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三垂线定理及其逆定理 一 正射影 1 点在平面内的射影 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形 则叫做图形F在这个平面上的射影 2 图形在平面内的射影 如果一条直线和一个平面相交 但不和这个平面垂直 那么这条直线叫做平面的斜线 斜线和平面的交点叫做斜足 斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段 指出A1C在正方体下列各个表面内的射影 表面AD1内 表面BC1内 表面DC1内 表面A1B内 A1D B1C D1C A1B 平面内是否存在直线与斜线的射影垂直 提问 当平面内存在直线与斜线的射影垂直时 直线与斜线垂直吗 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理 三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理 相交直线 异面直线 注意 这两条直线可以是 直接利用三垂线定理证明下列各题 例1 1 PA 菱形ABCD所在平面 O为对角线BD的中点求证 PO BD PC BD 2 在正方体AC1中 求证 A1C B1D1 A1C BC1 3 已知 PA 平面PBC PB PC M是BC的中点 求证 BC AM 三垂线定理解题的关键 找三垂 怎么找 一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直 注意 由一垂 二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件 解题回顾 直线a一定要在平面内 如果a不在平面内 定理就不一定成立 例如 当a 时 a OA 但a不垂直于OP 注意 如果将定理中 在平面内 的条件去掉 结论仍然成立吗 解题回顾 面ABCD 面 面B1BCC1 面 直线A1C 斜线a直线AB 垂线b 三垂线定理包含几种垂直关系 线射垂直 线面垂直 线斜垂直 直线和平面垂直 平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直 平面内的直线和平面的一条斜线垂直 线射垂直 线斜垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 三垂线定理的逆定理 例3如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上 已知 BAC在平面 内 点P PE AB PF AC PO 垂足分别是E F O PE PF求证 BAO CAO 例4在四面体ABCD中 已知AB CD AC BD求证 AD BC 在正方体AC1中 E G分别是AA1和CC1的中点 F在AB上 且C1E EF 则EF与GD所成的角的大小为 A30 B45 C60 D90 D EB1是EC1在平面AB1内的射影 EB1 EFDG AM EB1EF DG 练习 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么 它也和这
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