自动控制原理_贺昱曜_第四章线性系统的根轨迹分析.ppt

主要内容 4 1根轨迹的基本概念 4 2绘制根轨迹的基本条件和基本规则 4 3广义根轨迹 4 4滞后系统的根轨迹 4 5利用根轨迹分析系统的性能 4 6用MATLAB绘制系统的根轨迹 第四章线性系统的根轨迹分析 4 1根轨迹的基本概念 广义根轨迹 系统的任意一变化参数形成根轨迹 狭义根轨迹 通常情况 变化参数为开环增益K 且其变化取值范围为0到 K 0时 根轨迹图 系统的相关动静态性能信息 2 闭环极点不可能出现在S平面右半部 系统始终稳定 系统开环增益确定 闭环极点在S平面上的位置也确定 闭环零 极点与开环零 极点间的关系 前向通道根轨迹增益 反馈通道根轨迹增益 前向通道增益 开环系统根轨迹增益 前向通道零点 反馈通道零点 前向通道极点 反馈通道极点 m个零点 m f l n个极点 n q h m个零点 m f l n个极点 n q h 3 闭环系统根轨迹增益 开环系统前向通道的根轨迹增益 1 闭环系统的零点 前向通道的零点 反馈通道的极点 2 闭环系统的极点与开环系统的极点 零点以及根轨迹增益均有关 根轨迹法 由开环系统的零点和极点 不通过解闭环特征方程找出闭环极点 4 2绘制根轨迹的基本条件和基本规则 一 绘制根轨迹的相角条件和幅值条件 二 绘制根轨迹的基本规则 三 闭环极点的确定 一 绘制根轨迹的相角条件和幅值条件 根轨迹方程 m个零点n个极点 n m 幅值条件 K 2 幅值条件成立 不是根轨迹上的一点 根轨迹上的一点 必要条件 S平面上的某一点s是根轨迹上的点 则幅值条件成立 S平面上的任一点s满足幅值条件 该点却不一定是根轨迹上的点 幅值条件是必要条件 开环极点 p1 0 开环零点 幅角均以反时针方向进行 如果幅角条件成立 则s1即根轨迹上的一个点 1开环零点至s1的幅角 1 2 3 4 开环极点至s1的幅角 由幅值条件 幅角条件绘制根轨迹 幅值条件定K值 单位反馈系统的开环传递函数 一个开环极点P1 0 负实轴上点s1 s2 1 j 负实轴上都是根轨迹上的点 负实轴外的点都不是根轨迹上的点 举例 二 绘制根轨迹的基本规则 一 根轨迹的起点和终点 二 根轨迹分支数 三 根轨迹的连续性和对称性 四 实轴上的根轨迹 五 根轨迹的渐近线 六 根轨迹的分离点 七 根轨迹的起始角和终止角 八 根轨迹与虚轴的交点 九 闭环特征方程根之和与根之积 一 根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点 终止于开环零点 幅值条件 二 根轨迹分支数 n阶系统 根轨迹有n个起始点 系统根轨迹有n个分支 2 实际物理系统 开环极点一般多于开环零点 即n m m条终止于开环零点 有限值零点 n m 条根轨迹分支终止于 n m 个无限远零点 1 系统特征方程的阶次为n次 特征方程有n个根K变化 0到 n个根随着变化 n条根轨迹 三 根轨迹的连续性和对称性 根轨迹是连续曲线 且对称于实轴 闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下 各根分别是K的连续函数 特征方程的根为实根或共轭复数根 仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹 下半部由镜象求得 四 实轴上的根轨迹 如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点 极点个数之和为奇数 则该区段实轴必是根轨迹 开环零点 z1 开环极点 p1 p2 p3 p4 p5 在实轴区段 p2 p3 上取试验点s1 每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360 s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0 