窗函数滤波器.doc

7.7 设计FIR数字滤波器的窗函数法窗函数法的基本思想是用一具有有限长度样值响应、并具有线性相位的系统函数逼近理想滤波器的系统函数。以低通滤波器为例，设系统函数在奈奎斯特区间为（7.7-1）频率响应如图7.7-1所示。对取IDTFT，有（7.7-2）图7.7-1理想低通滤波器的频率响应式（7.7-2）给出的单位样值响应说明理想低通滤波器是非因果系统，实际中无法实现。如果把对称地截断为有限长度，设长度为N，为奇数，截取后的样值响应为，当足够大时，在某种程度上可近似表示，为（7.7-3）其中。式（7.7-3）仍然为偶对称函数，而且是非因果的，如果将其右移点，则有（7.7-4）样值响应的截断与移位如图7.7-2所示。(a)(b)图7.7-2截断并移位的样值响应以上通过对理想滤波器的无限长样值响应截断为有限长并移位得到了物理可实现滤波器的样值响应，那么的幅频响应是否为理想幅频响应的逼近，其相位响应是否与频率成线性关系，下面对其进行分析。根据DTFT变换公式，、和的频率响应分别为（7.7-5）（7.7-6）（7.7-7）式（7.7-6）相当于对做级数截断，当足够大时，逼近于。由式（7.7-4）和傅里叶变换的移位性质可得（7.7-8）由于为实偶对称函数，根据傅里叶变换的对称性，的变换也为实偶对称函数，因此，有（7.7-9）（7.7-10）可见，的幅频响应逼近于理想滤波器的幅频响应，而相频响应为的分段线性函数，在改变符号的频率处跳变。通过以上分析看出，样值响应为偶对称实序列、且为奇数的这种FIR滤波器不仅在幅度上可以满足滤波要求，而且能够取得分段线性相位特性。当为奇对称的实序列时，根据傅里叶变换的对称性，的实部为零，这时（7.7-9）（7.7-10）则的相位也为频率的分段线性函数。当的长度为偶数时，若仍满足对称关系（7.7-11a）或（7.7-11b）也可证明的相位为频率的分段线性函数。设取，为21和时，由式（7.7-4），分别为把代入式（7.7-7），用计算机求得的幅频响应如图7.7-3所示。由图可见：在处幅度总为0.5；越大，过渡带越窄，幅频响应越接近于理想响应；通带与阻带波纹在接近过渡带处较大，在两侧总有比较大的肩峰出现，这是因级数的截断造成的，这种现象称为傅里叶级数的吉伯斯（Gibbs）现象。理论分析表明，两肩峰的幅度近似为8.9，与的取值无关，因此，滤波器的阻带衰减为。(a) N = 21 (b) N = 51图7.7-3 为21和时幅频响应上述FIR滤波器的样值响应还可表示为（7.7-12）其中为长度为的矩形窗函数，即（7.7-13）由图7.7-3，矩形窗的逼近性能不是很好，为了加大阻带衰减也即减小肩峰的影响，可以考虑采用其他形状的窗函数，常用的有1.三角窗（Bartlett窗）（7.7-14） 2.汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）（7.7-15） 3.哈明（Hamming）窗（改进升余弦窗） （7.7-16）4. 布莱克曼（Blackman）窗 （7.7-17）用以上几种窗函数设计的滤波器的指标如表7.7-1所示。设计时一般根据阻带衰减指标选取符合要求的窗函数，再根据过渡带宽度确定样值响应长度。当仿真结果不符合要求时，调整重新设计。 表7.7-1 常用窗函数性能比较窗函数过渡带宽度（rad）阻带衰减（dB）矩形窗21三角窗25汉宁窗44哈明窗53布莱克曼窗74例7.7-1用窗函数法设计一线性相位低通数字滤波器。设技术指标为阻带衰减理想通带频率rad过渡带宽度rad解根据阻带衰减指标选用哈明窗，根据过渡带宽度指标则可求出为由式（7.7-12）和式（7.7-16）有 和的波形如图7.7-4所示。滤波器的幅频响应如图7.7-5所示。计算表明，通带内的肩峰非常小，约为0.2，阻带衰减为53dB。(a) (b)图7.7-4 和的波形图7.7-5 幅频响应 以上几种窗函数法设计较为简单，但对滤波器的技术指标不能有效的控制。例如，无论取多大，矩形窗的肩峰约为8.9，无法对其调整。一种更为灵活的窗函数设计方法是选用凯塞（Kaiser）窗，它定义为（7.7-18）其中是形状参数，根据阻带衰减确定。是第一类零阶贝塞尔（Bessel）函数，其幂级数展开式为（7.7-19）在给定通带频率、阻带频率、阻带衰减dB值情况下，低通滤波器的设计步骤如下：（1）计算理想通带频率和过渡带宽度，其中（7.7-20）（7.7-21）（2）计算形状参数和滤波器长度（7.7-22）（7.（3）计算凯塞窗函数