矩阵论习题答案（方保镕编著）习题.doc

习题 .11. 证 ：由内积定义，易知 (u, v) 满足 (v, u)= = (u, v) (u, v)= =(u, v) , R 设 w=，则 ( (u+v), w)= = =(u, w)+ (v, w) (u, u)= (当 u时)故V是欧氏空间.2. 解：方法同上.3. 解：（1）因为，当且时，故该实数不是内积.（2）取，有，所以，故该实数不是内积.（3）设，则有=（） 当时，；当，存在使得，从而 故该实数为内积.4. 解：（1）与（2）均不构成欧氏空间；（3）与（4）是.5. 解：= .6. 解： （1） ， ，所以度量矩阵（2）， 在基1，x，x2下的坐标为，所以.7. 解：(1) ( , ) =A=( , ) ( +, )=( +) A= (A)+(A) = ( , ) +(, ) ( , )=A0 (因为A正定，对, 正定二次型A0 ).所以，此时R构成欧氏空间. (2) ( , )=A = 故该自然基在此特殊内积定义下的度量矩阵为A(3) .8. 证：由不等式 , 取， 代入即得.9. 证：考察 += ,两端分别与 作内积得方程组 由于上述方程组仅有零解(意味着线性无关)的充要条件是系数行列式det，从而得证.10. 证： 设基（I）与基（II）的度量矩阵分别为A与B，向量在（I）与（II）下的坐标为X1与X2，向量在（I）与（II）下的坐标为Y1与Y2.需证明.设从基（I）至基（II）的过渡阵为C，因为X1=CX2，而CTAC=B，于是有 11. 解： (1) u=v , =0 由, u与v必共线，即成比例 u=v ,且 0 ; (2) u=v (0), = ，u与v必共线，且方向相反，即 u=v ( ) .12. 解： (1) ; (2) ， ; (3) . 13. 解：设单位向量为 有 得 , 故 14. 解：先正交化.取 , 令 , 欲使与正交，即 (, )=( )= )+(=0只要选 =因此 同理，令 , 使它同时与正交，只要选 所以 再单位化得 , , .15. 解：先正交化. 再单位化得P 的一个标准正交基为 16. 解：由 不难得到基础解系 它是解空间的一组基，将其正交化得 再单位化得标准正交基 . 17. 解：（1）由于，所以 .（2）由基（I）到基（II）的过渡矩阵为 ,于是B=CT .（3）利用Schmidt正交化方法将基（I）标准正交化得，,单化化 ， .18. 解：因度量矩阵A对称正定，所以存在正交矩阵Q，使得，经计算，.令，则有CTAC=I，即A与I相合，其中C是由基改变到标准正交基的过渡过矩阵.由可得的一组标准正交基 ， .19. 解 ： 必要性.因为 (u ,v) = 此时，推得 ()=1 () , () =0 ()故 为标准正交基. 充分性显然.20. 解：因为 所以是标准正交基.21. 证： 因为A对称正定，所以存在正交矩阵Q，使得，其中是A的特征值，它们都是正数.记D=diag（），则，令 = QD-1QT显然C为对称正定矩阵，且有CTAC=I.因此，由=C确定的基的度量矩阵为B=CTAC=I，从而该基是Vn的一组标准正交基.22. 解：由已知取 标准化得V的一组标准正交基 .23. 解：由于在给定基下的