集合单元教学策略分析.docx

主题：“集合”的教学分析与指导学校：北京市育英学校 主讲人：关健一、本主题内容解读（一）本主题知识体系的梳理集合核心知识核心方法思维载体思维特征性质表示关系运算借助图像解决点集问题借助数轴解决连续数集问题借助韦恩图解决抽象集合相关问题谁是代表元素元素的一般特性是什么自然语言符号语言图形语言确定性互异性无序性列举法描述法韦恩图法区间法元素与集合集合与集合交集并集补集（二）本主题蕴含的基本观点、思想和方法作为高中数学课程的开篇，集合这一章的教学主要起到“培养用数学语言表达、轻松进行初高中过渡”的目的，因此在教学过程中要注意：1. 突出“集合”作为一种语言在数学学习中的地位，避免某些繁琐运算干扰对集合本质的理解；2. 突出运用集合语言表述初中学过的某些重要数学知识，避免只例举高考真题来强化集合知识的运用；3. 突出集合语言在后续学习中的运用、注意知识的螺旋式上升，避免只是单纯在学习集合新知时才运用集合语言的现象.二、教学目标分析与定位(一)整体把握观点看集合在中学数学教学内容上的应用无论是在以往的教材中，还是在现行的新课标下的任何一本教材里，集合这一单元的内容都处在高中阶段数学学习的开篇的位置.无论教学改革怎样进行，为什么将集合这部分内容作为高中数学学习的第一章？难道仅仅是因为集合这部分知识的比较简单么？回答显然是否定的.仔细分析，笔者认为有以下两个方面的原因：第一，从知识层面上看，集合这部分知识在高中数学学习的各个领域里都有广泛的应用.函数领域里的应用最为广泛，例如在函数的定义域、值域、单调区间的表述上需要使用集合的表示法，在某些处理已知集合和函数单调区间的关系的题目中，会运用集合与集合之间的关系，在表示不等式的解集时也会用到集合的表示法等；在学习空间几何体时，我们也会用到集合的符号表示空间中点线面的位置关系；在概率的学习过程中，基本事件空间其实也就是我们研究对象的全体，也是一个集合；在学习任意角的三角函数概念时，我们会遇到与角终边相同角的集合这个知识点；在常用逻辑用语中，当我们刻画两个条件之间的充分条件、必要条件、充要条件时，也会运用集合之间的关系帮助分析；而在几何问题中，“点动成线、线动成面”，正是说明我们所学习的任何一种曲线都可以看成点的集合.这些充分说明，集合这一部分知识与高中数学中很多知识都有着密不可分的关系，这就更说明了集合作为一种语言在高中数学学习中具有举足轻重的地位，起着不可替代的作用.第二，从思想方法层面上看，集合的教学在高中数学教学中具备统领性作用集合的学习历经了从“集合的表示、集合间的关系、集合中元素的关系”三个阶段，而这三个阶段是我们在高中数学学习的一个缩影.首先，集合是帮助我们刻画一类事物的有效手段.在学习集合之前，我们已经对很多数学概念有了一定的认识，但是我们却不会用较科学较简洁的数学符号语言刻画我们所认识的数学概念，而集合的学习恰恰给了我们一种手段表示我们认识的数学知识，同时它还帮助我们如何更清晰的认识某个数学概念，即通过细化这个概念的内部特征，或者对这个概念进行分类研究.例如我们在认识函数的性质的时候，我们可以通过认识这样几个集合：、来了解函数的定义域、值域和其图像上的点的特征，又如，我们可以通过奇数集、偶数集来认识整数集，也可以按被3整除的余数对整数集进行划分，即或者.事实上，我们在生活中认识一类事物也是这样的.为了认清这类事物，我们首先要认清这类事物的内部结构特征，通过细化事物的内部结构或者对事物分类研究，来认识和学习一类事物.其次，集合之间的关系告诉我们事物的内部结构之间都存在着某种关系.在对某个数学概念进行细化之后，我们得到了若干个集合，于是我们就开始着手研究这些集合之间的关系，像前面所提到的整数集的划分，是一种“交为空、补为全”的关系，而这正是我们常用的分类讨论思想中的不重不漏分类原则.又如我们会研究某些集合之间的函数关系、运算关系，甚至会研究随机事件发生的不确定关系等等.最后，对集合中元素特征的研究形成了思想方法.在刻画了某个数学概念之后，我们往往就要对构成这个概念的元素进行进行分析，例如我们形成了函数这个概念后，我们一定会对某些特殊的函数进行具体的研究，在研究的过程中我们发现这些函数都具备某些特征，于是我们得出，今后在遇到一个新函数后，要想认识这个函数的就必须从定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等几个方面展开进行认识，这也就是说，在认识事物的的时候，如果认识事物的方法一致，就形成了研究方法.基于这一观点，我们就不难理解，为什么我们对数列这个特殊的函数要研究其通项公式，那是因为这个特殊的定义在离散点集上的函数的定义域发生了根本的变化，所以我们自然要研究定义域与值域即项数与对应项之间的关系，而这里面最特殊最有直观背景的关系就形成了等差数列和等比数列.又比如，对集合这个新生事物的学习过程，从概念到表示，再到对零元、单位元、运算及运算的封闭性、运算律的研究过程可以拓展到到对任何一个新生概念的学习过程当中去，例如对向量、复数的学习，其实学生在认识负数、无理数包括以后认识代数中的群、域等概念，都是同样的研究方式.与此类似，我们在对圆锥曲线的学习过程中，通过研究圆、椭圆、双曲线、抛物线的性质形成了对几何问题研究的策略，即几何问题代数化，代数问题直观化的思想方法.因此，我们可以说，在研究一类事物的时候，当一类事物的特征一致的时候就形成了方法，当认识事物的研究方法一致的时候就形成了思想.（二）集合单元教学的具体要求【课标要求】集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言。使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。1. 教学过程中应结合学生的生活经验和初中已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生理解集合的含义、两种关系、三种运算；2. 