是非常引人入胜的，对问题的探索过程也是富有挑战性、能够引发好奇心的。许多数学家、科学家正是由于欧氏几何的吸引才走上了研究之路的。年青的牛顿原本是一个厌学的学生，是从读了几何原本之后开始了他天才的思维,两年后他发明了微积分；上个世纪最伟大的数学家希尔伯特也对欧氏几何有浓厚的兴趣，研究并改造了几何公理系统,用形式化的符号语言取代欧氏几何的自然语言，并把他的著作命名为几何基础。但是，现在中学的平面几何教学，过分地强调形式化的东西，忘却了平面几何教学的价值，就把引发学生思考的推理过程演变为枯燥的表述格式。这样的教学和评价形式就必然会挫伤学生学习平面几何的兴趣。我们来看下面的例子：证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。我们先设这个圆的圆心为O，圆外一点为P，两个切点分别为A和B，分析下面两种叙述方法： 证明：连接OA和OB。因为PA和PB是圆的切线，则PAO=PBO=90，即POA和POB均为直角三角形。又因为OA=OB和OP=OP，则POA与POB全等。于是有PA=PB。 证明：连接OA和OB。 PA和PB是圆的切线（已知）， PAO=PBO=90（切线性质）， 即POA、POB为直角三角形。 OA=OB（同圆半径相等），OP=OP， POAPOB（斜边直角边定理）， PA=PB（对应边相等）。上述两种证明在本质上是等价的。第一种证明是根据思维逻辑的脉络叙述的；第二种证明是形式化的三段论，被称为综合法证明。因为第二种证明便于按步骤评分，被许多地方定为考试的标准格式。仔细体会可以发现，第二种证明拘泥于形式，是不符合思维过程的，因而也容易打乱人的思维过程。表面上看，这种格式似乎是滴水不漏，事实上，这种格式要求学生死记硬背一些东西，特别是，打乱了人的思维过程就是打乱了思维的顺序性和严密性，使得思维过程变得枯燥。我想，在欧氏几何的教学中，可能是因为这种形式化的要求，使得学生感到学习无趣。话题4问：是不是可以认为欧氏几何的证明方法完美无缺的呢？史教授：从验证的角度思考，是很难找出破绽的，但是在公理化体系上却出现了问题。几何原本是如此的严密系统，以至于在两千多年的时间里，人们原则上已不能也不需要对它再增加什么新的东西，几何学教科书也不过是几何原本的通俗改写而已。问题首先出在几何原本中的第五公设，即平行线公设：“如果一条直线与两条直线相交，并且在同侧所交出的两内角之和小于两个直角，则这两条直线无限延长后必在该侧相交。”后来，中学教材沿用了第五公设的等价命题：“在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线平行。”因为这个公设不像其他公理和公设那样显然，许多数学家企图证明这个结论，然而，均以失败告终。直到1826年，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基从另一个角度解决了这一问题。罗巴切夫斯基的做法是：保留其他公理和公设，以第五公设的负判断(即否定判断)来代替第五公设：“过平面内直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交。”然后依据欧氏的逻辑推理，也构造出了一个循序渐进、无矛盾、有根据的确定的体系，这就是罗巴切夫斯基几何学。由于罗巴切夫斯基几何学找不到欧氏几何那样的现实意义，所以，罗巴切夫斯基把它称为“虚拟的几何学”。后来，人们根据这个想法，创造出几种类型的几何，均被称为非欧几何。直到爱因斯坦把其中一种非欧几何即黎曼几何成功地用于相对论，人们才发现，这种创造出来的几何也可能是威力无穷的。当然，这是后话。罗巴切夫斯基几何学的功效在于，使人们看到欧氏几何的逻辑结构并不是十全十美的，这在数学界引起了极大的震动。受此影响，以及当时的微积分缺少逻辑基础这一事实，促使数学家们开始严肃地思考：数学证明应该在怎样的基础上进行？数学学科应该建立怎样的逻辑基础？数学家为了使他们的学说建立合适的逻辑基础，开展了一场名为批判的运动，从波尔察诺、柯西开始，维尔斯特拉斯、戴狄金、康托、皮亚诺等人相继对算术、代数和数学分析给出一个公理基础。希尔伯特等人用形式化的方法改造了欧氏几何的公理基础。希尔伯特把公理系统结构的基本特性概括为五个方面：(1)基本概念的列举；(2)定义的叙述；(3)公理的叙述；(4)定理的叙述；(5)定理的证明。