第二章：随机变量及其分布.doc

思考题：1 有种不同类型的票券,每次只能得到一张,这些票券是相互独立的,以概率有第类型,.设表示得到每种类型至少一张所需的数.计算.提示：用例1e类似的方法求解. 2 运用概率的连续性质计算.3 试用的分布函数表示.4 若有分布函数,问的分布函数是什么？5 若有分布函数,问随机变量的分布函数是什么？其中与是常数,.6 对任一非负随机变量,证明 提示： 交换和的次序即得.7 对任一非负随机变量,证明 提示：交换和的次序即得.8 设满足 当时,计算.9 随机变量,数学期望为,方差为.计算 的数学期望与方差.10 设是以为参数的二项随机变量,证明 11 考虑个独立的连续试验,成功的概率为,如果有次成功,试证明次成功次失败共有种可能排列.12 某线性系统共有个元件,每个元件以概率独立运行,试问个相邻元件都不运行的概率是多少？提示：以有缺陷的元件数为条件,用第一章例4c的结论来解.13 设是以为参数的二项随机变量,怎样的值能使,取到最大？这是一个当以为参数的随机变量的观测值为时,利用统计方法去估计的例子.如果假定是已知的,我们选取使达到极大值的作为的估计值.这种方法称为极大似然估计.14 一个家庭有个子女的概率为,其中,试问（a） 没有孩子的家庭占多大比例？（b） 如果每个孩子为男孩或女孩是等可能的（且相互独立）,那么有个男孩（不管有几个女孩）的家庭占多大比例？15 一硬币抛出正面的概率为,先将它独立地抛次.试证出现偶数个正面的概率为,其中,可先证明等式 其中是不大于的最大整数,然后利用此等式来证明结论.试将这个习题与第三章理论习题17作一比较.16 设是参数为的泊松随机变量,试证当增大时,先是单调递增、然后单调递减,并当等于不超过的最大整数时取到最大值.提示：考虑.17 设是参数为的泊松随机变量.（a） 证明 利用理论习题15和泊松与二项随机变量的关系来证明.（b） 运用的展开式直接验证上述结论.18 设是参数为的泊松随机变量,试问对任意固定的,取何值使达到最大值.19 设是参数为的泊松随机变量,试证 利用此结论计算.20 考虑枚硬币,每次独立地出现正面的概率为.若很大, 很小,令.假定抛枚硬币,至少出现次正面试验结束,若没有,则继续试验.也就是说, 枚硬币至少一枚出现正面第一次试验停止.设表示正面出现的次数.下列求的哪一个是正确的.（a） 抛枚硬币出现正面的总数近似为参数为的泊松随机变量， （b） 抛枚硬币出现正面的总数近似为参数为的泊松随机变量，只有此总数是正的我们才停止试验, （c） 至少一枚硬币出现正面, 若其余枚硬币再没有一枚出现正面则.因为 枚硬币出现正面的次数近似为参数为的泊松随机变量. 21 令表示第人与第人生日相同的概率的事件. 假定随机选出的个人,每个人都可能在一年中的中任何一天过生日,试求 （a）；（b）；（c）22 箱中有个球,其中个编号为,个编号为,个编号为.现无放回地每次连续取出个球.设表示一次取出的个球编号相同.（每次没有取出编号相同的球,则等于无穷大）.对,试证 为证明此结论,令表示前次取出编号相同的球的次数,.（a） 讨论很大时, 可看作是（近似）次独立试验成功的次数.（b） 若很大时,试求.（c） 给出 ,试验证极限概率.23 假定某时期事件发生的次数是参数为的泊松随机变量.如果每一个发生了的事件被计数的概率为,而且事件是否被计数是相互独立的,试证被计数的事件个数是参数为的泊松随机变量.并且给出这一结果的直观解释. 作为上述结果的一个应用,假定某个给定区域内铀矿的个数是参数为的泊松随机变量,在某固定时期,独立地找到每一个矿的概率为,试求在这段时间内下列事件发生的概率（a）正好找到一个矿,（b）至少找到一个矿（c）至多找到一个矿.24 试证 提示：运用分部积分法.25 设为几何随机变量,试用分析方法证明 并利用几何随机变量的含义对上式为什么成立给出一个口头说明.26 设是参数为的负二项随机变量,是参数为的二项随机变量,试证 提示：可用分析方法证明,上述结论等价于 也可利用随机变量的概率解释来证.也就是说,后一种情形是考虑一列独立试验成功的概率为的事件,运用这些事件的结果表示与.27 对一个超几何随机变量,试求 28 编号为至的球放在一个箱中,假定从中无放回地随机取出个,以表示被取出的球的最大编号.