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高三文科总复习数学【导数】提纲：一，考纲要求。二，基本概念。 三，导数的使用。四，经典例题。附，导函数公式推导过程。一，考纲要求1了解导数概念的某些实际背景。 2理解导数的几何意义。3掌握导数公式，会求多项式函数的导数。 4理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、 极小值及闭区间上的最大值和最小值。5会利用导数求某些简单实际问题的最值。二，基本概念 1，导数的概念(不要求掌握，了解即可):导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时， 因变量的增量与自变量的增量之商的极限。2，导数的几何意义【重要，基础】：函数y=f(x)在点x0处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率k，即3，注意事项：弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系，可以从以下几个方面来认识函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数导函数（导数）是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，对于每一个确定的值x0， 都对应着一个确定的导数，根据函数的定义，在某一区间内就构成了一个新函数，即导数函数y=f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即这也是求函数在x=x0处的导数的方法之一三，导数的使用1导数的计算(1)基本初等函数的导数公式【务必完全牢记！】若f(x)=c，则；若，则；若f(x)sinx，则；若f(x)=cosx，则；若f(x)，则（a0）;若f(x)，则；若f(x)，则（a0，且a1）；若f(x)，则.(2)导数运算法则；(3)复合函数的求导法则(难点) 设函数在点x处有导数，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数或写作 复合函数求导法则：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即3.导数的应用(1)函数的单调性A.利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想 一般地，在某个区间(a，b)内，如果f(x)，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减 如果在某个区间内恒有f(x)=0，则f(x)是常函数 -注意：在某个区间内，f(x)是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f(x)=0B.求函数单调区间的步骤 确定f(x)的定义域；求导数；由（或）解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数；当 f(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数(2)函数的极值 A.函数的极值的判定 如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点； 如果在附近的左侧，右侧，那么，是极大值或极小值.(3)求函数极值的步骤 确定函数的定义域； 求导数； 在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根； 检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值(4)函数的最值【重点，务必完全牢记】 A.如果f(x)在a,b上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在a，b的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念 B.求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(5)生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题解决这些问题具有非常现实的意义这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题四，经典例题。【范例1】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点 的坐标是解题的关键.已知函数在处取得极值. （1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程. （1）解：，依题意，即 解得. . 令，得.若，则，故 在上是增函数， 在上是增函数.若，则，故在上是减函数.所以，是极大值；是极小值.（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.设切点为，则点M的坐标满足.因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有 化简得，解得.所以，切点为，切线方程为.【范例2】由导数研究函数的单调性设函数，求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是单调函数。解：(1)当时，恒成立，f(x)在区间上是减函数。（2）当时，解不等式得上f(x)是单调递减速函数得上f(x)是单调递增函数综合得：当且仅当a时，f(x)在区间上是单调函数。【文】设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（）用表示a，b，c；（）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围.解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以 即.因为所以. 又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以 而 将代入上式得 因此故， （）解法一当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（1，3）上单调递减.