三角函数与平面向量.doc

专题测试三角函数与平面向量三角函数与平面向量在高考中的题量大致是三大一小，总分值约为26分左右，是高考中的重要得分点，从近几年的高考试题来看，三角函数与平面向量的小题一般都是中档偏易题，大题绝大部分是容易题，并作为第一道解答题，因此一定要重视三角函数和平面向量的复习. 三角函数小题的热点有三：一是利用诱导公式、同角三角函数的基本关系及特殊角的三角函数值求值问题，为容易题； 二是利用两角和与差的三角函数公式求值或化简三角函数式后求周期、单调区间，一般为中档题；三是三角函数的图象和性质的综合应用，一般为中档偏难题。平面向量小题的热点有三：一是向量的坐标运算，此为容易题；二是向量的几何运算，一般为中档题；三是向量与函数、三角函数、不等式的综合题，一般为中档偏难题。 三角函数与平面向量解答题在2007年高考文理36套试卷中，出现了31道，绝大部分是解答题第一题，少量试卷是第二道，其热点有三：一是应用正余弦定理及三角公式解三角形，在2007年高考中出现了12题；二是三角函数的图象与性质，可能结合向量与三角公式，在2007年高考中出现了12题；三是三角函数求值和应用题，在2007年高考中分别出现了4题和3题.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数的最小正周期是 ( )A. 4 B.2 C. D.2. 将函数的图象按向量平移，得到的函数图象的解析式为 （ ） A. B.C. D.3. 设a = (3, 4)，ab且b 在x 轴上的投影为2，则b= （ ） A. （2，） B. C. （） D.（） 4.（理）已知直线是函数图象的一条对称轴，则函数图象的一条对称轴方程是 （ ） A. B. C. D. (文)已知 ( )A. B. C.2 D.25. 已知非零向量a，b且函数在区间（0，+）和(，0) 上具有不同的单调性，则 （ ）A. ab B. ab C. |a| = |b| D. |a|b|6. 已知 ( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 不确定7. 已知O是ABC内一点，点D在BC上，且，则 （ ） A. B.C. D. 8. 已知+=,且 （ ） A. B. C. D. 9. （理）在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O，（0，0），A（1，1），且，则 （ ） A. 1 B. 1 C. D. (文)在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O，（0，0），A（1，1），且，则 （ ） A. 1 B. C. D. 210.设M-N=x|xM，且xN，若M=x| x=(sin+cos)，N=x|x=sin-| sin|，则M-N= （ ）A.x|0x2 B.x|0x2 C.x|-2x0 D.211. 函数 ，对于任意的xR，都有，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 212. （理）函数的单调递增区间是 （ ） A.（ B. C. ） D. (文)函数的一个单调递增区间是 （ ）A. B. C. D. 第II卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在横线上.13. (理)已知ABC三个内角A、B、C所对的边a，b，c成等比数列，且a, 2，c成等差数列，则角B=_.(文)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a = 6, b =5,cosA=,则角B=_.14. 若，则ABC的面积为_.15. 函数的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_.16. 观察，请写出一个与以上两式规律相同的一个等式是_.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)已知且ab. 求的值.18. (本小题满分12分) 已知ABC三内角A、B、C所对的边a，b，c，且 （1）求B的大小； （2）若ABC的面积为，求b取最小值时的三角形形状.19. （本小题满分12分） （理）如图，在同一平面内，向量a与单位向量i、j的夹角分别为30、90，已知|a|=2. (1)以i和j 为基底，表示a; (2)若b=i+j，求a与b的夹角的值. (文)已知存在实数k和t，y=ka +tb,且的最小值.20. （本小题满分12分） 7月4日下午19时，中央气象台的卫星云图上，某台风在香港（设为点O）东偏南的A处生成，台风中心正从A以72千米每小时的速度向北偏西30方向移动，经过12小时到达C处后，继续以每小时108千米的速度向北偏西45的方向移动，并将在广东沿海某地D登陆，如图，以O为坐标原点建立直角坐标系，已知A点的坐标为（832,300432）,假设广东沿海海岸可近似地看作抛物线的一部分.