2韩国平考研串讲之导数与微分.doc

串讲串讲 2 ch2 导数与微分 导数与微分 6 10 一一 一一 基本概念基本概念 1 1 定义 定义 1 1 设函数 设函数在点在点的某邻域内有定义 如果的某邻域内有定义 如果存在 存在 yf x 0 x 0 0 0 lim xx f xf x xx 则称则称在在点处可导 并称此极限为函数点处可导 并称此极限为函数在点在点处的导数 记为处的导数 记为 f x 0 x yf x 0 x 即 即 或 或 0 x xy 0 00 0 lim x x x f xxf x y x A 0 0 0 lim xx f xf x xx 0 xx dx dy 0 x x df x dx 注意 注意 结构的一致性 结构的一致性 的方式的任意性的方式的任意性 0 xx 定义定义 2 2 左导数 左导数 右导数右导数 0 0 0 0 lim xx f xf x fx xx 0 0 0 0 lim xx f xf x fx xx 定义定义 3 3 导函数 导函数 0 lim x f xxf x fx x 2 2 左导数 右导数 导数的关系 左导数 右导数 导数的关系 左导数 右导数左导数 右导数 导数导数 注 注 1 1 分段函数分段点的可导性 必用上述结论 分段函数分段点的可导性 必用上述结论 2 2 在在不可导 如不可导 如 则 则在在处处 0 f xxx 0 x 0 lim 0 xx g x 0 f xg x xx 0 xx 可导可导 3 3 函数不具体 必用导数定义 函数不具体 必用导数定义 4 4 0 00 x x fxfxf x 5 5 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 奇 周期 周期 周期 周期 6 6 单调 单调 不一定单调不一定单调 f x fx 3 3 导数的几何意义 导数的几何意义 表示表示在在点切点切线斜率线斜率 0 fx yf x 00 xy 1 1 切线方程 切线方程 000 yyfxxx 2 2 法线方程 法线方程 000 0 1 0yyxxfx fx 00 0 xxfx 4 4 可导与连续的关系 可导与连续的关系 可导必连续 但连续不一定可导 可导必连续 但连续不一定可导 5 5 高阶导数 高阶导数 1 1 定义 二阶及二阶以上的导数定义 二阶及二阶以上的导数 2 2 公式 公式 n xx ee ln n n xx aaa sinsin 2 nn xx coscos 2 nn xx 1 1 1 n n n n xa xa 1 11 ln n n n n xa xa ln AAA 6 6 微分 微分 二 导数的运算法则 二 导数的运算法则 1 1 设 设 都可导 则 都可导 则 1 1 2 2 f x g x xgxfxgxf 3 3 xgxfxgxfxgxf xg xgxfxgxf xg xf 2 2 2 反函数的导数 设 反函数的导数 设是是的反函数 且的反函数 且单调可导 则单调可导 则 yf x xg y yf x 也单调可导 且也单调可导 且 xg y 1 y x x y 3 3 复合函数的导数 如果 复合函数的导数 如果在点在点可导 而可导 而在在可导 则可导 则 xu x ufy xu 复合函数复合函数在点在点可导 且其导函数为可导 且其导函数为 xfy x dx du du dy dx dy 4 4 常见公式 常见公式 0c 1 xx sincosxx cossinxx xx ee ln xx aaa 1 ln x x 1 log ln x a xa 2 tansecxx 2 cotcscxx secsectanxxx csccsccotxxx 2 1 arcsin 1 x x 2 1 arccos 1 x x 2 1 arctan 1 x x 2 1 cot 1 arcx x k k xk 5 5 隐函数求导法 隐函数求导法 6 6 由参数方程所确定函数的导数 由参数方程所确定函数的导数 xx t yy t t t ydy dxx 2 2 t dy t d ydx dxx 三三 重要考点重要考点 1 利用导数定义求导数 利用导数定义求导数 注 注 1 分段函数分段点的可导性 