所以的取值范围为解法二： 因为函数在（1，3）上单调递减，且是（1，3）上的抛物线， 所以 即解得 所以的取值范围为【范例3】本题证明不等式的关键是转化为求最值问题设定义在R上的函数f(x)a0x4+a1x3+a2x2a3x(其中aiR，i0，1，2，3)，当时，f(x)取得极大值，并且函数yf(x)的图象关于y轴对称。求f(x)的表达式；试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互 相垂直，且切点的横坐标都在区间1，1上；求证：|f(sinx)f(cosx)|)(xR)解：f(x)4a0x33a1x22a2x+a3为偶函数。a0a20，f(x)a1x3a3x又当x时，f(x)取得极大值解得f(x)x3x，f(x)2x21 解：设所求两点的横坐标为x1、x2，则(2x121)(2x221)1又x1，x21，1，2x1211，1，2x2211，12x121，2x221中有一个为1，一个为1，x10，x21，所求的两点为(0，0)与(1，)或(0，0)与(1，)。证明：易知sinx1，1，cosx1，1。当0x时，f(x)0；当x0。f(x)在0，为减函数，在，1上为增函数，又f(0)0，f() ，f(1)，而f(x)在1，1上为奇函数，f(x)在1，1上最大值为，最小值为， f(sinx)，f(cosx)，|f(sinx)f(cosx)|f(sinx)|f(cosx)|【范例4】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.已知函数 （1）求 函数的 反函数的 导数 （2）假设对任意成 立，求实数m的 取值范围.解：（1）；（2）令：所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式成立当且仅当即，于是得 解法二：由得设于是原不等式对于恒成立等价于7分由，注意到故有，从而可均上单调递增，因此不等式成立当且仅当 即 附：导函数公式推导过程。1.y=c(c为常数) y=02.y=xn y=nx(n-1)3.y=ax y=axlnay=ex y=ex4.f(x)=logaX f(x)=1/xlna (a0且a不等于1,x0)y=lnx y=1/x5.y=sinx y=cosx6.y=cosx y=-sinx7.y=tanx y=1/(cosx)28.y=cotx y=-1/(sinx)29.y=arcsinx y=1/1-x210.y=arccosx y=-1/1-x211.y=arctanx y=1/(1+x2)12.y=arccotx y=-1/(1+x2)（在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=fg(x),y=fg(x)g(x)fg(x)中g(x）看作整个变量，而g(x)中把x看作变量2.y=u/v,y=(uv-uv)/v23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y=1/x)推导过程证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为 0。用导数的定义做也是一样的：y=c,y=c-c=0,limx0y/x=0。2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=ex y=ex和y=lnx y=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。3.y=ax, y=a(x+x)-ax=ax(ax-1) y/x=ax(ax-1)/x 如果直接令x0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数ax-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：x=loga(1+)。 所以(ax-1)/x/loga(1+)=1/loga(1+)1/ 显然，当x0时，也是趋向于0的。而lim0(1+)1/=e,所以 lim01/loga(1+)1/=1/logae=lna。 把这个结果代入limx0y/x=limx0ax(ax-1)/x后得到 limx0y/x=axlna。 可以知道，当a=e时有y=ex y=ex。4.y=logax y=loga(x+x)-logax=loga(x+x)/x=loga(1+x/x)x/x y/x=loga(1+x/x)(x/x)/x 因为当x0时，x/x趋向于0而x/x趋向于，所以 limx0loga(1+x/x)(x/x)logae,所以有 limx0y/xlogae/x。 也可以进一步用换底公式 limx0y/xlogae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)= (x*lna)(-1) 可以知道，当a=e时有y=lnx y=1/x。 这时可以进行y=xn y=nx(n-1)的推导了。因为y=xn,所以y=eln(xn)=enlnx, 所以y=enlnx(nlnx)=xnn/x=nx(n-1)。5.y=sinx y=sin(x+x)-sinx=2cos(x+x/2)sin(x/2) y/x=2cos(x+x/2)sin(x/2)/x=cos(x+x/2)sin(x/2)/(x/2) 所以limx0y/x=limx0cos(x+x /2)limx0sin(x/2)/(x/2)=cosx6.类似地，可以导出y=cosx y=-sinx。7.y=tanx=sinx/cosx y=(sinx)cosx-sinx(cosx)/cos2x=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x8.y=cotx=cosx/sinx y=(cosx)sinx-cosx(sinx)/sin2x=-1/sin2x9.y=arcsinx x=siny x=cosy y=1/x=1/cosy=1/1-sin2y=1/1-x210.y=arccosx x=cosy x=-siny y=1/x=-1/siny=-1/1-cos2y=-1/1-x211.y=arctanx x=tany x=1/cos2y y=1/x=cos2y=1/sec2y=1/1+tan2x=1/1+x212.y=arccotx x=coty x=-1/sin2y y=1/x=-sin2y=-1/csc2y=-1/1+cot2y=-1/1+x2 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以