安徽省高中数学第四章圆与方程复习教案新人教A版.docx

第四章 圆与方程教学目标1.了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题;掌握圆的标准方程和一般方程,加深对圆的方程的认识.2.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系,能用直线与圆的方程解决一些简单问题.3.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置,会用空间两点间的距离公式.4.通过本节的复习,使学生形成系统的知识结构,掌握几种重要的数学思想方法,形成一定的分析问题和解决问题的能力.教学重、难点教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成.教学难点:整理形成本章的知识系统和网络.教学准备多媒体课件教学过程导入新课 同学们,我们前面学习了圆、直线与圆、空间坐标系等知识,那么我们具体学了哪些知识点,有哪些重要的思想方法,哪些知识高考常考,应形成什么样的理念呢?为此我们利用一节课的时间进行系统的整理,帮助同学们构建知识系统和网络,掌握解题的思路和方法.推进新课新知探究提出问题圆的方程有哪几种形式?它们各自有什么特点?点与圆、直线与圆、圆与圆分别有什么样的位置关系?如何判断?如何用坐标法解决平面几何问题?怎样在平面直角坐标系的基础上建立空间直角坐标系?平面直角坐标系与空间直角坐标系中两点间的距离公式有何异同?讨论结果：圆的方程有标准方程和一般方程两种形式.圆的标准方程:(xa)2(yb)2=r2.它给出了圆心位置和半径大小.圆的标准方程含有三个参数a、b、r,因此必须具备三个独立条件,才能确定圆的标准方程.对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有当D2+E2-4F0时才表示圆.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个参变数D、E、F,因此必须具备三个独立条件,才能确定圆的一般方程.点与圆的位置关系有点在圆外、在圆上、在圆内.用点到圆心的距离和半径的大小及坐标与方程来说明的话应为:当点到圆心的距离大于半径,点在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆外;当点到圆心的距离等于半径,点在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;当点到圆心的距离小于半径,点在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆内.直线与圆的位置关系有相离、相切、相交.判断方法有:一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式来讨论位置关系.当0时,直线和圆相交.当=0时,直线和圆相切.当0时,直线和圆相离.方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.当dR时,直线和圆相交.当d=R时,直线和圆相切.当dR时,直线和圆相离.圆与圆的位置关系有相离、相切、相交.判断方法有:一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.用坐标法解决平面几何问题有三步曲:第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.过平面直角坐标系的原点作一条垂直于坐标平面的直线,则就建立了空间直角坐标系,平面直角坐标系中两点之间的距离公式是d=,空间两点之间的距离公式是d=,它们形式上相同,其不同点是多了一项,即与竖坐标有关的一项.应用示例例1 求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5, 2)和点B(3,-2)的圆的方程.活动：学生阅读题目,理解题意,相互交流或讨论,教师引导学生考虑解题的方法,注意总结,因为条件与圆心有关系,因此可设圆的标准方程,利用圆心在直线2x-y-3=0上,同时也在线段AB的垂直平分线上,由两直线的交点得出圆心坐标,再由两点间的距离公式得出圆的半径,从而得到方程.解:方法一:设圆的方程为(xa)2(yb)2=r2,由已知条件得解得所以圆的方程为(x2)2(y1)2=10.方法二:因为圆过点A(5,2)和点B(3,-2),所以圆心在线段AB的垂直平分线上,线段AB的垂直平分线方程为y=-(x-4).设所求圆的圆心C的坐标为(a,b),则有解得所以圆心C(2,1),r=|CA|=所以所求圆的方程为(x2)2(y1)2=10.点评:本题介绍了几何法求圆的标准方程,利用圆心在弦的垂直平分线上或者利用两圆相切时连心线过切点,可得圆心满足的一条直线方程,结合其他条件可确定圆心,由两点间的距离公式得出圆的半径,从而得到圆的标准方程.其实求圆的标准方程,就是求圆的圆心和半径,有时借助于弦心距、圆半径之间的关系计算,可大大简化计算的过程与难度.