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初中数学竞赛辅导资料(3)二元一次方程组解的讨论甲内容提要1 二元一次方程组的解的情况有以下三种: 当时,方程组有无数多解。(两个方程等效) 当时,方程组无解。(两个方程是矛盾的) 当(即a1b2a2b10)时,方程组有唯一的解:(这个解可用加减消元法求得)2 方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按二元一次方程整数解的求法进行。3 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解含待定系数的不等式或加以讨论。(见例2、3)乙例题例1.选择一组a,c值使方程组 有无数多解,无解,有唯一的解解:当5a=12=7c时,方程组有无数多解解比例得a=10,c=14。 当5a127c时,方程组无解。解得a=10,c14。当5a12时,方程组有唯一的解,即当a10时,c不论取什么值,原方程组都有唯一的解。例2.a取什么值时,方程组 的解是正数?解:把a作为已知数,解这个方程组得解不等式组得解集是6答:当a的取值为6时,原方程组的解是正数。例3.m取何整数值时,方程组的解x和y都是整数?解:把m作为已知数,解方程组得x是整数,m8取8的约数1,2,4,8。y是整数,m8取2的约数1,2。取它们的公共部分,m81,2。解得m=9,7,10,6。经检验m=9,7,10,6时,方程组的解都是整数。例4(古代问题)用100枚铜板买桃,李,榄橄共100粒,己知桃,李每粒分别是3,4枚铜板,而榄橄7粒1枚铜板。问桃,李,榄橄各买几粒?解:设桃,李,榄橄分别买x,y,z粒,依题意得由(1)得x= 100yz (3)把(3)代入(2),整理得y=200+3z 设(k为整数)得z=7k, y=200+20k, x=30027kx,y,z都是正整数解得(k是整数)10k,k是整数,k=11即x=3(桃),y=20(李),z=77(榄橄)(答略)丙练习111 不解方程组,判定下列方程组解的情况:2 a取什么值时方程组的解是正数?3 a取哪些正整数值,方程组的解x和y都是正整数?4 要使方程组的解都是整数, k应取哪些整数值?5 (古代问题)今有鸡翁
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