s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180 已知系统的开环传递函数 试确定实轴上的根轨迹 1 2 右侧实零 极点数 3 4 6 右侧实零 极点数 7 五 根轨迹的渐近线 当系统n m时 有 n m 条根轨迹分支终止于无限远零点 沿着渐近线趋于无限远处 渐近线也对称于实轴 包括与实轴重合 渐近线与实轴的倾角 k 0 1 2 渐近线与实轴交点的坐标值 证明 长除法 两边开 n m 次方 1 当k值取不同值时 a有 n m 个值 而 a不变 2 根轨迹在s 时的渐近线为 n m 条与实轴交点为 a 倾角 a为的一组射线 说明 已知系统的开环传递函数 试确定根轨迹的渐近线 根轨迹的渐近线例一 已知系统的开环传递函数 试确定根轨迹的渐近线 渐近线与实轴交点 渐近线与实轴正方向的夹角 根轨迹的渐近线例二 六 根轨迹的分离点 分离点 或会合点 根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开 分离点必然是为D s 某一数值时的重根点 1 b坐标值由分式方程解出 证明 例 2 由极值点求解 b坐标值由解出 b 证明 例 必要条件 当解得多个s值时 其中k 值为正实数时才有效 3 重根法求解 b 证明 由解出 b 分离点 或会合点 处的根轨迹的会合角 或分离角 会合 或分离 的根轨迹的条数 分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角 例 r重根 r 1 含 两边求导 b 必要条件 当解得多个s值时 其中k 值为正实数时才有效 1 2 区间无根轨迹 舍去 由极值点求解 b坐标值由分式方程解出 根轨迹在S平面上相遇并有重根 设重根为s1 根据代数中的重根条件 有 或 两式相除 或 即得 解出s1 即为分离点 b 已知某一系统的开环零极点分布 试概略画出其根轨迹 规则4 实轴上0到 1和 2到 3两个区域段为根轨迹 规则5 根轨迹有两条渐近线 n m 2 令k 0 规则6 在实轴上有根轨迹分离点 且在区段 2到 3之间 由极值点求解 b 假定s点沿实轴自p2点移向p1点 k 增益 从零开始逐渐增大 到达 b点时为最大 逐渐减小 到p1点时k 为零 根轨迹分离点处所对应的k 增益具有极值 取在根轨迹上的解 规则1 2 3 4 根轨迹对称于实轴 有四条根轨迹分支 分别起始于极点0 4和 2 j4 终止于无限远零点 实轴上0 4区段为根轨迹 辐角条件 p3 p4的连接线为根轨迹 根据规则5 根轨迹有四条渐近线 七 根轨迹的起始角和终止角 终止角 z 进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角 根轨迹终止角一般计算式 0 360 例 根轨迹上 靠近起点p1处取一点s1 相角方程 s1 p1 起始角 p 四条分支 起始点p1 0 p2 3 0 5 j1 5 p4 2 5 终止点z1 1 5 z2 3 2 j 实轴上0 1 5和 2 5 两区段是根轨迹 取k 0 p3和p2为共轭复数 根轨迹起始角对称 或 取k 1 z2和z3为共轭复数 根轨迹终止角对称 八 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交 闭环特征方程有纯虚根 系统处于稳定边界 系统的开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程 系统稳定的临界K 值 K 6 阵列中s2行元素构成辅助方程 根轨迹与虚轴的交点 系统的开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点 代入系统闭环特征方程 九 闭环特征方程根之和与根之积 系统闭环特征多项式 zi开环零点 si闭环极点 