初等数论中的欧拉定理.doc

初等数论中的欧拉定理定理内容在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则 a(n) 1 (mod n) 证明首先证明下面这个命题： 对于集合Zn=x1,x2,.,x(n),其中xi(i=1,2,(n)是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = a*x1(mod n),a*x2(mod n),.,a*x(n)(mod n) 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此 任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi xj 则a*xi(mod n) a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。 所以，很明显，S=Zn 既然这样，那么 （a*x1 a*x2.a*x(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) a*x2(mod n) . a*x(n)(mod n)）(mod n) = （x1 x2 . x(n)）(mod n) 考虑上面等式左边和右边 左边等于(a*（x1 x2 . x(n)）) (mod n) 右边等于x1 x2 . x(n)）(mod n) 而x1 x2 . x(n)(mod n)和n互质 根据消去律，可以从等式两边约去，就得到： a(n) 1 (mod n) 推论：对于互质的数a、n，满足a(n)+1) a (mod n) 费马定理: a是不能被质数p整除的正整数，则有a(p-1) 1 (mod p) 证明这个定理非常简单，由于(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。 同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有ap a (mod p) 编辑本段平面几何里的欧拉定理定理内容设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr 证明O、I分别为ABC的外心与内心 连AI并延长交O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点 连DO并延长交O于E，则DE为与BC垂直的O的直径 由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IAID（作直线OI与O交于两点，即可用证明） 但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得）， 故只需证2Rr=IADB，即2RDB=IAr 即可 而这个比例式可由AFIEBD证得故得R2-d2=2Rr，即证 编辑本段拓扑学里的欧拉公式V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。 如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。 X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。 编辑本段经济学中的“欧拉定理”在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表述为QQ(L，K)，如果具体的函数形式是一次齐次的，那么就有：QL(ðQ/ðL)K(ðQ/ðK)，换句话说，产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形式。 因为ðQ/ðLMPLw/P被视为劳动对产量的贡献，ðQ/ðKMPKr/P被视为资本对产量的贡献，因此，此式被解释为“产品分配净尽定理”，也就是所有产品都被所有的要素恰好分配完而没有剩余。因为形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。 【同余理论中的欧拉定理】 设a,mN,(a,m)=1,则a(f(m)1(mod m) (注:f(m)指模m的简系个数) 编辑本段复变函数论里的欧拉公式定理内容eix=cosx+isinx e是自然对数的底，i是虚数单位。 它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 将公式里的x换成-x，得到： e-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： sinx=(eix-e-ix)/(2i)，cosx=(eix+e-ix)/2. 这两个也叫做欧拉公式。 “上帝创造的公式”将eix=cosx+isinx中的x取作就得到： ei+1=0. 这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。 编辑本段意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律 （2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图平面拉开图）。 （3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。 定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。 （4）提出多面体分类方法： 在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。 除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。 （5）利用欧拉定理可解决一些实际问题 如：为什么正多面体只有5种？ 足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？等 编辑本段V+F-E=2的证明方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。 （2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。 以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。 方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和 一方面，在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，nF，各面内角总和为： = (n1-2)180度+(n2-2)180度+(nF-2) 180度 = (n1+n2+nF -2F) 180度 =(2E-2F) 180度 = (E-F) 360度 （1） 另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。 设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)180度。 所以，多面体各面的内角总和： = (V-n)360度+(n-2)180度+(n-2)180度 =（V-2）360度（2） 由(1)(2)得： (E-F) 360度=（V-2）360度 所以 V+F-E=2. 方法3 用拓扑学方法证明欧拉公式 图尝试一下用拓扑学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。 欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末 F-E+V=2。 证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）： （1）把多面体（图中）看成表面是薄橡皮的中空立体。 （2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中的样子。假设F，E和V分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F-E+V=1。 （3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中的样子。每引进一条对角线，F和E各增加1，而V却不变，所以F-E+V不变。因此当完全分割成三角形的时候，F-E+V的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。 （4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图中的ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了ABC。这样F和E各减去1而V不变，所以F-E+V也没有变。 （5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图中的DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉DEF。这样F减去1，E减去2，V减去1，因此F-E+V仍没有变。 （6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中的样子。这时F=1，E=3，V=3，因此F-E+V=1-3+3=1。 （7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中那样。 （8）如果最后是像图中的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F-E+V仍然没有变。 即F-E+V=1 成立，于是欧拉公式： F-E+V=2 得证。 编辑本段欧拉定理的运用方法（1）分式： ar/(a-b)(a-c)+br/(b-c)(b-a)+cr/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由ei=cos+isin,得到： sin=（ei-e-i）/2i cos=（ei+e-i）/2 （3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d2=R2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 v-e+f=2-2p p为欧拉示性数，例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 (5) 多边形 设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有： V+Ar-B=1 (如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8) (6). 欧拉定理 在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。 其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。 编辑本段使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型？ 答：足球是多面体，满足欧拉公式FEV2，其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数 设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么 面数Fxy 棱数E(5x+6y)/2（每条棱由两块皮子共用） 顶点数V(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用） 由欧拉公式，xy(5x+6y)/2(5x+6y)/32， 解得x12。所以，共有12块黑皮子 所以，黑皮子