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第八章 多边形杭州康桥中学 姜国祥 按照华师大教材编写给的初中数学内容设计的意图，每学期的内容都按四大块编写（数与代数，空间与图形，统计与概率，实践与结合运用）。本章是本学期中空间与图形这一块的第一章，也是在接七年级(上)的空间与图形后,第二次接触几何图形，再次具体地认识几何基本图形三角形的边角特性，以及多边形的内角和与外角和的特性并且使学生能用所学几何图形的特性来解释和解决一些现实生活中(如地板（地砖）的铺设等)的实际问题一、本章节的教材分析标准第37-40页中（1）（6）都是有关“基本图形及其性质的认识”的内容，对这部分内容,标准十分强调结合实例，在实际背景中理解图形的概念和性质，经历探索图形的过程本章内容的安排设计上也是根据这一要求进行的首先由我们生活中经常遇到的地砖铺设引入，家里地砖的铺设，大街上人行道砖的镶嵌，墙面上墙砖的铺设等并且设计问题“这些图形的地砖或瓷砖为什么能铺满面地面而不留一点空隙呢？换其他的形状行不行”来激发学生的好奇心与思考，为后面的学习巧设悬念，使学生产生学习的期待心理为了使学生更能清楚认识地砖的铺设原理，接着教材从学生常见的又是最简单的三角形入手，分别研究了（1）三角形的认识;（2）三角形的外角形和（三角形内角和等于180已在第二学段研究过）;（3）三角形三边的关系.使学生更加清楚的认识了组成三角形的两个基本元素边、角的关系,然后再过渡到对多边形内、外角的研究，又为地板问题的解决做了一个知识上的铺垫使学生在解决实际问题时找到解决的根源,这也是让学生潜移默化中培养良好的问题解决的思维习惯.遇到生活问题，首先转化为学校问题，然后在学科中找到解决生活问题的答案让学生经历整个问题的解决过程，明确问题解决的基本步骤和环节本章内容与以往相比，增加了情境创设与学生动手设计的内容，真正体现数学知识的实用价值也培养了学生的探究意识与合作交流的能力.具体增加的内容是:1、瓷砖的铺设;2、用正多边形拼地板;3、课题学习：图形的镶嵌其他的三角形边、角的研究以及多边形的内角和与外角和的研究与以往相同,但是在课时的安排上更加清晰与详细二、数学课程标准中对本章节的基本要求1、在第三学段中，学生能进一步认识平面图形的具体特性通过对以往知识的再应用以及亲手测量，领悟三角形的边角特性2、能够进行知识之间的建构，学会用前学段所学知识来解释或推理本章几何图形的特性例如：用“两点之间线段最短”解释“三角形两边之和大于第三边”；用“三角形的内角和等于180度”来推理、探究“三角形外角和等于360度”等.3、在探究多边形的内外角和时，可以引导学生比较凹、凸多边形内外角和的异同，从而使学生清楚我们在本学期研究的多边形是凸多边形4、在教学中，应注重所学知识与日常生活的密切联系，应使学生在观察、操作等活动中，获得简单平面图形的直观经验三、知识结构瓷砖的铺设三角形多边形三角形的三边关系 三角形的内角和多边形的内角和三角形的外角性质三角形的外角和多边形的外角和用正多边形铺满地面四、本章节的目标定位1、了解三角形的内角、外角及其主要线段（中线、高、角平分线）等概念.2、会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线、高.3、了解三角形的稳定性.4、体验三角形的外角性质，三角形的内角和，三角形的三边关系，凸多边形的内角和与凸多边形外角和的探索过程5、理解三角形的边、角特性以及多边形的内、外角特性，学会运用这些特性来解释生活中的问题6、理解某些正多边形能够铺满地面的道理7、欣赏丰富多彩的图案体验数学美，提高审美情趣.8、在直观感知、操作确定的基础上体验证明的必要性，学会初步说理.9、培养学生的问题意识、探究意识以及良好的思维习惯初步学会问题解决的基本步骤10、培养学生合作交流的能力 