必用定义分段函数分段点的可导性 必用定义 2 2 函数不具体必用定义函数不具体必用定义 1 已知已知在在上有定义 上有定义 存在 且对任意的存在 且对任意的 恒有 恒有 f x 0f x y 求 求 2f xyf xfyxy f x 解 因为解 因为 2 f xyf xfyxy 令令 则 则0y 000f xf xff 由 由 可得 可得 2 f xyf xfy x yy 当当时 对上式取极限 于是有时 对上式取极限 于是有0y fx 00 0 limlim2 0 yy f xyf xfyf x yy 02fx 即即 02fxfx 积分得积分得 2 0f xfxxC 将将 代入上式代入上式 00f 0C 故故 2 0f xfxx 2 2导数的几何意义导数的几何意义 确定点是否在曲线上确定点是否在曲线上 代公式代公式 1 设周期函数设周期函数在在内可导 周期为内可导 周期为 4 又 又 则曲线 则曲线 f x 1 2 11 lim 0 x xff x 在点在点处的切线的斜率为处的切线的斜率为 yf x 5 5f A B 0 C 1 D 2答 答 2 1 解 解 2 11 lim 55 lim5 00 x fxf x fxf f xx 3 已知可导性求待定常数已知可导性求待定常数 1 已知函数已知函数 在在内连续可导 则内连续可导 则 2 23 0 0 xxx f x axb x A B 2 3ab 2 3ab C D 3 2ab 3 2ab 4 求高阶导数求高阶导数 1 化简整理 有理函数分解成部分分式和化简整理 有理函数分解成部分分式和 利用利用求导 求导 bax 1 三角函数利用积化和差化为三角函数利用积化和差化为 或或sin axb cos axb 2 利用求导公式 求导法则求 也可利用前几阶导数总结规律 利用归纳法求导 利用求导公式 求导法则求 也可利用前几阶导数总结规律 利用归纳法求导 1 设设求求 22 1 2 yxxxx 100 y 解 将函数式改写为解 将函数式改写为 22 222 12 11 1 222 xxxx y xxxxxx 1111 11 21312xxxx 从而有从而有 100 100 101101 111100 11 3123 12 y xx xx 2 设设求求 2 x a f xx e 0 n f 解 应用莱布尼茨法则可得 解 应用莱布尼茨法则可得 12 2 1111 22 2 nnn xxx n aaa n n fxx enxee aaa 由此可知由此可知 2 011 n nn fn na 5 隐函数求导隐函数求导的一般步骤的一般步骤 1 由要求的结果确定函数关系 由要求的结果确定函数关系 2 等式两端关于自变量求导 因变量看作自变量的复合函数 等式两端关于自变量求导 因变量看作自变量的复合函数 3 解方程 解方程 已知已知求求 1 xy xey 00 xx yy及 解 显然解 显然 x 0 时 时 y 1 1 2 xyyxeeyyxxey xyxyxy 因此因此 1 0 0 ey x 而而 1 2 22 yyxxyyxeyyxyxyxey xyxy 即得即得 2 00 0 eey x 6 参数求导法参数求导法 t t t t x dx dy dx yd x y dx dy tyy txx 2 2 设设求求 cos1 5 sin 5 ty ttx 2 2 dx yd dx dy 解 解 t t dx dy cos1 sin 222 2 cos1 5 1 cos1 5 1 cos1 sinsincos cos1 ttt tttt dx yd ch3 中值定理与导数应用 中值定理与导数应用 15 18 一 一 一 罗尔定理 一 罗尔定理 如果如果在在上连续 在上连续 在内可导 且内可导 且 f x a b a b f af b 则在则在内至少存在一点内至少存在一点 使 使 a b ab 0f 注 注 1 1 条件是充分条件条件是充分条件 2 2 证含证含的导数等式常用罗尔定理的导数等式常用罗尔定理 3 3 条件缺一不可条件缺一不可 二 拉格朗日中值定理 二 拉格朗日中值定理 如果如果在闭区间在闭区间上连续 在开区间上连续 在开区间内可内可 f x a b a b 导 