初二数学第一单元 全等三角形证明基本思路.doc

证明三角形全等的常见思路全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等通过对以下几种证明三角形全的分析，体会常见思路。知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，（对应线段相等）对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等2证题的思路：全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线一、已知一边与其一邻角对应相等1证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C .求证：AF=DE证明 BE=CF(已知)，BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE在ABF和DCE中， ABFDCE(SAS) AF=DE(全等三角形对应边相等)2证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等例2 已知：如图2，D是ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FCAB求证：AE=CE证明 FCAB(已知)，ADE=CFE(两直线平行，内错角相等)在ADE和CFE中， ADECFE(ASA). AE=CE(全等三角形对应边相等)3证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等例3 (同例2).证明 FCAB(已知)， A=ECF(两直线平行，内错角相等).在ADE和CFE中， ADECFE(AAS). AE=CE(全等三角形对应边相等)二、已知两边对应相等1证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，1=2求证： ABDACE证明 1=2(已知)，ADB=180-1，AEC=180-2(邻补角定义)，ADB = AEC，在ABD和ACE中， ABDACE(SAS).2证第三边对应相等，再用SSS证全等例5 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN， BM=DN求证： AMCN，BMDN证明 AC=BD(已知) AC+BC=BD+BC，即 AB=CD.在ABM和CDN中， ABMCDN(SSS) A=NCD，ABM=D(全等三角应角相等)， AMCN，BMDN(同位角相等，两直线平行)三、已知两角对应相等1证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等例6 已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，B=E，ACB=DFE.求证： AB=DE， AC=DF.证明 FB=CE(已知) FB+FC=CE+FC， 即 BC=EF， ABCDEF(ASA). AB=DE，AC=DF(全等三角形对应边相等)2证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等例7 已知：如图6，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，A=B，ACE=BDF. 求证：ACEBDF.证明 OA=OB，OE=OF已知)，OA-OE=OB-OF，即 AE=BF，在ACE和BDF中， ACEBDF(AAS).四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等例8 已知：如图7，在ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，B=C求证：ABDACE.证明AD=AE(已知)1=2(等边对等角)， ADB=180-1，AEC=180-2(邻补角定义)， ADB=AEC，在ABD和ACE中，ABDACE(AAS).全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法ABC中,AD是BC边中线方式1:直接倍长(图1)： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长1) （图2）作CFAD于F，作BEAD的延长线于E, 连接BE 2) （图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD【经典例题】1、已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.（提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边）例2：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F，且DF=EF. 求证：BD=CE（提示：方法1：过D作DGAE交BC于G，证明DGFCEF方法2：过E作EGAB交BC的延长线于G，证明EFGDFB方法3：过D作DGBC于G，过E作EHBC的延长线于H，证明BDGECH）例3、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小._A_E变式：如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求证：_F_B_C_D（提示：方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG， 证明BDEGDE DCFDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法2：倍长ED至H，连结CH、FH，证明FH=EF、CH=BE，利用三角形两边之和大于第三边）例4：已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF（提示：方法1：倍长AD至G，连接BG，证明BDGCDA三角形BEG是等腰三角形。方法2：倍长ED.试一试，怎么证明？）例5、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. （提示：倍长AE至M,连接DM）变式一：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线，求证：C=BAE提示：倍长AE至F，连结DF,证明ABEFDE（SAS）,进而证明ADFADC（SAS）变式二：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线，求证：2AEAC。（提示：借鉴变式一的方法） _A_B_D_E_C_F例6：已知：如图，在中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分 提示：方法1：倍长AE至G，连结DG方法2：倍长FE至H，连结CH练习1、在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE、DF交于G,证明AB=GC、AF=GF，所以AB=AF+FC2、已知：如图，DABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE/AB交BC于E，求证：CT=BE.提示：过T作TNAB于N， 证明BTNECD3、 在ABC中，AD平分BAC，CMAD于M，若ABAD，求证：2AMACAB。 4、ABC中，AD是边BC上的中线，DAAC于点A，BAC=120， 求证：AB=2BC.5、如图，AB=AE，ABAE，AD=AC，ADAC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM 全等三角形问题中常见的辅助线截长补短法例1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC例2、如图，ADBC， AE, BE分别平分DAB,CBA，CD过点E，求证;ABAD+BC例3、如图，已知在内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP例4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 例5、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC例6、已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明 例7、如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?变式练习：如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？例8、如图所示已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE=2DAM求证：AE=BC+CE例9、已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.例10、如图所示，是边长为2的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长变式练习如图所示，是边长为4的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长 例11、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：DA平分CDE例12、如图，在四边形ABCD中，ADBC,点E是AB上一个动点，若B=600，AB=BC，且DEC=60O,判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论。 三角形综合练习题一、选择题1.下列条件中，不能判定ABCDEF的是（ ）A.A=D，C=F，AC=DF.A=D，AB=DE，BC=EF.AB=DE，A=D = 80，B=60，F=40.C=F = 90，AB=DE，BC=EF2.AD是ABC的角平分线，从D向AB、AC两边作垂线，垂足分别为E、F，那么下列结论中错误的是( ) A.DE=DF B.AE=AF C.BD=CD D.ADE=ADF3.如图2，ABBC于B，CDBC于C ， AB=BC，E为BC的中点，且AEBD于F，若CD=4cm，则AB的长度为（ ）A.4cm B.8cm C.9cm D.10cm图2图34.如图3，已知点E在ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若1=2=3，AC=AE，则有( ) A.ABDAFD B.AFEADC 图4C.AEFDFC D.ABCADE二、填空题. .5如图4，在ABC和DEF中，AB=DE，B=E，要使ABCDEF，需要补充的一个条件是_.图56.如图5，沿AM折叠，使点D落在BC边上，如果AD=7cm，DM=2cm，DAM=20，则AN的长为 cm，MN长为 cm， NAM 的度数是 .图6 7. 如图6，四边形ABCD中，CB=CD，ABC=ADC=90，BAC=35，则BCD等于_.8.已知，在ABC中，AB=4，AC=2，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 .三、解答题图79.已知：如图7，D是ABC边AC上的一点，DF交AB于E，且DE=EF，FBAC，求证：AE=BE.图11-810.已知：如图11-8，AB、CD相交于O，ACDB，OC=OD，AE=BF，求证：CE=DF 11.已知：如图，在ABC中，BEAD，CFAD，且BE = CF，请你判断AD是ABC的中线还是角平分线？并说明理由.12.已知：如图，A=D=90，AC，BD交于O，AC=BD，求证：OB=OC13已知，如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，ADDE于D，BEDE于E，若AD=2厘米，BE=3厘米，求DE的长。14如图，RtBDA中，BDA=90，BD=AD，RtHDC，HDC=90，HD=CD，请你猜想线段BH与AC的数量关系，并写出证明过程。15. 如图给出下列论断：DE=CE，1=2，3=4请你将其中的两个作