张量分析作业11.doc

张量分析1张量代数1.1坐标系在三维空间中，一个笛卡尔坐标系用图表示为三个相互垂直的轴，分别记为x轴、y轴、z轴。为以后方便起见，坐标轴可更方便地表示成x1 轴、x2 轴、x3 轴，而不是更熟悉的记法x轴、y轴、z轴。图1.1所示的坐标系假定采用右手记法，x2 轴、x3 轴位于图纸平面内，x1 轴垂直指向读者。在这种记法中，坐标轴分别平行于（右手）指向观察者的中指、指向右边的大拇指和垂直向上的食指。坐标的正向为手指的指向，如果我们想像一个右手方向旋转的螺杆，由x1 轴向x2 轴旋转会导致螺杆沿着x3 轴的正向前进。同样可以轮流采用标记1、2和3来检验螺杆沿正方向前进的情况。正因为如此，图1.1所示的坐标系为右手坐标系。不是右手坐标系的叫左手坐标系。如用左手，则图1.1中x3 轴正向朝下。注意任何两个具有相同原点的右手坐标系，都可以将一个坐标系转到另一个坐标系上，使之重合。这也适用于左手坐标系，图1.1右手螺旋定则 但不适用一左一右的情况。 1.2矢量代数矢量既有大小又有方向，这与标量不同，标量只有大小。例如，速度是矢量，温度是标量。在坐标系中矢量通常用箭头表示，箭头的方向为矢量的方向，箭头的长度与矢量的大小成比例。图1.2中表示沿三个相互垂直轴方向的单位矢量e1 、e2 和e3 。例如，单位矢量e1 为单位长度（从原点量起）并沿x1 轴，因而必须垂直另外两个坐标轴x2 和x3 。对空间中任意一点P，坐标是v1 、v2和v3，可以表示为矢量OP或V。这个矢量V可以想像为矢量V1 、V2和V3的组合，故有 V=V1 +V2+ V3 (1.1)或根据单位矢量得 V=v1 e1 +v2e2 +v3e3 （1.2）其中，v1 、v2和v3为标量值。进一步简化，上式课简写为 V=（v1 ，v2，v3） （1.3）显然这个形式中3个标量的排序时至关重要的。可以看出矢量V的标记形式上采用了P点的笛卡尔坐标表示。图1.2右手笛卡尔坐标系中的位置与单位矢量通常认为，V1 、V2和V3作为 V的分量，或反过来，将矢量V分解成分量。矢量作用的特定点常常可以从上下文中得知，不需要特别指明，图1.2中矢量V恰好作用在坐标原点。 若两个矢量V和U的分量相等，则定义他们相等，相等的条件为 v1 =u1 ，v2 =u2 ，v3 =u3 （1.4）或紧凑地表示为 vi =ui ，i=1,2,3 （1.5）通常，跟简洁地将相等表示为 vi =ui （1.6）由于下标i没有特别指明，可以认为它代表了三种可能下标中任一个。如果矢量V乘以一个正的标量，则结果V定义为一个新的矢量，方向与V同向，大小为V的倍。如果为负值，则负号表示相反的方向。由平行四边形法则得到两个矢量U与V之和的定义，如图1.3所示。显然，矢量的加减可以定义为其分量的加减。W=U-+V =（u1 -+v1）e1 +（u2 -+v2）e2 +（u3-+v3）e3 （1.7a）根据这些分量，有（w1 ，w2 ，w3 ）=（u1 -+v1，u2 -+v2，u3-+v3） （1.7b）或采用 wi =ui -+vi （1.8）图1.3矢量相加1.3字母指标记法与求和约定标量：只有大小，没有方向的量矢量：既有大小又有方向的量张量：具有多重方向性，更为复杂的物理量字母指标记法：即将一物理量的所有分量用一个字母表示，并用指标区别不同的分量。例如，一个矢量V可以表示如下：V=（v1,v2,v3）=vi 其中i=1,2,3Einsten求和约定：即一个指标在表达式某一项中重复出现两次，则该指标要取完指标域中所有值，然后将各项加起来，该重复出现的指标称为哑标。只出现一次的指标称为自由指标。例如：其中说明哑标不区分分量，只是求和，故可以更换符号。双重求和： 三重求和：*注意：指标在表达式某一项中出现三次以上，则为违约，须保留求和符号，如中的须保留。*规定：出现双重指标但不求和时，在指标下方画横线或用文字进行说明（如：i不表示求和）。1.4Kronecher符号定义ij为：ij的矩阵形式为：可知，符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成的另一个指标，而符号消失。如： ij的作用：1、更换指标；2、选择求和。1.5排列符号eijk的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。由上定义可得在三维空间中有： 即故混合积：三阶行列式的展开：常见恒等式：(1) (2) (3) 1.6坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为，新坐标系的基矢为。有 在下进行分解： 在下进行分解： 其中， 为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径 其中为上图中坐标原点的位移矢量。将向新坐标轴上投影的矢量的分量：由此得新坐标用老坐标表示的公式：类似地，将向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时，上两式的矩阵形式为：由上可知， ，是正交矩阵，则。 综合以上可知： 同理，可推出将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，； 将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，其中为常数，称为雅克比行列式。若J处处不为0，则说明存在相应的逆变化。即：1.7张量的分量坐标转换规律1.7.1一阶张量一阶张量在新老坐标系中的分解为：，其中，则，得到同理，得矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量。标量为零阶张量。1.7.2二阶张量定义为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为又，记 则。该式表示a与b并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为将代入可得此分量转换可进一步推广到高阶张量。张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。1.8张量的代数运算1.8.1张量的相等若两个张量和相等，则，即同一坐标系中的分量相等。因为都符合转换规律，有：1.8.2张量的和、差同维同阶方可进行和差运算。(1)则(2)a为一矢量，T、S为张量，有(3)分量形式：(4) 矩阵形式：1.8.3数积张量A，标量，则1.8.4张量的并积两个同维不同阶（同阶）张量A、B的并积C是一个阶数为A、B阶数之和的高阶张量。同样符合转换规律。1.8.5张量的缩并若对某张量中任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。，有。取不同基矢量点积，缩并结果不同。1.8.6张量的点积两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。，其中1.8.7双点积两个张量并乘之后再进行两次缩并，称为双点积。并联式双点积=串联式双点积1.8.8张量的商法则张量T，如果它满足对于任意一个q阶张量S的内积均为一个p阶张量U，即在任意坐标系内以下等式成立，则T必定是一个p+q阶的张量。以上规则称为张量的商法则。2二阶张量2.1张量的标量不变量二阶张量的分量与基张量均随坐标转换而变换，从而保证了其实体对于坐标的不变性。但如果对这些随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，就可以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张量T的标量不变量，简称张量的不变量。2.2二阶张量的三个主不变量2.3实对称二阶张量的标准形2.3.1定义对于一个实对称二阶张量，必定有一组正交标准化基，在这组基中，N化为对角型标准形，其对应的矩阵是对角型的，即称为张量N的主分量，正交标准化基的方向为张量N的主轴方向（或主方向），对应的笛卡尔坐标系