则在导 则在内至少存在一点内至少存在一点 使 使 a b ab abfafbf 注 注 1 1 函数值的改变量函数值的改变量结构结构 2 2 条件是充分条件 条件缺一不可条件是充分条件 条件缺一不可 f bf a 3 3 4 4 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况 0fxf xc 三 柯西定理 三 柯西定理 如果如果在闭区间在闭区间上连续 在开区间上连续 在开区间内可导 内可导 f x g x a b a b 且且在在内每一点均不为零 那么在内每一点均不为零 那么在内至少有一点内至少有一点 使 使 g x a b a b g f agbg afbf 注 注 1 1 两个函数的函数值的改变量比两个函数的函数值的改变量比结构结构 f bf a g bg a 2 2 条件是充分条件 条件缺一不可条件是充分条件 条件缺一不可 3 3 拉格朗日中值定理是柯西定理的特殊情况拉格朗日中值定理是柯西定理的特殊情况 四 泰勒定理 四 泰勒定理如果如果在含有在含有的某个开区间的某个开区间内具有直到内具有直到阶导阶导 f x 0 x a b1n 数 则当数 则当时时 bax 00 00000 in in n fxfx f xf xfxxxxxxxRx in 其中其中 1 1 0 1 n n n f Rxxx n 注 注 1 1 常见的泰勒展开式常见的泰勒展开式 23 1 1 2 3 1 n xn xxxe exx nn 35 21 21 sin 2 sin 3 5 21 n n xx xxx n 24 2 cos cos1 2 4 2 n nxx xx n 2 1 1 111 11 2 12 1 1 n n n n xxxx n n x n 231 1 1 1 ln 111 231 1 nn nn n xxxx xx nn 0 x 2 2 关于高阶导数问题关于高阶导数问题 五 导数的应用 五 导数的应用 1 1 极值 设函数 极值 设函数在区间在区间内有定义 内有定义 是是内一个点 内一个点 f x a b 0 x a b 如果存在点如果存在点的一个去心邻域 对于这去心邻域内任何点的一个去心邻域 对于这去心邻域内任何点都有都有 0 xx 0 f xf x 则称则称为极大 小 值为极大 小 值 0 f xf x 0 f x 2 2 单调区间 使函数保持单调性的区间 单调区间 使函数保持单调性的区间 3 3 驻点 驻点 的点的点 0fx 4 4 最大值 最小值与极值的关系 最大值 最小值与极值的关系 最值是整体概念 极值是局部概念 最值可在边界取得 但极值只能在内最值是整体概念 极值是局部概念 最值可在边界取得 但极值只能在内 部取得部取得 5 5 凹凸性的定义 凹凸性的定义 6 6 拐点 连续曲线上凹与凸的分界点 拐点 连续曲线上凹与凸的分界点 7 7 渐近线 渐近线 六 基本定理 六 基本定理 1 1 单调性的判定定理 设函数 单调性的判定定理 设函数在在上连续上连续在在内可导内可导 yf x a b a b 1 1 如果在 如果在内内 则则在在上单调增加上单调增加 a b 0fx f x a b 2 2 如果在 如果在内内 则 则在在上单调减少上单调减少 a b 0fx f x a b 2 2 极值存在的必要条件 函数 极值存在的必要条件 函数在点在点处可导 且在处可导 且在处取得极值 则处取得极值 则 f x 0 x 0 x 0 0fx 3 3 第一充分条件 设 第一充分条件 设在点在点的一个邻域内可导且的一个邻域内可导且 f x 0 x 0 0fx 1 1 如果当 如果当时时 当 当时时则则在在处取得极大值处取得极大值 0 xx 0fx 0 xx 0fx f x 0 x 2 2 如果当 如果当时时 当 当时时 则 则在在处取得极小处取得极小 0 xx 0fx 0 xx 0fx f x 0 x 值值 3 3 如果 如果在在两侧 两侧 符号不变 符号不变 则则在在处不取极值处不取极值 f x 0 x fx f x 0 x 注 注 不存在的点或不存在的点或不易求的点常用此定理不易求的点常用此定理 fx fx 4 4 第二充分条件 第二充分条件 