第四章 随机变量的数字特征.doc

高等教育自学考试网上辅导概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征内容介绍本章主要讨论随机变量的数字特征：数学期望，方差标准差，协方差，相关系数等.考点分析2007年4月2007年7月2007年10月选择题3题6分3题6分3题6分填空题2题4分2题4分1题2分计算题1题8分1题9分综合题1题12分1题12分合计6题18分7题31分5题20分内容讲解 4.1随机变量的期望 1.离散型随机变量的期望（1）期望的意义引例：一射手进行打靶练习，规定射入区域e2得2分，射入区域e1得1分，脱靶即射入区域e0，得0分，射手每次射击的得分数X是一个随机变量。（2）定义：设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k1，2，.若级数绝对收敛（即级数收敛），则定义X的数学期望（简称均值或期望）为.注：（1）当X的可能取值为有限多个x1，x2，xn时，；（2）当X的可能取值为可列多个x1，x2，xn，时.例题1. P87 【例41】设随机变量X的分布律为求E（X）。【答疑编号：12040101】例题2. P87 【例42】甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X，Y，它们的分布律分别为试比较他们成绩的好坏。【答疑编号：12040102】解：分别计算X和Y的数学期望：E（X）=00+10.2+20.8=1.8（分），E（Y）=00.1+10.8+20.1=1（分）。这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。（3）三种离散型随机变量的数学期望 两点分布设离散型随机变量X的分布律为其中0p1，则E（X）=P. 二项分布设XB（n,p），即（i0,1，2，n），q=1-p，则E（X）=np.证明： 泊松分布设XP（）其分布律为，i0，1，2，则E（X）= .证明：例题3. P88 【例43】设随机变量XB（5，p），因此E（X）=1.6，求参数p。【答疑编号：12040103】解：由已知XB（5，p），因此E（X）=np=1.6，n=5，所以P=1.65=0.32。例题4. P88 【例44】已知随机变量X的所有可能取值为1和x，且PX=1=0.4，E（X）=0.2，求x。【答疑编号：12040104】解：（4）离散型随机变量函数的数学期望定理41 设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k1，2，.令Y=g（X），若级数绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为. 例题5. P88 【例45】设随机变量X的分布律为令Y=2X+1，求E（Y）【答疑编号：12040501】2.连续型随机变量的期望（1）定义：设连续型随机变量X的概率密度f（x），若广义积分绝对收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为E（X），即.例题6. P89 【例47】 设随机变量X的概率密度为求E（X）。【答疑编号：12040106】解：例题7. P89 【例48】设随机变量X的概率密度函数为求E（X）。【答疑编号：12040107】（2）三种连续型随机变量的期望 均匀分布设XU（a,b），其概率密度为，则.证明： 指数分布设XE（），其概率密度为，则.证明： 正态分布设XN（,2），其概率密度为，-x0常数）,求W的数学期望。【答疑编号：12040201】解：例题9. P91 【例410】设X的概率密度为求。【答疑编号：12040202】解：例题10. P91 【例411】设XN（，2），令Y=eX，求E（Y）。【答疑编号：12040203】解： 3.二维随机变量函数的期望（1）二维随机变量分量的期望定理43：（1）若（X,Y）为离散型随机变量，其分布律为，边缘分布律为，则，.（2）若（X,Y）为连续型随机变量，其概率密度与边缘概率密度分别为f（x,y），fX（x），fY（y），则，.（2）二维随机变量函数的期望定理44： 设g（x,y）为二元连续函数，对于二维随机变量（X,Y）的函数Z=g（X,Y），（1）若（X,Y）为离散型随机变量，级数绝对收敛，则 ；（2）若（X，Y）为连续型随机变量，且积分绝对收敛，则.例题11. P92 【例412】已知（X，Y）的分布律为求：（1）E（2X+3Y）；【答疑编号：12040204】（2）E（XY）。