pi开环极点 闭环特征方程的根 即闭环极点 与特征方程的系数关系 1 n m 2时 根之和与根轨迹增益K 无关 是个常数 且有 2 根之和不变 K 增大 一些根轨迹分支向左移动 则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动 根轨迹增益K 3K 根轨迹对称于实轴 有四条根轨迹分支分别起始于开环极点0 3 1 j 终止于零点 2和另外三个无限远零点 实轴上区段0 2和 3 为根轨迹 渐近线与实轴交点坐标为 两条根轨迹分支起始于共轭复数极点 1 j 三 闭环极点的确定 例 设反馈控制系统的开环传递函数为 若要求闭环系统的阻尼比 0 5 求系统闭环极点 解 1 根据根轨迹画法基本规则画出根轨迹图 2 在根轨迹图上画出阻尼比线 3 求出根轨迹与阻尼比线的交点得到闭环主导极点的位置 4 根据幅值条件 求出对应的开环增益 5 利用闭环特征方程的根之和和根之积确定其它闭环极点 阻尼比线 闭环主导极点 闭环主导极点为 根据幅值条件开环增益为 特征方程 4 3广义根轨迹 一 参数根轨迹 二 多回路根轨迹 三 正反馈和零度根轨迹 一 参数根轨迹 以系统中任意一个参数 开环零点 开环极点 时间常数 反馈比例系数等 绘制的根轨迹 研究参数根轨迹的目的分析参数变化对系统性能的影响 绘制参数根轨迹图基本原理 常规根轨迹方程 参数根轨迹方程 等效开环传递函数 以 为可变参数绘制的根轨迹即为参数根轨迹 例 系统的开环传递函数为 绘制以 为参数的参数根轨迹 并讨论 值对系统稳定性的影响 解 1 以 为参量的等效开环传递函数 系统特征方程 等效开环传递函数 开环极点 实轴上的根轨迹 渐近线 根轨迹与虚轴的交点 特征方程 交点为 出射角 劳斯表 对于 1 j1 73处的极点有 对于 1 j1 73处的极点有 二 多回路根轨迹 根轨迹不仅适合于单回路 也适用于多回路 系统的开环传递函数 系统特征方程 以 为参数 研究以KC Kf为变量的根轨迹 系统有两个环 内环的极点就是外环的开环零点 1 绘制内环的根轨迹图 内环的开环传递函数 根据根轨迹绘制规则绘制出以Kf为参数的内环根轨迹图 2 确定内环的闭环极点 假定内环的反馈系数3 2 Kf 3 5 内环的特征方程 可选Kf 3 36 则求得内环的闭环极点为 3 绘制外环的根轨迹图 外环的开环传递函数 三 正反馈和零度根轨迹 1 局部正反馈系统的框图 正反馈回路的闭环传递函数 特征方程 幅值条件 幅角条件 k 0 1 2 绘制正反馈系统根轨迹的基本规则 1 根轨迹的分支数 相同 2 根轨迹的起点和终点 相同 3 根轨迹的对称性 相同 4 实铀上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧 实轴上 开环实零 极点数目之和相应为偶数 0也视为偶数 5 根轨迹的渐近线 根轨迹渐近线与实袖的交点 相同 根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为 6 根轨迹的会合点和分离点 相同 7 根轨迹的出射角和入射角 8 根轨迹与虚轴的交点 相同 9 闭环极点的和与积 相同 例控制系统方框图如下所示 系统的内环为正反馈 绘制内环根轨迹图 解 1 内环的开环传递函数 4 实轴上的根轨迹 2 根轨迹的分支数3 3 根轨迹的起点0 1 3终点均为 5 根轨迹的渐近线 6 根轨迹的分离点 特征方程 4 4滞后系统的根轨迹 在自动控制系统中有时会出现纯时间滞后现象 滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊性 对系统的稳定性会带来不利的影响 系统闭环传递函数 特征方程 这是一个超越方程 闭环系统的特征根不再是有限个 而是无限多个 这是滞后系统的重要特征 滞后系统根轨迹幅值相位条件 幅值条件 相角条件 绘制滞后系统根轨迹的基本规则 