设设在在处具有二阶导数 且处具有二阶导数 且 f x 0 x 0 0fx 则 则 1 1 当 当时 时 取极大值 取极大值 2 2 当 当时 时 0 0fx 0 0fx f x 0 0fx 取极小值 取极小值 f x 注 注 1 1 驻点驻点2 2 二阶导函数易求二阶导函数易求 5 5 函数凹凸性的判定定理 函数凹凸性的判定定理 在在上连续 在上连续 在内具有二阶导数内具有二阶导数 f x a b a b 1 1 若 若 则则在在上是凹的上是凹的 0fx f x a b 2 2 若 若 则 则在在上是凸的上是凸的 0fx f x a b 6 6 曲率的计算公式 曲率的计算公式 2 3 2 1y y k 二二 重要考点重要考点 1 不等式的证明不等式的证明函数值的改变量函数值的改变量的不等式证明常用中值定理的不等式证明常用中值定理 f bf a 己知己知在在内可导 且内可导 且 f x limexf x 求 求的值的值 1limlim xfxf cx cx x x x c 解 由条件易见解 由条件易见 c 0 c cx cx c cx x x x e cx c cx cx 2 2 2 2 1 limlim 由拉格朗日定理 有由拉格朗日定理 有1 1 fxfxf 其中其中 介于介于 x 1 与与 x 之间 那么之间 那么efxfxf xx lim 1 lim 于是 于是 e2c e 故 故 2 1 c 2 2证明含证明含的函数导数的等式的函数导数的等式 其一般步骤其一般步骤 1 1 由条件和结论 将结论中的 由条件和结论 将结论中的用用 代替 构造函数代替 构造函数x 2 2 利用罗尔定理 利用罗尔定理 3 3 整理 得结论 整理 得结论 0 hfgf bFaF xLxfxF 2 1结构 1 设函数 设函数在区间在区间上连续 在上连续 在内可导 且内可导 且 f x 0 1 0 1 1 2 1 010 fff 试证 试证 1 存在 存在 使 使 2 对任意实数 对任意实数 必存在 必存在 1 2 1 f 使得 使得 0 1 ff 证 证 1 令 令 则 则在 在 0 1 上连续 又 上连续 又 xf xx x 110 0 故由闭区间上连续函数的介值定理知 存在 故由闭区间上连续函数的介值定理知 存在 使得 使得 2 1 2 1 1 2 1 0 ff即 2 设 设 xxfexexF xx 则则 F x 在 在 0 上连续 在 上连续 在 0 内可导 且 内可导 且 0 0 0 eFF 即即在在上满足罗尔定理的条件 故存在上满足罗尔定理的条件 故存在 使得 使得 F x 0 0 0F 1 0 1 ff ffe 从而 3 3证明含证明含的函数导数等式的函数导数等式 此类题的思路 此类题的思路 1 1 构造函数 构造函数 2 2 运用两次中值定理 运用两次中值定理 注 将含注 将含和和的分别整理到一起的分别整理到一起 设设在在上连续 在上连续 在内可导 内可导 f x a b a b0ab 试证存在试证存在使使 ba f ba f 2 证 令证 令则对则对 f x f x g x g x 在在 a b a b 上应用柯西定理上应用柯西定理 2 xxg 1 1 2 22 f ab afbf 而对而对 f x f x 在在 a b a b 上由拉格郎日中值定理 知存在上由拉格郎日中值定理 知存在 2 abfafbfba 使 1 2 即得结论 即得结论 4 4 证明含证明含的函数导数的不等式 常用反证法 的函数导数的不等式 常用反证法 设不恒为常数的函数设不恒为常数的函数在闭区间在闭区间 a b 上连续 在开区间 上连续 在开区间 a b 内可导 且 内可导 且 f a f b f x 证明在 证明在 a b 内至少存在一点 内至少存在一点 使 使 0 f 证 因证 因 f a f b 且且 f x 不恒为常数 故至少存在一点不恒为常数 故至少存在一点 c a b 使得 使得 f c f a f b 于是 于是 f c f a 或或 f c f a 则在 则在 a c 上因 上因满足拉格朗日定理条件 故至少存在一点满足拉格朗日定理条件 故至少存在一点 f x a c a b 使得 使得 0 1 afcf ac f 对于对于 f