第25单元 函数奇偶性的认知与延伸.doc

函数奇偶性的认知与延伸纵观中学数学的函数体系，函数象一棵长青的大树：函数的概念是“根”，函数的性质是“干”，函数的重要命题以及基本函数则是树干上生出的主要枝杈.其中，奇函数与偶函数作为对偶范畴，它们一方面相互对立，另一方面又相互依存，相互联系和相互贯通。注意到奇函数与偶函数“本是同根生”亲缘关系，由偶函数性质引出的命题，与由奇函数性质引出的相应的命题，在具有鲜明个性的同时，又会“具有惊人的相似之处”。认知函数奇偶性的本质，揭示函数图象的对称性与函数之间的联系，审题时便会目光犀利，入骨三分；解题时自然转换灵活，得心应手。一、 关于偶函数性质的认知与延伸1、原型：函数f()为偶函数 函数f()的图像关于y轴对称.即 对函数f()定义域内每一个都有 f() =f() 函数y= f()的图象关于直线=0对称认知：函数关系式与对称轴方程之间的联系（1）几何角度：数轴上与的对应点关于点=0对称.（2）代数角度： 关系式：f() =f()，即f(0) =f(0)对称轴：=02、延伸（1）延伸之一：函数图象自身关于直线=a对称我们由上述对对称轴=0展开联想：直线=0可视为直线=a的特例.此时，以“=a”替代“=0”，进而分别以a替代上述等式中的0（f() =f()即f(0) =f(0+)），便得出作为原型之引申的结论1. 把握住函数关系式与对称轴方程之间的这一联系，如下结论便应运而生. 我们不难证明上述结论正确，上述三个函数图象自身关于直线=a对称的结论彼此等价，这为我们解决相关问题时灵活转换，巧妙变通提供了理论的支持.（2）延伸二：两个函数图象关于直线=对称.“一分为二”与“合二为一”是辩证的统一.不论是字面理解还是哲学意义，“一分为二”与“合二为一”都是既相互对立，又相互依存、相互联系和相互贯通的，注意到上述函数关系() =()等均是两个不同函数 “合二为一”的产物，于是循着 “合二为一” 与“一分为二”的辩证关系，考察各个恒等式两边分别对应的一对函数之间的联系，寻出关于函数图象对称性的另一类结论.（）原型：函数y=()与y=()的图象关于直线=0对称探究：寻觅上述两个函数与它们图象的对称轴之间的联系，在“合二为一”的形式之下，我们考察的是两式相加，其和与对称轴的联系.循着对立联想的思路，如今在“一分为二”之后，首先想到考察相同位置的两式相减，其差与对称轴之间的联系： （）延伸循着延伸之一中结论的顺序，它们各自繁衍出新的不同结论.结论1： 结论2： 结论3：结论4： 例1.设f()是定义在R上的偶函数，其图象关于直线=2对称，已知当-2，2时，f()=+，求当-，2时的f()的解析式.解：从进一步认知f()的性质切入，由函数 f()的图象关于直线 =2对称知，对任意都有f(-)= f(+4)（为便于与“f()为偶函数”这一条件建立联系而作出这一选择）又f() 为偶函数 f(-) =f()由以上两式得 f(+4) =f() f()为周期函数且4是 f()的一个周期.而当-，2时4+-2，2由已知条件得 f(4+) =-(+4)2+1 于是由，得 f() =-(+4)2+1，即当-，2时，f()= -8-15例2.设f()是定义在R上的偶函数，且 f(+3) =1-f()，又当（0，1时，f()=2，求f(17.5)的值.解：从进一步认知f()的性质切入.f(+3)=1- f() 注意到的任意性，在中以-替代得f(-+3)=1- f(-) 又f()为偶函数 f(-)= f()由、得f(3-)= f(3+)f()图象关于直线=3对称f(-)= f(6+)由、得f(+6)= f()即f()是以6为周期的周期函数.于是有f(17.5)=f(17.536)=f(0.5)=f(0.5) 再注意到当x (0,1时，f(x)=2x,由得f(17.5)=f(0.5)=20.5=1例3.设y=f(x)是定义在-1,1上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x 2,3时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a为常数且a R)（1）求f(x);（2）是否存在a 2,6或a (6,+),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：（1）设点M(x,f(x)为函数y=f(x)图象上任意一点，则点M关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x).y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称.点N(2-x,f(x)在y=g(x)图象上.由此得f(x)=g(2-x)（利用引申之二的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称）设x -1,0，则2-x 2,3.此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3又f(x)为偶函数 f(-x)=f(x),x -1,1.当x 0,1时，f(x)=2ax-4 x3 （2）注意到f(x)为偶函数，只须研究f(x)在0,1上的最大值.()当a (2,6时，由0 x 1得a-2x20，f(x)=2x(a-2 x2)= =（当且仅当4 =a2 ,即x= 0,1时等号成立）.由题意知,f(x)的最大值为12,令 =12得 =486 ,a6,这与a (2,6矛盾,故此时满足条件的a不存在.()当a=2且0x1时,f(x)=4x(1 )同理可证 f(x)= (当且仅当2 =1- ,即x= 时等号成立),也与已知矛盾.