2.1.1椭圆及其标准方程优秀课件(公开课).ppt

2 1 1椭圆及其标准方程 仙女座星系 星系中的椭圆 一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 F1 F2 两焦点的距离叫做椭圆的焦距 F1F2 1 椭圆的定义 平面内到两个定点F1 F2的距离之和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 几点说明 1 F1 F2是两个不同的点 2 M是椭圆上任意一点 且 MF1 MF2 常数 3 通常这个常数记为2a 焦距记为2c 且2a 2c 4 如果2a 2c 则M点的轨迹是线段F1F2 5 如果2a 2c 则M点的轨迹不存在 由三角形的性质知 随堂练习 用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆 1 到F1 2 0 F2 2 0 的距离之和为6的点的轨迹 2 到F1 0 2 F2 0 2 的距离之和为4的点的轨迹 4 到F1 2 0 F2 0 2 的距离之和为3的点的轨迹 因 MF1 MF2 6 F1F2 4 故点M的轨迹为椭圆 因 MF1 MF2 4 F1F2 4 故点M的轨迹不是椭圆 是线段F1F2 3 到F1 0 2 F2 0 2 的距离之和为3的点的轨迹 因 MF1 MF2 4 F1F2 4 故点M的轨迹不存在 如图 建立直角坐标系xOy 使x轴经过点F1 F2 并且 点O与线段F1F2的中点重合 设点M x y 是椭圆上任一点 椭圆的焦距为2c c 0 焦点F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a MF1 MF2 2a 2 椭圆标准方程的推导 讲授新课 O X Y F1 F2 M 如图所示 F1 F2为两定点 且 F1F2 2c 求平面内到两定点F1 F2距离之和为定值2a 2a 2c 的动点M的轨迹方程 解 以F1F2所在直线为X轴 F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系 则焦点F1 F2的坐标分别为 c 0 c 0 c 0 c 0 x y 设M x y 为所求轨迹上的任意一点 则 MF1 MF2 2a O X Y F1 F2 M c 0 c 0 x y 两边平方得 a4 2a2cx c2x2 a2x2 2a2cx a2c2 a2y2 即 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 因为2a 2c 即a c 所以a2 c2 0 令a2 c2 b2 其中b 0 代入上式可得 b2x2 a2y2 a2b2 两边同时除以a2b2得 a b 0 这个方程叫做椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x轴上 a b 0 椭圆的标准方程 是F1 c 0 F2 c 0 且c2 a2 b2 它所表示的椭圆的焦点在x轴上 焦点 讲授新课 讲授新课 如果使点F1 F2在y轴上 点F1 F2的坐标是F1 0 c F2 0 c 则椭圆方程为 a b 0 如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上 两种形式的标准方程的比较 与 a A1 y O F1 F2 x B2 B1 A2 c b 椭圆方程的几何意义 椭圆的标准方程 MF1 MF2 2a 2a F1F2 c 0 c 0 0 c 0 c b2 a2 c2 分母哪个大 焦点就在哪一根坐标轴上 答 在x轴上 3 0 和 3 0 答 在y轴上 0 5 和 0 5 答 在y轴上 0 1 和 0 1 焦点在分母大的那个轴上 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上 写出焦点坐标 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 1 a 4 b 1 焦点在x轴上 2 a 4 b 1 焦点在坐标轴上 或 例 椭圆的两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 求椭圆的标准方程 解 椭圆的焦点在x轴上 设它的标准方程为 2a 10 2c 8 a 5 c 4 b2 a2 c2 52 42 9 所求椭圆的标准方程为 5 若方