(1) 试确定风向转折点C的坐标，并求台风路径CD所在的直线方程；(2) 确定台风中心登陆点D的坐标（保留整数）及台风中心登陆的时间.21. (本小题满分12分) 已知函数的图象过A(0,1)，B（），且当取得最大值. （1）求函数f (x)的解析式； （2）将函数f (x)的图象按向量a=(m，n)(|m|)平移后，得到一个奇函数的图象，求向量a.22. （本小题满分12分） 已知i、j分别是x轴，y轴方向上的单位向量，(1) 求；(2) 求(3)（只理科做）四边形面积的最大值.参考答案1. C 作函数的图象，知最小正周期是，选C.2. A 依题意，将函数f (x)的图象左平移个单位，然后向上平移1个单位，得到的函数图象的解析式为选A.3. B 设4. (理) B 依题意，取最大值或最小值，即取最小值或最大值，故是函数g(x)的一条对称轴，选B.(文) B ，故选B.5. C 即|a|=|b| ，故选C.6. C 选C.7. A 以BA、BD为邻边作平行四边形BDEA，则、故O为AD与BE的交点，即为AD的中点，选A.8. D 选D.9. (理) B 依题意，选B.10. B ，选B.11. B 当f (x1)取最小值，且f (x2)取最大值时，结论成立，故| x1 x2|的最小值为半个周期，等于.12. (理) B 的对称轴为在区间1，1上是增函数， 在R上的单调递增区间即为f (x)的单调递增区间，故选B。 (文) B 的递减区间即为函数f (x)的递增区间，故选B.13.(理) 依题意得 （文） 依题意得 14. 依题意得则四边形OADB是正方形. 15. k|1 k 3作函数f (x)和直线y=k的草图，由草图可得，1k3.16. sin210+cos240+sin10cos40=观察所给等式并变形得sin220+sin240+sin20sin40=, sin215+sin245+sin15sin 45=,故当+=60时，sin2+sin2+sinsin=, 即sin2+cos2(90)+sincos(90) =，由此就可写出与已知两式规律相同的等式.17. 由ab得， （2分） 即 （4分） （8分） （10分）思路点拨：三角函数的求值问题，关键是要找到已知和结论之间的联系，本题先要应用向量的有关知识及二倍角公式将已知条件化简，然后将所求式子的角向已知角转化.18. (1)由 （2分） 即 (4分) 由 . (6分)(2) 由 (8分)当且仅当时取等号，即,故当b取最小值时，三角形为正三角形. (12分)命题动向：解有关三角形问题，是2007年高考的大热点之一，36份试卷中有15道大题（包括3道应用题）、8道小题，大题除一道应用题（山东理）在解答题第四题外，其余的全部在第一、二大题，为容易题，只要考生能熟练掌握正、余弦定理，三角函数及三角形面积、周长的有关知识，理解三角形边角间的转化，合理运用三角形三内角和等于180，得分应该是不难的.19. (理) (1)依题意得的夹角为120， 又 （3分） 同理 (5分) (6分) （2） (8分) （10分） （12分）思路点拨：本题主要考查平面向量的运算律及性质，(1)利用平面向量的数量积定义及运算律和性质建立方程组，通过解方程组求解；（2）要运用平面向量和运算律及模的运算性质，求出两向量的夹角的余弦值，然后由特殊角的三角函数值求两向量的夹角.（文）依题意得 ab, （2分） 又 （4分） 解得 (8分) 故 (10分) 当 (12分)思路点拨：本题主要考查向量的垂直和向量的运算法则，转化为二次函数的最值问题.20. （1）设C点的坐标为（x, y）,依题意得 (4分)点C的坐标为（400，300），直线CD的方程为：x+y=700, (6分)（2）由 （8分）即台风登陆点D坐标为（100，600）， （10分）424.3108=3.93,台风中心登陆的时间为7月5日10点55分48秒左右. (12分)思路点拨：这是一道三角函数与解析几何相综合的应用问题，首先要认真阅读试题，弄懂题意，并在图形上标明已知条件，找出解题目标，（1）是通过解直角三角形，求出C点的坐标，得出直线CD的方程；（2）是解方程组求出D点的坐标.求出CD两点的距离，然后由速度求出所需时间.21. (1)依题意得 (2分) 由 (4分) 当 当 当 故 (7分)（2）将函数f(x)的图象按向量a=(m,n)平移后，得到的函数图象的解析式为： （9分）由函数是奇函数知， 又 （12分）思路点拨：本题中的函数解析式中含有三个参数！不少同学一见就心生畏意，事实上，将图象是已知两个点的坐标代入，将b、c用a表示出来，就只含有一个参数了，与函数最值有关的，大部分题都是利用三角函数公式化为一个角的一种三角函数形式，然后根据角的范围求最值，本题还要对系数的范围进行分类讨论，才能求出a的值. 第（2）问是函数图象关于向量平移，及函数奇偶性问题，需要把握函数y = Asin(+)+c是奇偶函数的充要条件.22. (1) (理4分，文6分)（2） （理6分，文8分）又 （理8分，文12分） （3）（只理科做）记四边形An An+1 Bn+1 Bn面积