c f a 的情形 类似地可证得此结果的情形 类似地可证得此结果 5 5 求单调区间 极值求单调区间 极值其一般步骤其一般步骤 1 1 求出 求出的点和的点和不存在的点不存在的点 0 x f x f 2 2 这些点将定义区间分成许多小区间 在各小区间上讨论 这些点将定义区间分成许多小区间 在各小区间上讨论符号给出单调区间符号给出单调区间 x f 3 3 由第一充分条件给出极值点的结论 由第一充分条件给出极值点的结论 对于对于存在的驻点存在的驻点由第二条件给出结论由第二条件给出结论 x f 6 利用函数单调性证明不等式利用函数单调性证明不等式其一般步骤其一般步骤 1 整理 整理并将不等式一端移到另一端构造函数并将不等式一端移到另一端构造函数 2 讨论单调性 极值 最大 小值 讨论单调性 极值 最大 小值 3 结论 结论 特点 函数端点值或极限值为特点 函数端点值或极限值为 0 设设 证明 证明 0 1x 1 1 2 11 1ln 1 1 2ln 1 2 1ln1 22 xx xxx 证 证 1 1 令 令0 0 1 ln 1 22 则有 xxxx 22 2 1 ln 1 0 0 0 1 ln 1 2 1 0 0 0 2 1ln 2 1 ln xxxxx xx x xx xxxx 即 从而所以 时 因为当 2 2 令 令 则有 则有 1 0 1 1ln 1 x xx xf 1 ln 1 1 ln 1 22 22 xxx xxx xf 又又 f x f x 在区间在区间 0 1 1 0 0 1单调减少 内于是推知在 当 知 由 xfxxf 时 故当上连续 且 1 0 1 2ln 1 1 1 0 xf 不等式左边证毕不等式左边证毕1 2ln 11 1ln 1 xx xf 2 1 1 2 lim 1ln lim 1ln 1ln lim lim 0 2 000 xx x x xx xx xx xf xxxx 又 故当故当不等式右边证毕不等式右边证毕 2 11 1ln 1 1 0 xx xfx时 7 7 求最大 小值求最大 小值 1 1 确定函数并求出 确定函数并求出的点和的点和不存在的点不存在的点 0fx fx 2 2 比较区间内上述各点与区间端点函数值的大小 比较区间内上述各点与区间端点函数值的大小 3 3 结论 结论 8 8 讨论方程根的个数讨论方程根的个数 1 1 利用介值定理讨论根的存在性 利用介值定理讨论根的存在性 2 2 利用单调性讨论根的个数 利用单调性讨论根的个数 3 3 注意奇偶性 周期性 有界性 注意奇偶性 周期性 有界性 其步骤为 其步骤为 1 1 求出定义域及求出定义域及和和不存在的点不存在的点 0 x f x f 2 2 这些点将定义区间分成许多小区间 求各区间端点的函数值或极限值这些点将定义区间分成许多小区间 求各区间端点的函数值或极限值 3 3 由介值定理给出结论由介值定理给出结论 就就的不同取值情况的不同取值情况 确定方程确定方程 的根的个数的根的个数 并证明你的结论并证明你的结论 k03 3 kxx 解 设解 设 33 3 23 xykxxy则 令令 由极值点的充分条件可知由极值点的充分条件可知 1 10 xy 6xy 为极大值为极大值 2 06 11 kyy xx 为极小值为极小值 2 06 11 kyy xx 当极大值当极大值时时 方程只有一个实根方程只有一个实根 同理同理 当极小值当极小值02 02 kk 时时 方程也只有一个实根方程也只有一个实根 总之总之 当当 方程有一个实根方程有一个实根 02 02 kk2 k 当当 方程有方程有0202 kk或者 两个实根两个实根 当当 方程有三个实根方程有三个实根 0202 kk同时 9 9 判断函数凹凸性及拐点判断函数凹凸性及拐点其一般步骤其一般步骤 1 1 求出 求出的点和的点和不存在的点不存在的点0 x f x f 2 2 这些点将定义区间分成许多小区间在各小区间上讨论 这些点将定义区间分成许多小区间在各小区间上讨论符号符号 x f 4 4 结论结论 求曲线求曲线的拐点的拐点 0 1 1 2 x x y 解 解 令令 32 2 22 1 13 2 1 2 x x y x x y 3 1 0 xy 解得 在在的左右邻近的左右邻近 