九年级函数及其图象相关定理.doc

函数及其图象相关定理1. 一一对应： 数轴上的点与实数一一对应。 坐标平面上的与有序实数对一一对应。2特殊位置的点的坐标特征： 横坐标上的点纵坐标为零。 纵坐标上的点横坐标为零。 平行于x轴的直线上的点纵坐标相等。 平行于y轴的直线上的点横坐标相等。 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等设A点的坐标为（x,y）有x=y. 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数设A点的坐标为（x,y）有x= - y.2. 每一象限内点的坐标特征：设A（x,y）有 第一象限内的点x0,y0. 第二象限内的点x0,y0. 第三象限内的点x0, y0. 第四象限内的点x0, y0.3. 设平面上点A（x,y）,点B（x,y）： AB在x轴上或平行于x轴AB=x- x。 AB在y轴上或平行于y轴AB=y- y。 点A到原点的距离OA=。 平面上任意两点AB的距离AB=。4. 对称的点的坐标特征： 点P（a,b）关于x轴的对称点的坐标P（a,-b）。即：点P、P关于x轴对称横坐标相同、纵坐标互为相反数。 点P（a,b）关于y轴的对称点的坐标P（-a,b）。即：点P、P关于x轴对称纵坐标相同、横坐标互为相反数。 点P（a,b）关于原点对称的点的坐标P（-a,-b）。即：点P、P关于原点对称横、纵坐标均互为相反数。5. 函数：设在一个变化过程中有两个变量x、y，对于x 的每一个值，y都有唯一的值与它相对应，则y叫做x的函数。其中x是自变量。6. 函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。7. 一次函数一条直线y=kx+b(k,b是常数，k0)。8. 正比例函数直线过原点y=kx(k是常数，k0)。9. 反比例函数双曲线y=(k是常数，k0) y=kx(k是常数，k0) xy=k(k是常数，k0)10. 二次函数抛物线y=ax+bx+c(a、b、c是常数，且a0)。11. 一次函数y=kx+b(k,b是常数，k0)的性质： 一次函数与y轴的交点为（0，b）,与x轴的交点为（-,0）。 k0时y随x的增大而增大，减小而减小。从左到右在上坡。 k0时y随x的增大而减小，减小而增大。从左到右在下坡。 b0时直线与y轴的交点在原点的上方。 b0时直线与y轴的交点在原点的下方。 b=0时直线经过原点。 直线mnk=k 直线m、n交于x轴上同一点（,0）12. 一次函数y=kx+b(k,b是常数，k0)的图像：yyxx k0, b0图像过一、二、三象限。 k0, b=0图像过一、三象限。yyxx k0, b0图像过一、三、四象限。 k0, b0图像过一、二、四象限。y yxx k0, b=0图像过二、四象限。 k0, b0图像过二、三、四象限。13. 自变量的取值范围： 自变量所在的式子为整式时，自变量取全体实数。 自变量所在的式子含有分式时，则要求分母不为零。 自变量所在的式子含有二根式（偶次方根）时，则要求二次根式（偶次方根）的被开方数为非负数。 自变量所在的式子含有奇次方根时，则奇次方根的被开方数自变量取全体实数。14. 反比例函数的性质： k0图象在第一、三象限内，在每一个象限内，y随x的增大而减小。 k0图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大。 反比例函数图像的两个分支关于原点成中心对称。15. 二次函数y=ax+bx+c(a、b、c是常数，且a0)的性质，设抛物线与x轴的交点为A（x,0）、B（x,0）;与y轴的交点C（0,c）有： a0抛物线的开口方向向上。 a0抛物线的开口方向向下。 a越大抛物线的开口越小; a越小抛物线的开口越大。 c0抛物线与y轴的交点在原点的上方。 c0抛物线与y轴的交点在原点的下方。 c=0抛物线过原点。 a、b共同确定对称轴的位置的情况：（1）a、b同号，对称轴在y轴的左边；（2）a、b异号，对称轴在y轴的右边。