群的元素的阶与群的构造.doc

群的元素的阶与群的构造 数06.1 陈琥 何军 杜斌 张良林 0608410120 0608410118 0608410128 0608410142摘 要：群是近世代数的一个重要概念，从不同角度出发，群可以分为有限群和无限群两大类，又可以分为交换群和非交换群两大类。在学习群的过程中我们还学习了群的阶以及群的元素的阶，而元素的阶又是群的一个重要概念。元素的阶和群的有内在联系；所以本文利用元素的阶研究某些群的构造。关键字：群 元素的阶 群的阶 群的构造 中图分类号：0152一：元素的阶定义1.1 设a是群G的元素，若存在使的最小正整数m，则称a的阶为m（此时称a有限阶元素），而对任意的正整数n，都有，则称元素a的阶是结论1.1 （1）群的元素a的阶为有限 存在，使 为有限集合 存在正整数n，使 （2）群的元素a的阶为无限 对任意，均有 为无限集合 对任意正整数n，均有 （3）群的元素的阶为1 群的元素的阶为2且群的元素的阶2定义1.2 若群G中有有限个元素，则称G是有限群，而群G中所含元素的个数叫群G的阶；若群G中有无限个元素，则称G是无限阶群。结论1.2 （1）若a是群G的无限阶元素，则， （2）若a是群G的m阶元素，则 （3）任意群G的单位元e的阶都是1定理1.1 （1）设G是一个群，元素a的阶为n，即，对任意的正整数m，若，则由可推出。 （2）设G是一个群，元素a的阶为n，即，对任意的正整数m，若，则。证明（2）：因为元素a的阶为n，则，由整数的带余除法存在整 数q和r，使，其中。若，则这与a的阶是n矛盾，则即于是。证毕！结论1.3 若a是无限阶元素，则对于任意的非零整数i，也是无限阶元素。定理1.2 若群G中元素a的阶为m，则的阶是。证明：首先，记，则有且则由，有 即 其次，设，则由定理1.1（2），从而，但是，故，因此，的阶是，即 设群中元素a的阶是m，b的阶是n，则当ab=ba且(m,n)=1时，ab的阶是mn。证明：设ab的阶为k，由于 则 又因为 所以，由于则，同理，再有由由于，有，于是 结论得证定理1.4 设G是一个群，则a与a的逆元有相同的阶。证明：设 而则 所以， 所以即 结论得证定理1.5 设G 是一个群, a G , a 的阶是n , r 是任意一个整数, ( n , r) = d ,则的阶是证明：设 的阶是k,则而 由， 再由，因此，而 故，于是所以 即的阶是定理1.6 设G和是两个群,是G到的同态影射，若a G 且a 的阶是m ,( a) 的阶是n ,则n | m。证明： 设的单位元是，因为是G到的同态影射,所以( e) = 。 因为a 的阶是m ,( a) 的阶是n ,故有 , = ,则= = = 所以n | m.二、元素乘积的阶定义2.1 设群中元素a的阶是m，b的阶是n，则ab的阶叫做元素乘积的阶。值得注意的是，当元素a与b不满足ab=ba时，其乘积的阶会出现各种各样的情况，将无法根据a,b的阶来做出判断。即元素可不可换。这里我们讨论元素可换的情况。结论2.1 若是群G的可换子集，元素的阶为，则乘积的阶是的约数。证明：记，则 从而，于是 因此的阶是的S约数。证毕。结论2.2 若群G的元素a的阶有限，元素b的阶无限，ab=ba,则ab是无限阶元素证明：设ab的阶有限，记为n，由条件a的阶有限，记为m 从而， 而b的阶是无限的，引出矛盾。 因此ab是无限阶元素。定理2.1 若群G的元素a的阶是s，b的阶是t，ab=ba，则（1） 元素ab的阶是s,t的约数（2） 群G中存在阶是s,t的元素。证明：（2）设有标准分解式 则记r=s,t有 不妨设，则有 ， 且再记则的阶为， 的阶为 从而元素的阶为证毕定理2.1 设a，b 为群G 中的两个元素,若| a| = | b| = m 且存在k N使,则ab的阶是。证明：令，则，再令，则，因为，所以 但是，所以 因为，所以 又 即ab的阶是三、某些群的构造所谓群G 的构造，是指：G由哪些元素构成，G 的元素的运算如何进行。 同构的群具有相同的构造，从而，在相互同构的群中,选取一个群进行研究即可。群论的目的就是研究所有群的构造，这是十分复杂的问题。 为达到目的，首先要把群分为一些类,如划分为：有限群、无限群,交换群、非交换群,等等;而后就每一类群，看一下有多少不同的群，即互不同构的群，从而再分为一些更小的类；有时将小类再分为小类；最后,就每一个小类进行研究。对于一小类群比如循环群，就要研究其存在问题、数量问题、构造问题. 所谓存在问题就是给出此类群的具体例子，所谓数量问题就是给出此类群中互不同构的群的个数，而构造问题是中心。群的元素的阶所提供的信息,能够对群的构造问题作研究。 换言之，以群的元素的阶为工具，就可以对某些群作研究。 本款试图对某些群的构造作简单的讨论,有的已彻底解决,有的仅是初步认识。利用群的元素的阶讨论群的元素的状况，可以得出群的阶大于2 (认为无限阶大于有限阶) 的元素的个数与群的阶之间的关系。结论3. 1 群G 的阶大于2 (认为无限阶大于有限阶) 的元素必成对出现。证明：群G 的元素与 ，或者同为m 阶元素,或者同为无限阶元素，总之， 与的阶相同。若元素的阶大于2 (认为无限阶大于有限阶) ,则设元素 的阶大于2 (认为无限阶大于有限阶) ,且 , ,则。 