逻辑运算公理.doc

逻辑运算公理常用的逻辑运算公理如表1.2所示表1.2 常用逻辑运算公理原等式对偶式00=01+1=101=10=01+0=0+1=111=10+0=0若A0，则A=1若A1,则A=01.3逻辑运算定理常用的逻辑运算定理如表1.3所示 表1.3 常用逻辑运算定理逻辑运算定理原等式对偶式交换律AB=BAA+B=B+A结合律A(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)自等律A1=AA+0=A0-1律A0=0A+1=1互补律AA=0A+A=1重叠律AA=AA+A=A吸收律A+AB=AA(A+B)=A非非律反演律（摩根定律）1.4常用公式逻辑运算的公式有许多，在表1.4中列出了五个常用公式，实际上，只要经过证明的等式都可以在以后的变换和化简时使用。 表1.4 常用公式项目常用公式推论与证明1无2A+AB=AA+AB+ABC+=A3A+AB=A+AB+AB=A+B4AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)CB =AB+AC+ABC+ABC =AB+AC 5AB+AC=(A+C)(A+B)(A+C)(A+B)=AB+AC+BC+AA=AB+AC注：公式1、2为吸收律和分配律的应用，公式3为多余因子定律，公式4为多余项定律，公式5为与或和或与转换定律。1.5逻辑代数的三个基本规则1.代入规则 若两个逻辑函数相等，即F=G，且F和G中都存在变量A，如果将所有出现变量A的地方都用一个逻辑函数L代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。因为任何一个逻辑函数，它和一个逻辑变量一样，只有两种可能的取值(0和1)，所以代入规则是正确的。 有了代入规则，就可以将基本等式（定理、常用公式）中的变量用某一逻辑函数来代替，从而扩大了它们的应用范围。 例已知等式A(B+E)=AB+AE,将所有出现E的地方代之以(C+D)，试证明等式成立。 解: 原式左边=AB+(C+D)=AB+A(C+D)=AB+AC+AD 原式右边=AB+A(C+D)=AB+AC+AD 所以等式AB+(C+D)=AB+A(C+D)成立。注意：在使用代入规则时，必须将所有出现被代替变量的地方都用同一函数代替，否则不正确。2.反演规则 设L是一个逻辑函数表达式，如果将L中所有的“”(注意，在逻辑表达式中，不致混淆的地方,“”常被忽略)换为“”，所有的“”换为“”；所有的常量0换为常量1，所有的常量1换为常量0；所有的原变量换为反变量，所有的反变量换为原变量，这样将得到一个新的逻辑函数，这个新的逻辑函数就是原函数L的反函数，或称为补函数，记作。这个规则称为反演规则。反演规则又称为德摩根定理，或称为互补规则。运用反演规则可以方便地求出反函数。例已知，求反函数。 解：按照反演规则，得例已知，求反函数。解：按照上述法则得。注意： (1)使用反演规则时，必须保证运算优先顺序不变，即如果在原函数表达式中，AB之间先运算，再和其他变量进行运算， 那么反函数的表达式中，必须保证AB之间先运算。(2)对于反变量以外的非号应保留不变。3.对偶规则 设L是一个逻辑表达式，如果将L中的“”、“+”互换；所有的“0”、“1”互换，那么就得到一个新的逻辑函数式，称为L的对偶式，记作L。这个规则称为对偶规则。例如L=(A+B)(A+C)，则 。注意：L的对偶式L和L的反演式是不同的，在求L时不能将原变量和反变量互换。变换时仍要保持原式中运算先后顺序。 推论：若两个逻辑函数相等，即F=G，则它们的对偶式也