五、课时安排瓷砖的铺设 1课时三角形 4课时其中：认识三角形1课时；三角形的外角和1课时；三角形三边的关系1课时；多边形的内角和与角和1课时多边形的内角和与外角和 2课时学习评价 1课时用正多边形拼地板 3课时（增加1课时）其中：用相同的正多边形拼地板1课时；用多种正多边形拼地板1课时；学生设计地板图形以及展示1课时课题学习：图形的镶嵌的欣赏与研究 1课时学习评价 1课时共需安排13课时.六、教学建议内容教 学 目 标情 境 创 设瓷砖的铺设1、了解能够铺满面地面的图形有的是规则的，有的是不规则的；了解瓷砖铺设的一般方式及某些特殊情形. 2、培养从数学的角度提出问题、分析问题、解决问题的意识与能力3、经历合作与探索的过程欣赏生活中丰富多彩的图形，体悟数学的美、认识数学的价值由课前拍摄或收集的地砖铺设的情境展示，激发学生思考三角形的认识1、 结合具体实例认识三角形的内角、外角、高线、角平分线、中线的概念.2、 会按角将三角形分类.3、 能区分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形1、由课前学生准备的三角形展示，引发学生观察、分类2、课件展示由三角形组成的动物图案三角形的外角和1、 让学生经历观察、实验、思考、操作、猜测、综合归纳的活动过程2、 学生主动提出问题、分析问题、解决问题、证实结论，从而知晓数学知识的发生与形成过程3、 提升学生的探究、观察、推论、证明能力, 改善沟通, 表达及合作的技巧1、通过运用“三角形内和等于180度”的知识，由已知两角求一角的问题引入2、从三角形相邻内角与外角关系引入三角形的三边关系1、 通过生活的实例，使学生感受三角形的稳定性2、 经历学生动手测量, 感悟三角形的三边关系，能运用三边的关系解决实际问题3、 理解三角形的画法，能准确画出三角形由瓦特发明蒸汽机的故事，旨在提示学生学会观察，再通过搭长方形与三角形引出三角形的稳定性多边形的内角和与外角和1、 能正确认识正多边形的顶点，边,内角、外角及对角线2、 探索、归纳多边形内角和公式和外角和，能应用于解决计算问题3、 继续渗透类比和转化的思想，体验探索、归纳过程、学会合情推理的思想方法，培养学生合作交流的能力通过多边形分割成三角形的问题探究引入用相同的正多边形拼地板1、 通过正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形内角和及每个内角的度数计算，能够判断用同一种正多边形能否铺满地面2、 理解地板铺满地面的原理3、通过问题的研究，培养学生探究意识和正确思维的习惯通过拍摄地砖的图案创设问题情境，引发学生研究同一种正多形铺满地面的问题思考用多种正多边形拼地板1、 通过对正多边形内角的认识以及地砖铺满地面原理的领悟, 理解常见的多种正多边形铺满地面的标准2、 学会设计用多种正多边形拼地板3、 通过多种正多边形拼地板的设计，培养学生合作交流的能力和独立思考的习惯由上节课课后练习的作品展示引入.教学方法的建议：由于学生对三角形的认识比较深刻, 又地板铺设较为常见，因此在教学方法上可以运用自主探究法、合作交流法、问题创设法、动手操作法等，在运用以上方法时最好能合理运用多媒体技术来创设内容情境七、教学案例81瓷砖的铺设一、教学目标了解瓷砖的形状有的是规则的，有的是不规则的；用瓷砖铺设地板或墙面有一般的方法和特殊的方法二、教学过程课前准备1、每个同学准备一把剪刀和一张卡纸2、利用各种途径（如到建材市场，通过家庭装修，公共建筑，或上网查询等）收集瓷砖的形状（一） 情境引入拿出收集到的瓷砖的形状，小组互相交流，比比看谁收集得多（评出数量最多的小组，并投影展现）（二） 探索观察一：由各种形状的地砖或瓷砖铺成的地面和墙面上有没有空隙？