y 变号 所以变号 所以是拐点的横坐标是拐点的横坐标 3 1 x 3 1 x 曲线的拐点是曲线的拐点是 4 3 3 1 1010 求曲线的渐近线求曲线的渐近线其步骤其步骤 1 求出使函数无定义的点 求出使函数无定义的点 xi 判断判断是否存在是否存在 limxf i xx limxf i xx 2 判断 判断是否存在是否存在cxf x x lim 3 考察 考察是否都存在是否都存在 0lim a x xf x x limaxxf x x 曲线曲线的全部渐近线是的全部渐近线是 9 2 2 x x yxyxx 3 3 1111关于高阶导数的命题关于高阶导数的命题 利用泰勒展开式 利用泰勒展开式 注 注 1 1 只要牵扯到高阶导数必考虑利用泰勒展开式只要牵扯到高阶导数必考虑利用泰勒展开式 2 2 一般在一般在的展开或端点或任意点的展开或端点或任意点 0 n fx x 3 3 多个函数和商的极限多个函数和商的极限 在在 0 1 0 1 上二阶导数连续上二阶导数连续 并且当并且当 xf0 1 0 ff 0 1 xAxf 求证 求证 1 0 2 X A xf 证明 由于证明 由于在在上具有二阶连续导数上具有二阶连续导数 则则可展成一阶泰勒公可展成一阶泰勒公 xf 1 0 xf 式式 即即 在在与与之间之间 2 0000 2 1 xxfxxxfxfxf x 0 x 取取 则则xxx 0 0 1 1 1 0 2 0 0 0 1 2 1 x x fxxfxff 取取则则xxx 0 1 2 2 1 0 2 1 1 1 2 2 2 x x fxxfxff 2 1 2 1 得得 1 2 1 2 2 2 1 xfxfxf 又又 1 0 xAxf 则则 122 2 1 2 222 xx A xx A xf 当当时时 故故10 x1122 2 xx 2 A xf ch4不定积分 不定积分 4 8 一 一 一 原函数和不定积分定义一 原函数和不定积分定义 1 原函数 原函数 则 则是是的一个原函数的一个原函数 xfxF F x f x 注 注 1 连续函数一定存在原函数 连续函数一定存在原函数 dttf x 0 2 原函数如存在一定有无穷多个 原函数如存在一定有无穷多个 3 同一函数的原函数相差一个常数 同一函数的原函数相差一个常数 2 不定积分 不定积分 全体原函数全体原函数 cxFdxxf x cdttfdxxf 0 二 不定积分的基本积分公式和性质 二 不定积分的基本积分公式和性质 1 公式 公式 cxdxx 1 1 1 cedxe xx ln x x a a dxc a cxxdxcossin cxxdxsincos cxxdxcoslntan cxxdxsinlncot cxdx x arcsin 1 1 2 cxdx x arccos 1 1 2 cxdx x arctan 1 1 2 cxxxdxtanseclnsec cxxxdxcotcsclncsc cxdx x cot sin 1 2 cxdx x tan cos 1 2 2 性质 性质 1 2 dxxfkdxxkf f xg xdxf x dxg x dx 三 不定积分的换元积分法和分部积分法 三 不定积分的换元积分法和分部积分法 1 换元积分法 换元积分法 1 第一换元 凑微分 第一换元 凑微分 cxgFdxxgxghdxxf 注注 1 1 baxdbaxf a dxbaxf 2 1 1 baxdbaxf an dxxbaxf nnnn 3 1 baedbaef a dxebaef xxxx 4 5 xdxfdx x xfln ln 1 ln xdxfxdxxfsin sincos sin 6 xdxf x dx xfarcsin arcsin 1 arcsin 2 7 xdxfdx x xftan tan cos 1 tan 2 8 xdxfdx x xfarctan arctan 1 1 arctan 2 9 222 2 1 1 1 1 x fxdxfxdx x 10 11 2 b x a db x a f a dx x b x a f 2 第二换元积分法第二换元积分法 ctFdttgtgftgxdxxf 被积函数含被积函数含 0 1 cos sin 22