自动控制原理与应用 第2章 自动控制系统的数学模型.ppt

自动控制原理与应用 第2章自动控制系统的数学模型 梁南丁 第2章自动控制系统的数学模型 2 1控制系统的微分方程2 2传递函数2 3典型环节的数学模型及其阶跃响应2 4控制系统的动态结构图2 5自动控制系统的传递函数小结 2 1控制系统的微分方程 微分方程是描述系统动态特性的数学模型 列写系统的微分方程是建立数学模型的重要环节 研究控制系统时常用的传递函数 动态结构图等都是在微分方程的基础上衍生出来的 列写系统微分方程的一般步骤为 1 全面了解系统的工作原理 结构组成 确定其输入量和输出量 2 从系统的输入端开始 根据元件或环节所遵循的物理规律或化学规律 列出相应的原始方程式 3 从所有元件的方程式中消去中间变量 最后得系统的输入输出微分方程式 注 在条件许可下适当简化 忽略一些次要因素 4 一般情况下 应将微分方程写为标准形式 即把与输入量有关的各项放在方程的右边 把与输出量有关的各项放在方程的左边 各导数项均按降幂排列 即 2 1 式中 n m 等式左边是系统输出变量及其各阶导数 等式右边是系统输入变量及其各阶导数 且等式左右两边的系数均为实数 根据系统的物理特性 可将其分为机械系统 电路系统和机电系统 2 1 1机械系统 例2 1 设有一个弹簧 物体 阻尼器组成的机械系统 其原理图如图2 1所示 试列写出系统输入 输出关系的微分方程 其中 K是弹簧的弹性系数 m是物体的质量 是阻尼器粘性摩擦系数 解 1 确定输入 输出量 外力作用F t 为输入量 物体的位移y t 为输出量 2 列出原始的微分方程 在机械平移系统中 应遵循牛顿第二定律 即 2 2 式中 a为物体运动的加速度 a 为所有作用于物体上作用力的总和 根据对物体m受力分析得 2 3 式中 FB为阻尼器的粘性摩擦力 它和物体的移动速度成正比 即FK为弹簧的弹力 它和物体的位移成正比 即FK Ky 3 消去中间变量将以上各式代入式 2 3 两端得 4 整理成标准形式即 2 4 弹簧 物体 阻尼器机械系统 2 1 2电路系统 2 5 又有 2 6 3 消去中间变量 得到uo t 与ui t 关系的微分方程由式 2 6 可得i 2 7 将式 2 7 代入式 2 5 整理后得 2 8 例2 2 如图2 2所示是由电阻R 电感L和电容C组成的电路 试列写其微分方程 解 1 确定输入 输出量 ui t 为输入量 uo t 为输出量 2 依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程 设回路电流为i t 依据基尔霍夫定律 则有 R L C电路 2 1 3机电系统 例2 3 已知一他励直流电动机系统如图2 3所示 试列写其微分方程 工作原理 电枢电压作用下产生电枢电流 从而产生电磁转矩使电动机转动 输入 电枢电压输出 电动机速度 他励直流电动机电枢回路 解 1 确定输入 输出量 输入量为电枢电压ud t 输出量为电动机转速 t 2 列写原始方程 电动机电枢回路的电压平衡方程式为 2 9 式中 L R分别为电枢回路的电感 H 和电阻 反电势e为 e Ce 式中 Ce为电动机电势常数 单位为V s rad 伏 秒 弧度 电动机的电磁转矩为Te Cmi式中 Cm为电动机转矩常数 单位为N m A 牛 顿 米 安 培 电动机轴上的动力学方程 在理想空载情况下 有Te Jd dt式中 J为转动部分折合到电动机轴上的总转动惯量 3 消去三个中间变量e i m 得输入量ud t 与输出量 t 之间的关系为 2 13 若令则上式可写成 2 14 其中 Ta和Tm的单位都是秒 分别称为电动机电枢回路的电磁时间常数和机电时间常数 由此可见 电枢电压控制的直流电动机的数学模型是一个二阶线性常系数微分方程 建立控制系统的微分方程时 一般先由系统原理图画出系统方框图 并分别列写组成系统各部分的微分方程 然后 消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程 列写系统各部分的微分方程时 一是注意信号传递的单向性 即前一个部分的输出是后一部分的输入 一级一级地单向传递 二是注意前后连接的两个部分中 后级对前级的负载效应 例如 