观察二：上面铺成的地面或墙面主要由哪些形状的瓷砖组成？实验：剪出大小形状一样的多边形，拼拼看能否拼成漂亮的墙面（铺在桌面上）.例根据观察和实验，你学会了铺地面或墙面吗？你有什么发现？（三） 发现1、 用来铺地面或墙面的瓷砖的形状有的是规则的有的是不规则的2、 瓷砖铺张设的方法有两种：（1） 一般方式：围绕某一顶点铺满地面（2） 特殊情形：规则图形（例如长方形，三角形）可以任意铺设（四） 尝试画出用长方形瓷砖铺满地面或墙面的两种不同方式如等.（五） 作业1. 设计用同一种正多边形铺满平面的图案2. 设计用两种或两种以上的多边形的组合图形来铺满平面的图案8.3 多边形的内角和与外角和杭州康桥中学 姜国祥 一、背景知识 多边形的内角和与外角和是学生在学习三角形内、外角和的基础上的学习内容，也体现了数学知识的联系与应用使学生领悟数学的许多知识是由元知识进行深化与推广本节内容也是实现由简单的三角形推广到多边形，体现了数学研究的基本方法由特殊到一般在研究多边形时，我们总是把复杂的问题转化成简单的问题来研究因此多边形的研究中，采用了分割的方法，把多边形的内角和转化成能分成几个三角形的问题当然研究多边形内角和时也可以用补的办法，把多边形的若干条边延长，使多边形转化成较为简单的图形二、学情分析 多边形的内角和与外角和是学生学习完三角形的内、外角和之后的一节内容学生会用三角形内角和的解决方法剪角拼图来解决多边形的内角和问题学生也已具有一定的数学分析能力，能够把多边形的内角和转化到三角形的问题上由于学生在小学阶段已接触过四边形及五边形、六边形，因此学生会用连对角线的办法，分割多边形成若干个三角形但学生会出现连接对角线无序，可能会使出现的三角形再被对角线分割，使图形复杂化，因此教师要适当引导和归类学生对分割的点取在顶点比较容易理解（如图（1），对分割点取在多边形内或多边形一条边上或多边形外（如下图（2）（3）（4）不容易理解，教师要采用多媒体课件，把分割的图形用不同的颜色区分开来，这样便于学生的理解三、教学目标 1、能正确识别多边形的顶点、边、内角、外角及对角线 2、探究、归纳多边形内角和公式，领悟多边形内角和计算公式，并能应用于解决计算问题 3、通过引导学生从不同角度对多边形内角和公式进行了探究，让学生体会一题多解的思想方法和从不同角度思考解决问题的思想方法 4、继续渗透类比和转化的思想，体验探索、归纳过程，学会合情推理的数学思想方法，培养学生合作交流的能力四、教学主题（一）创设问题情境，探究新问题 师：（下发课前准备的画有三角形、四边形、五边形、六边形的讲义）同学们，当你看到下列图形的时候，你会想到什么？ 生1：三角形有三条边，三个顶点；四边形有四条边，四个顶点；五边形有五条边，五个顶点；六边形有六条边，六个顶点我们可以推测n边形就有n条边和n个顶点 生2：三角形是多边形中最简单的图形 生3：三角形没有对角线，而其他多边形都有对角线 师：你能给大家介绍一下什么是多边形的对角线，你能画给大家展示一下吗？（学生画对角线，并拿到实物展示台上展示） 生4：对角线就是连接多边形中两个顶点的线段，例如图中的AB 师：同学们，刚才听清楚了吗？是否还有不同的意见？ 生5：连接的两个顶点应是不相邻的，若相邻的两个顶点连接则是多边形的边（教师鼓掌，而后其他同学也跟着鼓掌） 师：讲的很好，很精确连接多边形中两个不相邻的顶点的线段叫做多边形的对角线请同学们在图中画出各个图中过A点的所有对角线，并观察边数与对角线条数间的关系用你的方法展示你发现的结论（学生连对角线，并观察、讨论） 师：哪个同学先来讲你的发现？