3 实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧 实轴上 开环实零 极点数目之和相应为奇数 4 根轨迹的渐近线 1 滞后系统的根轨迹是连续的并对称于实轴 2 根轨迹的起点和终点 起点 终点 根轨迹渐近线有无数条 且平行于实轴 根轨迹渐近线仅与虚轴相交 交点为 5 根轨迹的分离点 6 根轨迹的出射角和入射角 7 根轨迹与虚轴的交点 例 设滞后系统的开环传递函数为 要求绘制此系统的根轨迹图 解 系统特征方程为 绘制根轨迹的相角条件为 1 根轨迹的起点和终点 起点p1 1 终点趋于无穷远 2 实轴上的根轨迹 1 3 根轨迹的渐近线平行于实轴并与虚轴交于 4 令k 0画出主根轨迹 k 0的根轨迹 称为主根轨迹 k 1 2 的根轨迹 称为辅助根轨迹 作图方法 系统中滞后环节的存在对系统的稳定性带来不利影响 如果系统的开环增益较大 即使原来为一阶的系统也可能变为不稳定系统 说明 1 以近似式画出的根轨迹图与主根轨迹近似 2 当开环增益较大时 近似方法误差很大 4 5利用根轨迹分析系统的性能 系统性能 系统的开环零 极点位置 根轨迹 闭环极点位置 一 暂态响应性能分析 设系统有一对共轭复数极点 此外还有若干实数零点和极点 系统为0型系统 闭环传递函数为 当Sk为实数极点时 q为sk右面零 极点数目之和 设S1 S2为共轭复数极点主导极点 具有一对共轭复数极点的零型系统的单位阶跃响应为 超调量和调整时间近似估算公式 系统闭环零 极点位置与暂态响应的关系 1 系统的稳定性只取决于闭环极点的位置 2 如果闭环极点均为负实数 且无零点 则系统的暂态响应为非振荡的 响应时间取决于距离虚轴最近的极点 若其它极点距离虚轴的距离比最近极点的距离大5倍以上 可以忽略不计 3 如果系统具有一对闭环主导极点 则系统的暂态响应呈振荡性质 其超调量主要取决于主导极点的衰减率 并与其它极点接近原点的程度有关 调整时间主要取决于主导极点的实部 4 如果系统中存在非常接近的零点和极点 其相互距离比其本身的模值小一个数量级以上 则把这对闭环零 极点称为偶极子 偶极子的位置距离原点非常近时 其对暂态响应的影响一般需要考虑 但不会影响闭环主导极点的主导作用 偶极子的位置距离原点较远时 其对暂态响应的影响可以忽略 5 除其它闭环极点外的其它极点的存在会增大系统的阻尼比 使响应速度减慢 超调量减少 闭环零点的存在减小系统阻尼 使响应速度加快 超调量增加 二 附加开环零点对根轨迹的影响 渐近线与实轴倾角随着m数增大而增加 根轨迹向左方向弯曲 渐近线与实轴交点随着Zc增大 Zc点在实轴上向右移 而左移 提高了系统的相对稳定性 例 一个系统的开环传递函数为 分析附加一个零点S Z时系统根轨迹的变化 在控制系统设计中有时为改善系统的性能而增设零点 由此给根轨迹带来明显的改变 附加一个零点相当于增加一个比例微分环节 在实际中 能够得到的比例微分作用的环节是比例环节与惯性环节串联而成的复合环节 只要选取P 5Z 可以产生类似附加单纯零点的作用 增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用 零极点对应的矢量幅角 附加提供一个超前角 开环传递函数上附加极点 降低了系统的相对稳定性 三 附加极点对根轨迹的影响 增加开环极点的影响 四 开环偶极子 开环偶极子距离原点较远 幅值条件和幅角条件中的作用相互抵消 对离其较远的近虚轴区域的根轨迹形状和开环增益几乎没有影响 基本上不影响系统静动态性能 开环偶极子位于原点附近 幅角条件和幅值条件中作用也基本抵消 零极点自身比值zc pc 较大 影响系统的开环增益 改变稳态误差 提高系统开环增益10倍 五 稳态性能分析 根与系数关系 如果系统的闭环极点位置已经确定 适当配置零点 可以对系统的稳态误差产生积极的影响 实际上附加开环零点后 除了改变了闭环极点在S平面的