()当a6时,设0 ,则f( )-f( )=2a(- )-4(- )=2( - )a-2(+ + )由题设0 + + 6a-2( + + )0又 - 0f( )-f( )0即f( )f( ),f(x)在0,1上为增函数.此时 =f(1)=2a-4.令2a-4=12,解得a=8 (6,+),适合题意.因此,综合() () ()知,存在a=8 (6,+),使得函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上.二.关于奇函数性质的认知与延伸循着对于偶函数性质的认知与延伸的思路1、原型：函数f(x)为奇函数 函数y=f(x)的图象关于原点对称.即对函数定义域内每一个x都有f(x)= f(x) 函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称.认知：注意到在函数关系式中,“f ”之下为自变量x的式子,故寻觅函数关系式与对称中心横坐标之间的联系.（1）几何角度:在数轴上,x与-x的对应点关于点x=0对称.（2）代数角度: 关系式：f() = - f()，即f(0) = - f(0)对称中心：（0，0）2、延伸（1）延伸之一:函数图象自身关于点(a,0)对称点(0,0)可视为点(a,0)的特例,以a-x,a+x分别代替上面函数关系式中的0-x与0+x,便得出作为原型引申的结论1.结论1. 把握住函数关系式与对称中心横坐标之间的这一联系,获得以下结论便水到渠成.结论2. 结论3. 上述三个等价结论,为解决相关问题过程中的灵活选择,适时转换提供理论支撑.（2）延伸之二: 两个函数图象关于点( ,0)中心对称循着偶函数的研究思路,再次运用“一分为二”的探索策略,容易引出()原型：函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. ()延伸:循着前面偶函数性质的延伸之二中,关于两个函数与它们图象的对称轴之间联系的寻觅与发现,同样可获知前面恒等式两边分别对应的每一对函数与它们图像的对称中心之间的联系.结论1.结论2. 结论3. 结论4. 三.归纳与小结有比较才能有鉴别.鉴别,品悟获真知.比较上述偶函数性质的延伸结论与奇函数性质的延伸结论,不难发现它们的个性与共性.（1）个性:偶函数性质的延伸结论中,有关两函数值相等;函数图象自身或有关两个函数的图象成轴对称;奇函数性质的延伸结论中,有关两函数值互为相反数;函数图象自身或有关两个函数的图象成中心对称.（2）共性:不论是偶函数性质延伸系列,还是奇函数性质延伸系列,面对函数式的“合二为一”形式,均由恒等式两边的函数符号“f”之下的“两式之和”,确定函数图象自身的对称轴或对称中心的横坐标;面对“一分为二”后的两个函数,均由两个函数符号“f”之下的“两式构造的方程”,寻求两个函数图象的对称轴或对称中心的横坐标.例4.设函数f(x)的定义域为1,3,且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x 2,3时f(x)= 2x,求当x 1,2时,f(x)的解析式.解:由函数f(x)的图象关于点(2,0)对称得f(x)=-f(4-x)又当x 1,2时,4-x 2,3,再由已知条件得f(4-x)=(4-x) -2(4-x) 由得f(x)=- (x- 4) +2(4-x)当x 1,2时,f(x)=-x +6x-8例5.已知f(x)是定义在R上的函数,f(10+x)=f(10-x),且f(20-x)= f(20+x),试判断f(x)的奇偶性与周期性.解:一方面,f(10+x)=f(10-x) f(x)=f(20-x) f(-x)=f(20+x)另一方面,f(20-x)= f(20+x)(1)由得f(x)= f(x+20)由得f(x)= f( x)f(x)为奇函数.(2) 再由得f(x+20)= f(x)f(x+40)= f(x+20)=f(x)即f(x)是周期函数,且40是它的一个周期,于是由(1)、(2)知,这里的f(x)为奇函数,并且是以40为一个周期的周期函数。品悟与收获:在例1,例2中,函数f(x)的图象有两条对称轴,相应的函数f(x)恰为周期函数;在例5中,函数f(x)的图象有一条铅直对称轴x=10和一个对称中心(20,0),相应的函数f(x)亦为周期函数,并且4(20-10)是它的一个周期.这些巧合的出现,引发人们关于函数周期性与函数图象对称性之间关系的探索与寻觅.函数的周期性与函数图象对称性之间的奥秘由此初步揭开:（1）若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b(ab)都对称,则f(x)为周期函数,并且2 是f(x)的一个周期.（2）若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0) (ab)都对称,则f(x)为周期函数,并且2 是f(x)的一个正周期.（3）若函数f(x)的图象既关于直线x=a对称,又关于点(b,0) (ab)对称,则f(x)为周期函数,并且4 是f(x)的一个正周期.例6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且当x (0,1)时,f(x)= ,则f( )的值为.解法一: (运用认知确定周期)又f(x)定义在R上且满足f(x+2)=f(-x)得函数f(x)的图象关于直线x=1对称. 又f(x)为奇函数 f(x)的图象关于点(0,0)对称由得f(x)是周期函数且4是f(x)的一个周期.f( )=f( )=f(- )= f( ) 0 0, )给出四个论断.它的图象关于直线x= 对称;它的图象关于点( ,0)对称;它的周期为 ;它在区间 ,0上为单调