【答疑编号：12040205】解： 例题12. P92 【例413】设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（1）E（X+Y）；（2）E（XY）；（3）PX+Y1【答疑编号：12040206】解： （1）（2）（3）或4.期望的性质（1）常数的期望等于该常数，即E（C）=C，C为常数；（2）常数与随机变量X乘积的期望等于该常数与随机变量期望的乘积，即E（CX）=CE（X）；（3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）；证明：综合性质（2）和（3），则有E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1,C2为常数.一般地，其中Ci为常数.（4）两个相互独立的随机变量的乘积的期望等于随机变量期望的乘积，即若X,Y为相互独立的随机变量，则E（XY）=E（X）E（Y）.例题13. P94 【例414】设Xi（i=1，2，n）服从0-1分布其中0p1，q=1-p，且X1, X2,Xn相互独立。令X=X1+X2+Xn，求X的期望。【答疑编号：12040207】解：例题14. P94 【例415】4个人进行射击比赛，每人射4发，在射击时，约定某人全部不中得0分，只中一弹得15分，中两弹得30分，中三弹得55分，中四弹得100分。四人射击的命中率都为，求4人射击总得分的期望。【答疑编号：12040208】解：设Xi（i=1,2,3,4）表示第i个射手的得分，则它的分布律为即则Xi的期望为用X表示4个射手的总得分，则X=X1+X2+X3+X4，从而4人射击总得分的期望为E（X）=E（X1）+E（X2）+E（X3）+E（X4）=444.64=178.65。 4.2方差1.方差的意义期望反映了随机变量的集中位置，但是，不能反映随机变量的全部性质，我们还需了解随机变量的其他特征，其中重要的特征是随机变量的离散趋势。经分析，选取离差平方和。2.方差的定义 定义：设随机变量X，且（X-E（X）2的期望存在，则称E（X-E（X）2为随机变量X 的方差，记为D（X），即D（X）=E（X-E（X）2；又称为随机变量X的标准差. 若离散型随机变量X的分布律为P（X=xk）=pk，k1，2，则. 若连续型随机变量X的概率密度为f（x），则.例1.P97【例416】设两批纤维的长度分别为随机变量X1，X2，其分布律分别为求D（X1），D（X2）。【答疑编号：12040301】解：例2.P97【例417】已知随机变量X的概率密度为 求D（X）。【答疑编号：12040302】3.方差的计算 计算公式：D（X）=E（X2）-（E（X）2. 证明： 若离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k1，2，则.若连续型随机变量X的概率密度为f（x），则.例3.P98【例418】设随机变量X的期望E（X）=2，方差D（X）=4，求E（X2）。【答疑编号：12040303】解：=4+4=8例题4. P98 【例419】设X的概率密度为求D（X）。【答疑编号：12040304】解：2.常用随机变量的方差（1）01分布设离散型随机变量X的分布律为其中0p1，则D（X）=p（1-p）.证明： （2）二项分布设XB（n,p），即（i1，2，n），q=1-p，则 D（X）=npq.证明： （3）泊松分布设XP（），其分布律为，i0，1，2，则 D（X）=.证明： 例题5. P 100【例421】设随机变量X服从参数为的泊松分布，且PX=1=PX=2，求D（X）。【答疑编号：12040305】（4）均匀分布设XU（a,b），即概率密度为，则.证明： 例题6. P 100【例422】设随机变量X服从某一区间上的均匀分布，且E（X）=3，D（X）=，求X的概率密度函数f（x）.【答疑编号：12040306】解：因为所以a+b=6,（b-a）2=4,b-a=2，解之得b=4,a=2 所以（5）指数分布设XE（），即概率密度为，则.证明： （6）正态分布设XN（，2），即概率密度为，-x0，D（Y）0，称为X与Y的相关系数，记为，即.例题4. P107 【例433】接例4-31，求（X，Y）的相关系数XY。【答疑编号：12040501】（2）性质；证明： 的充分必要条件是存在常数a，b，使PY=aX+b=1且a0.（3）不相关定义：若相关系数XY=0，则称X与Y不相关.