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1 阻尼振动受迫振动共振 2 实际振动过程存在着阻力 这种由弹性恢复力和阻力共同作用的振动叫阻尼振动 当物体低速运动时 阻力 当物体高速运动时 阻力 弹簧 单摆振动过程 受到的阻力与速度正比反向 子弹运动 卫星发射过程 受到的阻力与速度平方正比反向 谐振子的阻尼振动 无阻尼的自由振动 由于振动系统要不断克服阻力作功 所以要逐渐损耗振动的能量使振幅逐渐变小直至振动停止 3 振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比 与其方向相反 弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程 以弹簧一维振动为例 1 阻尼振动方程 低速 4 令 为二阶常系数齐次微分方程 阻尼振动微分方程 称为振动系统的固有角频率 称为阻尼系数 通解 5 1 欠阻尼振动 阻尼很小 为虚数 令 A与 由初始条件确定 通解 可写成 2 几种阻尼振动 阻尼较小时 6 振幅项 随时间周期性衰减 周期因子 振动周期 无阻尼时 有阻尼时 周期变长 这种情况称为欠阻尼 阻力使周期增大 7 2 过阻尼振动 阻尼很大 由通解 两项都衰减 不是周期振动 如 单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间 其中是积分常数 由初始条件来决定 无振动发生 不能往复运动 8 三种阻尼振动比较 3 临界阻尼振动 通解 衰减函数 临界阻尼达到平衡位置的时间最短 但仍不能超过平衡位置 临界阻尼情况是振动系统刚刚不能作准周期振动 而很快回到平衡位置的情况 应用在天平调衡中 9 在阻尼振动中 要维持振动 外界需加一个周期的强迫力 策动力 这种在周期性处力作用下进行的振动叫受迫振动 1 受迫振动方程 弹簧受弹性力 阻尼力 策动力 1 受迫振动 以弹簧一维振动为例 10 令 受迫振动方程 二阶常系数非齐次微分方程 通解 受迫振动可以看成是两个振动合成的 11 通解 第一项为阻尼振动项 当时间较长时衰减为0 第二项为策动力产生的周期振动 开始时运动比较复杂 当第一项衰减为0后 只作受迫振动 振动频率为策动力的频率 经过足够长的时间 受迫振动的稳定态为 振幅A是 p的函数 12 在受迫振动中 振子因外力对它作功而获得能量 同时又因有阻尼而损耗能量 受迫振动开始时 前者大于后者 从而振动逐渐加强 随着振动加强 损耗能量增多 直到获得能量恰好补偿损耗的能量时 达到稳定状态 强调 无阻尼的线性振子的振动与受迫稳态振动 从运动学角度看 都是简谐振动 但从动力学角度看二者有本质的区别 线性振子是保守的孤立系统 系统机械能守恒 有其自身的固有频率 而受迫稳态振动是开放的耗散系统 它不断从策动力源吸收能量 同时又由于阻尼而耗散能量 它只按外力的频率振动 并且受迫振动的振幅 初位相只由振动系统和外力性质决定 而与初始条件无关 13 2 共振 受迫振动的振幅
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