（a） 求的概率质量函数.（b） 导出的表达式,并利用费马组合恒等式（第一章理论习题11）验证.29 坛中有编号为的木块.先从中取出块,在被取出的木块中,以表示其编号比所有未取出的木块编号都大的木块个数 ,试求的概率质量函数.30 坛中有块木块,假定某人从坛中不断地取出一个木块, 每次取出一个后放回,再取下一个.这样连续进行直到他取出先前已被取出过的一个木块为止.以表示他取木块的次数,试求的概率质量函数.31 利用（8.5）式证明（8.6）.32 试证当很大时, 33 箱中最初有一个红球一个蓝球,随机取出一球,然后再放入一个颜色相同的球.设表示第一次取出蓝球的次数.例如,如果第一次取出红球,第二次取出蓝球,则.（a） 计算.（b） 试证蓝球以概率最终将会被取出.（即证明.）（c） 计算.自测题1 假定随机变量表示某垒球运动员接下来三次击球击中的次数,若,且,试求.2 假定取值.对某个常数,试求.3 抛一枚硬币直到出现正面或背面两次停止,出现正面的概率为,试求抛硬币的期望值.4 某社团由个家庭组成,其中第个家庭有个孩子,.若随机选出一个家庭, 表示选中那个家庭的孩子数.若从个孩子中随机选出一个孩子, 表示选中那个孩子所在的家庭的孩子数.试证.5 假定,若,试求.6 盒中有甲、乙两枚硬币.其中甲硬币出现正面的概率为,乙硬币出现正面的概率为.随机选出一枚硬币,不知道选出的是哪一枚硬币.若出现正面你就可以赢元,反之输元.假定某知情人会卖给你（价值）一些信息,这信息是你选出的是哪一枚硬币,若你买了此信息则你的期望收益是多少？若你买了此信息,赌注为元,最后你可能得到或元（也就是说,后者表示输了）,并问取多大值,值得买此信息？7 某慈善家在红纸上写了正数,并交给公证人,反过来放到桌上.公证人抛一枚均匀的硬币,若出现正面,他在蓝纸上写下,若出现背面,则写下,反过来放在桌上.事先不知道值或硬币出现的结果.你有权力选择红纸或蓝纸,选好以后,观察纸上的数目,你可能获得奖金,可能是这张纸上的数目,也可能是另一张纸上的数目.例如,如果你选出蓝纸,纸上的数目是元,则你可能得到元,或者会得到红纸上的数目（或元）.假定你得到的奖金很大.（a） 试想若你先选择红纸,则不管观察到什么数,总是得到蓝纸上的数.（b） 若是一个非负数,考虑下述策略.选择蓝纸,若这个值至少是,则它会得到这个数.若小于,则会得到红纸的数目.设表示慈善家写下的值,采用这个策略,得到的奖金值.试求.试用表示慈善家写下的值,采用这个策略,总是得到蓝纸上的数值.8 表示参数为的随机变量,试证 提示：成功的次数小于等于等价于失败次数的什么表示.9 设是期望为,方差为的二项随机变量,试求.10 编号为到的球放在一个箱中,无放回地随机依次取出个球,试求, .其中表示被取出球的最大编号.提示：先求.11 甲、乙两个队进行一系列比赛,先胜场的队获胜,假定每场甲队获胜的概率为,且各场比赛结果是相互独立的.试求下列概率（a） 已知甲队第场获胜,求最后获胜的条件概率；（b） 已知甲队获胜,求第场获胜的条件概率.12 当地一个足球队可能会进行场比赛.如果这个周末比赛赢了,则会参加联赛高级赛的最后场比赛.相反如果输了,则会参加低级赛的最后场比赛.在高级赛中,每场赢的概率为,在低级赛每场赢的概率为.这周末这场比赛赢的概率为,在最后场比赛赢得场的概率是多少？13 一般地,某地区在一年内会有次狂风,试问在这一年内有次或更少的狂风的概率是多少？14 下鸡蛋数是参数为的泊松随机变量,其中鸡蛋下在树叶上,树叶上有一种某类型的昆虫,只有这个变量是正数才能观察到,如果这个变量等于,说明昆虫不在树叶上.若表示观察到的鸡蛋数,则 其中是参数为的泊松随机变量,试求.15 某转盘赌博一直继续到他赢了次赌博为止,此时他赢元.（a） 他玩次的概率是多少？（b） 若他赢了,其期望收益是多少？提示：每次他以概率赢元,以概率输元16 三人去喝咖啡,他们通过抛硬币来决定谁来买单, 如果某个人得到了与其余两人不同的结果,则他就是“奇数人”来买单.如果没出现“奇数人”,就继续抛一轮,直到出现“奇数人”为止.试求下列概率（a） 恰好轮；（b） 多于轮？17 若是参数为的