（4）相关系数的意义：两个随机变量的相关系数是它们之间线性关系程度的度量：，表示它们之间存在完全线性关系，即一次函数关系；XY=0，表示它们之间无线性相关关系，但是，不表示它们之间不存在其他相关关系；，表示它们之间存在一定的线性相关关系.若XY0，表示它们之间存在正线性相关关系，即上式中a0；若XY0，表示它们之间存在负线性相关关系，即上式中a0.（5）两个重要结论 随机变量X与Y相互独立X与Y不相关；反之未必. 若二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，则XY=，且二维随机变量（X,Y）的两个分量不相关两个分量相互独立.=0. 例题5. P109 【例434】设随机变量（X，Y）的分布律为求：（1）E（X），E（Y），D（X），D（Y），Cov（X，Y），XY。【答疑编号：12040502】解：X,Y的分布律分别为E（Y）=（-1）0.75+10.25=-0.5E（Y2）=（-1）20.75+10.25=1 D（Y）=E（Y2）-E2（Y）=1-0.25=0.75例题6. P109 【例435】设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（1）E（X），E（Y）；【答疑编号：12040503】（2）D（X），D（Y）；【答疑编号：12040504】（3）Cov（X，Y），XY。【答疑编号：12040505】解：D（Y）= D（Y2）-（EY2）例题7. P111 【例437】已知D（X）=4,D（Y）=1,XY=0.6，求D（X+Y），D（3X-2Y）。【答疑编号：12040506】3.矩、协方差矩阵（1）矩的定义：设X为随机变量，k为正整数， 如果E（Xk）存在，则称E（Xk）为X的k阶原点矩，记为vk=E（Xk）； 如果存在，则称 为X的k阶中心矩，记为.（2）两种随机变量的矩 离散型随机变量的矩：若离散型随机变量X的分布律为PX=xi=pi，i1，2，则，.连续型随机变量的矩：若连续型随机变量的概率密度为，则，.显然，一阶原点矩是期望，二阶中心矩是方差.（3）混合矩定义：设X，Y为随机变量， 若（k,l1，2，）存在，则称其为X和Y的阶混合原点矩；若存在，则称其为X和Y的阶混合中心矩.显然，协方差是二阶混合中心矩.（4）协方差矩阵 二维随机变量的协方差矩阵定义：设二维随机变量（X1,X2）的4个二阶中心矩为C11=EX1-E（X1） 2 =cov（X1 ,X1） =D（X1）, C12=E（X1-E（X1）（ X2-E（X2） =cov（X1 ,X2）,C21=E（X2-E（X2）（ X1-E（X1） =cov（X2 ,X1）, C22=E（X2-E（X2） 2 =cov（X2 ,X2） = D（X2）,则称矩阵为二维随机变量（X1,X2）的协方差矩阵. n维随机变量（X1,X2,Xn）的协方差矩阵定义：设n维随机变量（X1,X2,Xn）的二阶中心矩为（i,j1，2，n），则称矩阵为维随机变量（X1,X2,Xn）的协方差矩阵.显然，上述矩阵C是正实数对称阵，且其主对角线上的元素为（i1，2，n）的方差.例题8. P112 【例438】设（X,Y）的协方差矩阵为,求XY,【答疑编号：12040601】本章小结 一、内容二、试题选讲1.（407）设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（）.A. E（X）=0.5，D（X）=0.5 B.E（X）=0.5，D（X）=0.25C. E（X）=2，D（X）=4 D.E（X）=D（X）=2 【答疑编号：12040602】答案：D2.（708）设随机变量X的分布函数为，则E（x）（）.A. B. C. D.3【答疑编号：12040603】答案：D3.（1007）设随机变量X服从参数为3的泊松分布，YB（8，），且X，Y相互独立，则D（X-3Y-4）（）.A.13B.15C.19 D.23【答疑编号：12040604】答案：C4.（709）设随机变量X与Y相互独立，且XB（36，），YB（12，），则D（X-Y+1）（）.A.B. C.D. 【答疑编号：12040605】答案：C5.（408）设随机变量X与Y相互独立，且XN（1，4），YN（0，1），则D（X-Y）（）.A. 1 B. 3 C. 5 D. 6【答疑编号：12040606】答案：C6.（720）设随机变量X，Y的分布律分别为且X与Y相互独立，则E（XY）_.【答疑编号：12040607】答案：7.（409）已知D（X）4，D（Y）25，Cov（X