简记：同号左，异号右。 0抛物线与x轴有两个交点。 =0抛物线与x轴有一个交点。 0抛物线与x轴没有交点。 二次函数y=ax+bx+c=a（x+的顶点坐标为（,）,对称轴为x=。 a0有：xy随x的增大而增大; xy随x的增大而减小。y有最小值。 a0有：xy随x的增大而减小; xy随x的增大而增大。Y有最大值。 AB=xx=。 对称轴过最低点或最高点的直线过顶点的直线（平行于y轴）。 顶点横坐标对称轴所在的直线最值顶点纵坐标。16. 二次函数的三种表示方法： y=ax+bx+c(a、b、c是常数，且a0)。 y=a(xh)+k(a、h、k是常数，且a0)。 y=a(x x)(x x)(a是常数，且a0)。17. 二次函数y=ax+bx+c(a、b、c是常数，且a0)的图象,设抛物线与x轴的交点为A（x,0）、B（x,0）,并设xx有：yyyABxA(B)xxyyyA(B)ABxxx0,a0,b0,c0。y=ax+bx+c0xx或xx; y=ax+bx+c0 xxx.0,a0,b0,c0。y=ax+bx+c0xxx; y=ax+bx+c0 xx或xx.=0, a0,b0,c0。y=ax+bx+c0x的实数;y=ax+bx+c0无实数解。=0, a0,b0,c0。y=ax+bx+c0无实数解;y=ax+bx+c0x的实数。0，a0,b0,c0。y=ax+bx+c0全体实数; y=ax+bx+c0无实数解。0，a0,b0,c0。y=ax+bx+c0无实数解;y=ax+bx+c0全体实数。18. 设f（x）= ax+bx+c,一元二次方程ax+bx+c=0.的根的分布（a0）： 一根为零过原点c=0。 有一个正根和一个负根f（0）0。 有一根大于a,一根小于af（a）0。 有两个正根0，0, f（0）0。 有两个负根0，0, f（0）0。 有一个正根和一个负根,并且正根的绝对值大于负根的绝对值0，0, f（0）0。 有一个正根和一个负根,并且正根的绝对值小于负根的绝对值0，0, f（0）0。 两根都大于0，m, f（）0。 两根都小于0，m, f（）0。 一根在a、b之间，另一根在c、d之间（abc0）x a，若a0则x取全体实数。x0）axa,若a0则x无解。20.练习： 抛物线通过（1,1）,（1,3）,（2,）三点，求解析式。 抛物线的顶点是（1,3）,且抛物线通过点（2,1）,求解析式。 抛物线通过（2,0）与（3,0）两点，并且与y轴的交点的纵坐标为2，求解析式。 一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象相交于点A（1,2）,此一次函数的图象还经过点B（3,2）。求这两个函数的解析式。 已知5与3成正比例，且当1时，y=3。（1）求与的函数关系式；（2）作出此函数的图象。 已知抛物线y=ax+bx+c与轴交于点C，与轴交于点A（x，0）,B（x,0）（xx,顶点M的纵坐标为4，若x，x是方程x2（m1）x+m7的两根，且x+x=10. （1）求A、B两点的坐标; （2）求抛物线的解析式及点C的坐标;（3）在抛物线上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出符合条件的点的坐标若不存在，说明理由。 已知抛物线y=x+2x+3与x轴的交点为A,B,与y轴的交点为C，顶点为P。（1） 求经过P，C的直线与x轴交点Q的坐标；（2） 求tanPQB的值。 已知抛物线y= x+5x+k与x轴两个交点间的距离等于3，与y轴交点为点C。直线y=kx+10与抛物线交A,B两点。求三角形ABC的面积。 已知二次函数y=（m+2）x（2m1）x+m3.（1） 求证：无论m取任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点。（2） 当m取何值时，二次函数的图象与x轴两个交点之间的距离等于2。（3） 当m取何值时，二次函数的图象与x轴两个交点分布在y轴两侧。 已知抛物线y= x（m