学习集合语言最好的方法是使用，在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际使用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言；3. 教学中要有整体把握中学数学的意识，能用集合语言表示后续学习中的重要数学概念，并能用几何语言刻画它们之间的关系.三、认知分析集合作为一种语言,是我们进入高中以来遇到的第一次运用抽象语言来描述所学过的数学知识,那么在集合的学习过程中,学生们一般会出现这样一些问题：1.集合概念多，符号易混淆：学生们知道了集合的三种表示方法:描述法、列举法、图示（Venn）法；集合中元素的三大特性:互异性、确定性、无序性；两种关系：集合与元素之间的关系、集合与集合之间的关系；三种运算：交集、并集、补集.2.符号语言抽象，准确转化难：要求学生会读懂集合，一方面，要能读出以集合形式呈现的数学问题，例如能读出某集合是点集还是数集，能对新定义的概念准确“转译”成已有知识，另一方面还要会使用集合语言进行表达，例如对于抽象集合，我们能够用Venn图表示. “在关于集合之间的关系和运算的教学中，使用Venn图是重要的，有助于学生学习、掌握、运用集合语言和其他数学语言。”课标解读3.假期时间长，知识遗忘较多：例题尽可能多以初中概念为核心，以集合形式进行表述，在学习新知的同时做好初高中知识的衔接.4.上课只是“听”讲，而忽略了“做”数学：教师在授课时注意变换教学方法，启发甚至强制学生动笔，改变在初中只是听讲，而不动笔的数学课的学习习惯.四、教学实施建议一、课程标准中的课时安排：集合（约45课时）1.集合的含义与表示【课标要求】通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.2.集合间的基本关系【课标要求】理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算【课标要求】理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.二、例题选配 建议用一套例题贯穿本章新授课始终，对教材上内容作适当改编和补充，例题选编和配备的原则：1. 能帮助学生理解新知；2. 帮助学生回忆与再现所学知识；3. 通过不同类型的集合的选配，帮助学生掌握熟练运用集合语言表述数学问题.结合人教B版教材的例子，补充不等式的解集、正确表述的点集、从整除角度对整数集的分类（奇偶数集、被n除的余数集等）具体建议： 人教B版P3，补充例子不等式的解的全体构成的集合； 人教B版P7，例2（3）改换成平面直角坐标系中第一三象限角平分线上的点构成的集合； 人教B版P13，例3例子可以适当补充：偶数集、奇数集的表示方法；被3整除、被3除余1、被3除余2的数集例如下面集合间的关系：（1），（2）（3）， 人教B版P12，关于命题与子集的关系 人教B版P15，得到性质 对人教B版P16思考交流的理解 通过举例、Venn图自主探究性质，认识型集合的图形表示 准确转化集合语言，做好初高中衔接有些初中知识，在函数学习的过程中有着具足轻重的地位，因此适当的在这里用集合语言进行表述，帮助学生回忆与再现，是十分必要的.例如：1.设集合，若，则、依次为（ ）A，B，C ，D，2.设集合,如果，求实数的取值范围.3. 集合,集合,且0，若，求实数m的取值范围. 适当增加一些新题型，注意集合语言的转化例如：（2009年北京文科8）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )A三角形区域 B四边形区域C五边形区域 D六边形区域【答案】D【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识.5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.大光明 如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中， 即点P可以是点A五、教学资源2014年高考集合题目汇编与改编：12014北京卷 已知集合Ax|x22x0，B0，1，2，则AB(C)A0 B0，1 C0，2 D0，1，222014福建卷 若集合a，b，c，d1，2，3，4，且下列四个关系：a1；b1；c2；d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是_6_32014广东卷 已知集合M1，0，1，N0，1，2，则MN(C)A0，1 B1，0，2 C1，0，1，2 D1，0，142014湖北卷（改编）U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC” “AB”用填写（）52014辽宁卷 已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)(D)Ax|x0 Bx|x1 Cx|0x1 Dx|0x16 2014全国卷（改编）设集合Mx|1x4，Nx|0x5，则MN(B)A(0，4 B0，4) C1，0) D(1，072014新课标全国卷(改编)已知集合Ax|x-1或x3，Bx|2x2，则AB(A) A2，1 B1，2)B1，1 D1，2)82014新课标全国卷 设集合M0，1，2，Nx|1x2，则MN(D)A1 B2 C0，1 D1，29 2014山东卷（改编）设集合Ax|x1|2，By|yx2，x1，2，则AB(C)A0，2 B(1，3) C1，3) D(1，4)102014陕西卷 设集合Mx|x0，xR，Nx|x21，xR，则MN(B)A0，1 B0，1) C(0，1 D(0，1)112014四川卷（改编）已知集合Ax|1x2，集合B为整数集，则AB(A)A1，0，1，2 B2，1，0，1 C0，1 D