（学生争着要讲） 生6：通过过A点画对角线我发现：三角形没有对角线，四边形有一条，五边形有2条，六边形有3条 生7：我从已有多边形的数据发现，多边形中过一个顶点的对角线条数是边数减去3 生8：我的结论更加清楚，我是用表格体现的：（上讲台用实物展示台展示）多边形边数3456n由个顶点画对角线条数0123n-3由表格中很清楚发现“3与0”，“4与1”，“5与2”，“6与3”都是相差3，我猜测n边形由一个顶点画对角线的条数是n-3 师：同学们觉得他的方法怎样？ 生9（齐声）：很清楚，好！ 师：我们已经通过画对角线，根据已有数据推测了多边形由一个顶点画对角线的条数是边数减去3那谁能解释（说明）为什么是边数减去3呢？（大家不响，都又仔细观察所画的对角线，思寻答案） 师：大家注意一下多边形对角线的定义中的“不相邻的” 生10：我知道，由于在多边形中与点A相邻的有两点，再除去点A自身一点共有3个点与点A无对角线，反之，与点A不相邻的顶点有n-3个因此多边形由一个顶点画对角线是边数减去3（学生都点点头，示意明白了） 师：同学说的可真清楚，同学们明白了吗？（学生齐声说：明白了）随后教师通过多媒体展示了两个问题：（1）你能运用刚才的结论，找出n边形的对角线条数的计算方法吗?请用n的代有式表示（2）填下表多边形边数345678n由一个顶点画对角线条数0123分割成的三角形数 师：请同学们思考5分钟，然后请有答案的同学自告奋勇说 生11：我讲第一题，因为每一个顶点画对角线有n-3条，那么n个顶点就有n（n-3）条对角线 生12：我觉得不对当n=4的时候，按n（n-3）应有4条对角线，但实际上只有两条 生13：我觉得n边形的对角线条数n（n-3）因为在用n（n-3）计算中有重复计算例如图中A与B连接是一条，而若从B来连的话与A连是同一条，因此AB对角线计算了两次，所以除以2 师：大家觉得对吗？（学生不知如何，而却表情很茫然）大家可以验证一下，n=4，n=5，n=6 生14：刚才她讲的公式是正确的（大家也都表示认可） 师：第2题呢？（同学们争先恐后的举手） 生15：我来讲（学生上讲台展示他的表格并解释）多边形边数345678n由一个顶点画对角线条数012345n-3分割成的三角形数123456n-2 师：由同学们统计与推测可得：n边形由一个顶点画对角线可分割成（n-2）个三角形你们能用这个结论与学过的知识来计算多边形的内角和吗？（银幕出现以下表格和一组图形）多边形边数3456n由一顶点分割的三角形数1234n-2内角和生16：由具体多边形的计算我发现四边形内角和是，五边形内角和是，六边形内角和是生17：四边形、五边形、六边形的内角和正好是的2倍、3倍、4倍生18：倍数正好是分割成的三角形个数我推测n边形的内角和是（n-2）生19：我能解释n边形的内角和是（n-2），由于从一个顶点画对角线分割成的三角形的内角都是多边形的内角分割出来的，因此多边形的内角和正好是这些三角形的内角和而每个三角形的内角是，分割成（n-2）个三角形，因此，n边形的内角和是（n-2）（其他同学都自觉鼓掌，表示认可与赞扬）师：同学们很聪明，通过大家的共同努力，今天我们要研究的内容都解决了多边形的内角和是应用已知的三角形内角和来研究把多边形分割成若干个三角形N边形就分割成(n-2)个三角形.