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8 3幂级数 一 函数项级数的概念二 幂级数及其收敛性三 幂级数的运算 8 3幂级数 一 函数项级数的概念 8 3幂级数 收敛点与收敛域 8 3幂级数 函数项级数的部分和 函数项级数的余项 x在收敛域上 函数项级数在某点x的收敛问题 实质上是数项级数的收敛问题 和函数 定义域是 注意 8 3幂级数 二 幂级数及其收敛性 幂级数的收敛性 收敛域是一个区间 8 3幂级数 证 8 3幂级数 由 1 结论 8 3幂级数 推论 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确 幂级数 绝对收敛 幂级数 发散 幂级数 可能收敛也可能发散 几何说明 收敛区域 如果幂级数 不是仅在x 0一点收敛 定的正数R存在 它具有下列性质 8 3幂级数 定义正数R称为幂级数的收敛半径 称为幂级数的收敛区间 规定 如何求幂级数的收敛半径 开区间 问题 8 3幂级数 证 8 3幂级数 由比值审敛法 8 3幂级数 8 3幂级数 1 因为 解 2 因为 所以收敛半径 8 3幂级数 对于端点 级数 级数 是收敛的交错级数 对于端点 发散 因此该级数收敛域为 8 3幂级数 该级数缺少奇次幂的项 定理2不能直接应用 根据比值审敛法来求收敛半径 当 时 则 级数收敛 时 则 所以收敛半径 解 当 级数发散 8 3幂级数 例3 的收敛域 解 级数变为 当t 2时 级数为 此级数发散 当t 2时 级数为 此级数条件收敛 因此级数的收敛域为 即 或 令 8 3幂级数 三 幂级数的运算 幂级数的四则运算性质 1 加减法 其中 8 3幂级数 2 乘法 其中 柯西乘积 8 3幂级数 3 除法 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多 8 3幂级数 幂级数的分析运算性质 8 3幂级数 其中 逐项求导后所得到的幂级数和原级数 有相同的收敛半径 8 3幂级数 例4 的和函数 解易求出幂级数的收敛半径为1 x 1时 级数发散 求幂级数 8 3幂级数 小结 再对和函数积分 求导 求出原级数的和函数 求和函数的一般过程是 首先找收敛半径 再利用在收敛区间上幂级数和函数的性质可 逐项求导 积分 求得新的幂级数和函数 最后 内容小结 2 幂级数的收敛性 收敛半径R 3 幂级数的运算 分析运算性质 1 函数项级数的概念 8 3幂级数
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