若不然,设 = ，则e = = ,从而消去 = ，得到 = ,引出矛盾. 同样, . 总之, , 是异于，的另一对元素。因此,群G 的阶大于2 (认为无限阶大于有限阶) 的元素必成对出现。 结论3. 2 若群G 的阶为s , G 的阶大于2 的元素的个数为t , G的阶等于2 的元素的个数为u ( t , u均可以为0) ，则1) t 必须为偶数；2) u 与s 的奇偶性相反，特别地，偶数阶的群必有2 阶元素。证明：1) 由结论3. 1 知，t 必为偶数。2) 注意到群G 的单位元e 是G 的唯一的一阶元素，即得到要证的结论。 证完。只用元素的阶这一工具，可以讨论某些群的性质，并且可以完全解决循环群的问题。结论3. 3 若群G 的元素的阶除单位元e 之外全为2 ，则G 为交换群。证明：由条件，对G 的任一元素 ,均有 ，从而。任取a , b G ，则 ， ，所以 。.因此，G 为交换群。证完。结论3. 4 若循环群G =a，则G 的构造完全由元素a 的阶决定：1) 当a 的阶是无限时，G 与整数加群同构；2) 当a的阶是整数n 时，G与模n 剩余类加群同构。证明见1 ,P59 - P60，从略。 证完。群的子群是重要的研究对象。 群的元素的阶对于确定某些子群有一定的作用。结论3. 5 若H 由群G 的所有的有限阶元素组成，则H 作成G 的子群Z由a , b H 推得ab H。结论3. 6 若G 是交换群， n 是任一正整数,，G 中一切以n 的约数为阶的元素的集合记为H ，则H 作成G 的子群。在有限群的研究中,元素的阶的意义则更为重要。结论3. 7 若群G 是有限群，则G的任一元素的阶均为有限。定理3. 1 若群G 的阶是n ，则G 的任一元素的阶均是n 的约数。结论3. 8 4 阶群G 必为交换群，而且就同构意义而言,有且仅有两种类型：1) G =a,a 的阶是4；2) G = e , a , b , c , ea = a , eb = b , ec = c , ab = c , ac = b , bc = a , aa = bb = cc = ee = e.证明:从考察G 的元素的阶入手。G 的元素的阶只可能是1 ,2 ,4。1) 若G 有4 阶元素a ,则a是G 的4 阶子群,从而G =a. 易知, G 是交换群.2) 若G 没有4 阶元素,则G 的异于单位无e 的元素的阶均为2 ,由结论3. 3 知, G 是交换群。设G = e , a , b , c ,则ea = a , eb = b , ec = c , aa = bb = cc = ee = e ,再由消去律知, ab = c , ac = b , bc = a。 此时，G的运算只能是这种格式。证完。结论3. 9 6 阶群有且仅有两种类型：1) G 是交换群, G =a, a 的阶为6 ;2) G 是非交换群,且. 从而G的乘法表与三次对称群 相同。证明1) G是交换群. G 的元素的阶可以为1 ,2 ,3 ,6. 若G 的元素的阶均为2 (除e 之外) ,则取G的2 阶元素b , c ,得到G 的4 阶子群 e , b , c , bc ,引出矛盾。所以, G 必有3 阶元素.。由于G 的阶为偶数,所以由结论3. 2 知, G 必有2 阶元素。于是,取G 的2 阶元素b 与3 阶元素d , bd = db ,由结论2. 4 ,bd 的阶为6。 记bd = a ,则G =a2) G 是非交换群。 此时,由结论3. 3 知, G必有3 阶元素a。取G 的之外的另一元素c ,则有于是, 必为六个元素之一,不能有 ,否则,有,引出矛盾。从而仅有三种可能：( ) ; ( ) ; ( ) 若( ) , ( ) 成立,则c 只能是3 阶元素,从而有, ,进而有, ,引出矛盾. 因此,断定( ) 成立,即 , c 为2 阶元素。考虑ac ,它必为G 的六个元素之一,它既不能等于c ,也不能等于a 的方幂,所以只能是: 或.。若 ,则G 为交换群,引出矛盾。 因此,只能是。进行计算,得到这样就得到G =a , c且 ,进而可以列出G 的乘法表,与 的乘法表相同,此处从略。 证完。结论3. 10若p 是素数, n 为正整数,则 阶群G 中必有p 阶元素,从而有p 阶子群。特别地, p 阶群G 中必有元素a ,使G =a。证明任取a G 且a e ,则由定理3. 1 知, a 的阶为 , m 是正整数,从而的阶为p，是G 的p 阶子群.特别地,当G 的阶为p 时, G 中有阶为p 的元素a ,使a为G 的p 阶子群,所以G =a。 证完。定理3.2 若群G e ,则G 除自身与 e外没有其他子群G 的阶是某一素数。证明：用反证法. 设G 的阶不是素数,则分为两种情况： G 的阶无限, G的阶是一合数.设G的阶无限。取a G , a e。若a 的阶有限,则a e, aG ,且a是G的子群,引出矛盾；若a 的阶无限,则,从而有， ,且是G的子群,同样引出矛盾。设G 的阶是m ,且。 取a G , a e. 若a 的阶是m ,则a= G ,而是G 的 阶子群,引出矛盾;若a 的阶不是m ,则a 的阶为m的约数,不妨设a 的阶是 ,则