他认定所研究的对象只是形式的语言符号，并用介于、合同于和属于等词来表示研究对象之间特定的相互关系。在此基础上，给出了20条研究对象整体结构的公理,按照演绎规则建造了体系,实现了更高的抽象。希尔伯特还提出良好的公理系统的三项基本要求：(1)相容性；(2)独立性；(3)完备性。希尔伯特希望把整个数学都公理化，并证明无矛盾性，这一奢望被哥德尔打破了。1931年哥德尔在数学物理月刊发表了“论数学原理和有关系统中形式不可判定命题（I）”，指出了公理化的局限性：任何一个数学分支都做不到完全的公理推演，没有一个数学分支能保证自己没有内部矛盾。我们也应当看到，虽然在公理体系上有如此大的变动，但在支配证明方法的逻辑本身并没有根本性的改进。话题5问： 到了现代，数学证明的方法本身依然如故吗？史教授：开始有变化了。到了现代，开始有人对数学证明的传统教学提出了不同的看法。一种观点被称为“数学证明消亡论”：1993年，科学的美国杂志上发表了题为“证明的死亡”文章，认为可以通过计算机的实验来建立有效的命题。理由之一就是利用计算机对四色定理的证明：除了计算机之外，任何人也不可能进行如此长时间的计算。还有一种在本质上类似的观点，被称为“数学证明变异论”：1993年，美国明尼苏达大学几何中心的数学家提出“实验证明”，并出版了实验数学杂志，认为不能把逻辑推理作为数学证明数学的唯一手段，通过计算机的数学实验也能判断数学命题的正确性。认为实验证明将会在数学证明中越来越获得重要的地位，并且预言，数学开始由分析科学走向实验科学。事实上，现代科技领域广泛流行的计算机模拟，也是这种观点的注释之一。这些变化，也引起了美国数学教育家们极大的兴趣，在美国形成一股潮流，引导中学生关注实验数学，并把数学教室建设成为数学实验室。在西欧和北美的一些国家，传统的数学证明在教学中的地位也在弱化，正如我在话题1中谈到的那样。话题6问： 那您是如何看待这些变化的呢？史教授：我想，我们的数学教学必须尊重学生身心发展的规律，我在一些访谈中也多次提到，有关逻辑推理的数学教学不能出现的太早，因为逻辑推理是基于概念和符号的，而对于孩子来说，建立概念、特别是抽象的概念是很困难的。我总的想法是：小学阶段主要是认同；初中阶段可以逐渐建立概念、以及在此基础上的逻辑推理，但必须有物理背景；到了高中，才可以逐步渗透形式化的概念、以及在此基础上的逻辑推理。至于证明方法，除了演绎推理的三段论之外，还有数学归纳法、反证法、运算（一般的代数运算）等，我也支持借助计算机模拟进行证明，虽然不够严格，但是模拟的结果可以说明一个预想的命题在什么样的条件下大概是正确的，这总比完全不知道要好的多！除此之外，演绎逻辑还有很大的弱点，在数学教育中必须引起我们的注意。话题7问：您能不能谈一下演绎逻辑的弱点是什么呢？史教授：这个弱点是基于方法论的。我们已经谈到，演绎逻辑在本质上是基于亚里士多德的三段论。你们仔细地思考一下就可以感悟到：三段论不能用于发现新的命题，因为三段论的功能在于验证结论，而结论本身是事先知道的。在欧氏几何中，这个问题表现的非常突出，欧氏几何的问题往往可以模式化为：已知A求证B，其中A为命题条件，B为命题结论，显然这里的B是有确切含义的。这一点，正如罗素说：“归纳法不象演绎法那样确切可信，它只提供了或然性而没有确切性；但另一方面，它却给我们以演绎法所不能给我们的新知识。一切重要的推论全都是归纳的而非演绎的。”。因此，过分强调演绎逻辑的数学教学，是不利于创新人才培养的。另一种用于论证的思维逻辑是归纳逻辑，其中包括类比。虽然亚里士多德的工具论中也提到归纳，但那是完全归纳，本质上也可以用于演绎推理。这里所说的归纳是指不完全归纳，是培根在他的新工具论中提出时，休谟把这种方法用于因果关系的研究，最终由穆勒集大成形成归纳逻辑体系。关于归纳推理我已经谈的很多了，在这里不想更多地重复。我只想强调的是，用归纳推理得到的结果不一定是正确的，还需要用演绎推理来给予验证。因此，波利亚称之为“合情推理”；美国数学教育的原则和标准称之为非直接证明，而称演绎法为直接证明（见话题1）。但是，归纳推理有利于发现新的命题，是培养创新性人才所必需的。参考文献：1 中华人民共和国教育部. 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）M，北京:北京师大出版社，2001.2全美数学教师