因此多边形的内角和为(n-2)（多媒体展示：n边形的内角和=（n-2）练习： 1、八边形的内角和是 度；十二边形的内角和为 度 2、如果一个多边形的内角和为，则这个多边形是（ ） A、四边形 B、八边形 C、十边形 D、十三边形 3、若一个多边形的边数每增加1，则这个多边形的内角和增加 度 4、若将n边形的边数增加一倍，则它的内角和增加 度（二）拓展思维，领悟新知 师：刚才我们探究了分割三角形的点是在多边形的顶点，假如分割三角形的点是在多边形边上呢？分割点在多边形内部呢？同学之间可以相互讨论（多媒体展示下图）（学生自己画图进行思考，并交流自己的想法）（由于受刚才的思考方法影响，大部分同学能画出分割的三角形进行思考但有些同学数三角形的个数时漏数一个因此推导的公式与原先不同，经过同学们的激烈讨论交流，大家的思想都较为一致）生20：当分割三角形的点A在多边形边上时，连接与它不相邻的顶点可分割成（n-1）个三角形，但利用三角形的内角和计算时多计算了一个平角，因此，多边形的内角和公式为（n-1）-=（n-2）与刚才推导的一样生21：当分割三角形的点A在多边形内部时，连接各顶点可分割成n个三角形但在利用三角形的内角和计算时多计算了一个周角因此，多边形的内角和公式为：n-=（n-2）与刚才推导的公式是一致的师：由刚才的探究我们可知归纳：多边形的研究总是化归到三角形来研究三角形的分割点的位置不同，分割成的三角形个数是不同的，多边形内角和的组成也是不同的刚才分割点的位置分别是顶点、边上及多边形内部课后，感兴趣的同学再研究一下，分割点是否可以在多边形的外部但是不论分割点取在何处，最终推导的结论是一致的在今后的学习中，我们要善于多角度来思考一个问题，这样的研究会更加深刻，理解也会更加清晰（三）应用结论，探究外角和师：多边形的内角和是（n-2）请用内角和求多边形的外角和等于多少度？能否用n来表示？（学生认真观察图形，并思考）生22：多边形的外角指的是哪一个角呢？师：这个问题提的很好，在研究一个问题时，首先要明确研究的对象多边形的外角与三角形的外角一样，是指多边形边的反向延长线与它相邻边所组成的角（请学生上黑板画出图形的外角）教师提示：每一个顶点的外角与内角有什么关系？生齐声：互补生23：我知道四边形有四个，再减到四边形的内角和，就是四边形的外角和，即师：五边形、六边形呢？生24：五边形的外角和=六边形的外角和=生25：n边形的外角和=生26：任意多边形的外角和是一个不变数360师：大家是否想起三角形外角和的演示课件，用笔来旋转了三角形三个外角后，笔的方向回到原来的位置，说明笔旋转了（教师再播放一遍）师：其实多边形的外角和也可以用笔旋转来说明，也可以在地面上画一个多边形，开始人的脸朝一个外角延长边的方向，然后在每个顶点旋转每个外角的角度，你会发现，人又回到原来的方向这就说明多边形的外角和是 练习： 1、如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ） A、5 B、6 C、7 8、9 2、在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，则这个多边形的每一个内角为 度 3、已知正n边形的每个内角与其外角的差为，求内角的度数与边数n（四）规范结论，澄清条件教师在银幕上出示两个图形，让学生比较它们的差异生27：图（1）的各个内角都是向外凸的，图（2）有一个内角向内凹的师：这位同学观察很仔细，像图（1）这种多边形称为凸多边形，它的每一个内角向外凸，这时每个内角是有范围的：，而图（2）这种多边形是凹多边形，向内凹的内角就大于初中阶段我们不研究，前面我们推导的多边形内角和公式（n-2）与外角和为都是凸多边形的特性凹多边形不适宜（五）学生自主归纳、反思通过今天的研究，我明确了，我学会了，我能解答五、教学特色 1、教学活动中以探究为主线，充分体现学生是学