如果用待定系数法求圆的方程,则需要三个独立的条件,“选标准,定参数”是解题的基本方法,其中选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方程形式,进而确定其中三个参数.变式训练 圆：x2+y2-4x+6y=0和圆：x2+y2-6x=0交于A、B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0答案：C(由平面几何知识知AB的垂直平分线就是连心线.)例2 两定点A、B相距为8,求到A、B的距离的平方和为50的点P的轨迹方程.(1) (2)图1活动：学生先思考或讨论,回忆求轨迹方程的方法,教师及时引导,首先建立适当的直角坐标系,根据题中的等量关系即同一点出发的两切线间的关系,由直线与圆相切及勾股定理得出切线长,构成方程即可.解:方法一:以AB中点O为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,如图1(1).设动点P(x,y)、A(-4,0)、B(4,0).PA2+PB2=50,(x+4)2+y2+(x-4)2+y2=50.动点P的轨迹方程为x2+y2=9.方法二:以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,如图1(2).设动点P(x,y)、A(0,0)、(8,0).PA2+PB2=50,x2+y2+(x-8)2+y2=50.动点P的轨迹方程为(x-4)2+y2=9.点评:求轨迹方程注意:(1)求哪个点的轨迹,设哪个点的坐标为(x,y);(2)求轨迹方程与求轨迹有区别,求轨迹方程得出方程即可,求轨迹得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形;(3)建立的坐标系不同,同一曲线的轨迹方程不同,但轨迹图形相同.求轨迹方程的方法有两大类直接法和间接法.本题为直接法,将几何关系式PA2+PB2=50,直接“翻译”为含x、y的方程,这是最基本最重要的方法.例3 用解析法证明等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值.活动：学生审题,教师引导,解析法证明实质上是坐标法,建立适当的坐标系是关键,同时要紧扣坐标法解题的三步曲.图2解:建立如图2的直角坐标系,设边长为2a,则A(0,a)、B(-a,0)、C(a,0),直线AB的方程为x+y+a=0,直线AC的方程为x+y-a=0,直线BC的方程为y=0.设P(x0,y0)为ABC内的任一点,则P在AC、AB的下方,在BC的上方,于是有|PD|+|PE|+|PF|= =a.所以是定值.点评：注意坐标法解题的步骤.知能训练复习参考题A组2、4、6、8.拓展提升 设有半径为3 km的圆形村落,A、B两人同时从村落中心出发,A向东而B向北前进,A出村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落周界的方向前进,后来恰好与B相遇,设A、B两人的速度都一定,其比为31,问A、B两人在何处相遇？活动：学生阅读题目,理解题意,这是一个应用题,应首先建立适当的坐标系,结合几何知识解题.由于是圆形村落,A、B两人同时从村落中心出发,于是可以以村落中心为原点,以开始时A、B两人的前进方向为x、y轴,建立坐标系,这就为建立解析几何模型创造了条件,然后再准确设元,列出方程.图3解:以开始时A、B两人的前进方向为x、y轴,建立坐标系,由题意可设A、B两人的速度分别为3v km/h,v km/h,再设A出发x0 h后在点P处改变前进方向,又经y0 h在点Q处与B相遇,则P、Q两点的坐标为(3vx0,0),(0,v(x0+y0),如图3所示.由于A从点P到Q行走的时间是y0 h,于是由勾股定理有|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,有(3vx0)2+v(x0+y0)2=(3vy0)2.化简整理得(x0+y0) (5x0-4y0)=0.又x0+y00,所以5x0=4y0. 于是kPQ=. 把代入得kPQ=-.由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x0+y0)的值就是问题的答案,于是转化为“当直线y=-x+b与圆相切时,求纵截距b的值”.利用圆心到切线的距离等于圆的半径,得=3,解得b=(b0).因此A、B两人相遇的位置是离村落中心正北3km处.课堂小结 本章的知识点主要是实现由形到数的一种转变,所以在今后的学习中要把握关键,寻求规律,掌握方法,要时刻把握好直线与圆的综合问题、相交及求交点等问题的应用以及直线与圆的实际应用.作业复习参考题 B组2、3、5、6.板书设计 本章复习本章知识结构框图 例1 变式 例2归纳、总结教学反思本节复习课是对已学知识进行归纳、总结,以形成更系统、更完整的知识体系；对已学知识进一步加深理解,强化记忆,是一个再认识、再学习的过程,对已掌握的技能、规律、方法进行深化和进一步熟悉,提高学生分析、理解问题的