无源网络输入阻抗对前级的影响 齿轮系对电动机转动惯量的影响等 2 2传递函数 工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程 拉氏变换可以简化线性微分方程的求解 还可将线性定常微分方程转换为复数S域内的数学模型 传递函数 拉氏变换法求解微分方程的基本思路 2 2 1传递函数的基本概念 2 2 2传递函数的定义 输出拉氏变换 设一控制系统 输入 输入拉氏变换 输出 传递函数的定义 线性定常系统在零初始条件下 系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比 R S C S r t c t 表示为 将微分方程拉氏变换便可求得传递函数 G S a0sn a1sn 1 an 1s an C s b0sm b1sm 1 bm R s 式中 C s 为c t 的拉氏变换 R s 为r t 的拉氏变换 则系统的传递函数为 2 2 3传递函数的性质 1 传递函数只适用于线性定常系统 2 传递函数为复变量S的有理真分式 即m n 且所有系数均为实数 具有复变函数的所有性质 3 传递函数取决于系统或元件的结构和参数 与外施信号的大小和形式无关 4 传递函数是在零初始条件下定义的 不能反映非零初始条件下系统的运动过程 5 传递函数的零点和极点 在复平面上表示传递函数的零点和极点的图形 称为传递函数的零极点分布图 传递函数的零极点分布图可以更形象地反映系统的全面特性 这种用零点和极点表示传递函数的方法在根轨迹法中使用较多 2 2 4传递函数的求法 1 根据微分方程求传递函数例1求图示RLC电路的传递函数 输出量uo 输入量ui 解 根据基尔霍夫定律 2 用复阻抗的概念求电路的传递函数 电阻 电感 电容元件 在电路中有3种基本的阻抗元件 电阻 电容和电感 流过这3种阻抗元件的电流i与电压u的关系如下 无源电子网络 用复阻抗的概念求RLC电路的传递函数 解 根据基尔霍夫定律 有整理得 2 3典型环节的数学模型及其阶跃响应 不同的物理系统 其结构差别很大 但若从系统的数学模型来看 一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成 研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解 2 3 1比例环节1 数学表达式微分方程 y t Kx t 式中 y t 为输出量 x t 为输入量 K为比例系数 比例环节方框图 传递函数 3 比例环节实例 a 运算放大器 c 线性电位器 b 传动齿轮 4 阶跃响应 拉氏反变换得 c t K 当输入量x t 是单位阶跃函数1 t 时 单位阶跃响应h t K 1 t 单位阶跃响应 2 3 2惯性环节 惯性环节方框图 4 阶跃响应 拉氏反变换得 单位阶跃信号作用下的响应 当输入量x t 是单位阶跃函数1 t 时 单位阶跃响应h t 单位阶跃响应曲线 2 3 3积分环节 TsY s X s 1 数学表达式微分方程 微分时间常数 积分环节传递函数 拉氏变换 2 传递函数 积分环节方框图 3 积分环节实例 a 运算放大器 b 直流伺服电机 4 阶跃响应 单位阶跃响应 拉氏反变换得 单位阶跃响应曲线 当输入量x t 是单位阶跃函数1 t 时 单位阶跃响应h t Kt 2 3 4微分环节 1 数学表达式 理想微分环节微分方程 微分时间常数 微分环节方框图 2 传递函数 拉氏变换 微分环节传递函数 3 实例运算放大器构成的微分环节 G s RCs T RC为电路时间常数 当T足够小时 可近似为纯微分环节 4 单位阶跃响应 拉氏反变换得 c t T t 理想微分环节单位阶跃响应曲线 RC电路构成的实用微分环节 理想微分环节实际中是难以实现的 实际中常用含有惯性的实用微分环节 单位阶跃响应 1 s Ts Ts 1 G s 1 s 1 T 传递函数 单位阶跃响应曲线 2 3 5振荡环节 微分方程 T 时间常数 阻尼比 1 数学表达式 2 传递函数 对上式进行变换得 当时 以上两式即为振荡环节的标准传递函数 振荡环节方框图 3 常见振荡环节的实例 1 机械位移系统 2 他激直流电动机 3 RLC电路 4 单位阶跃响应 单位阶跃响应曲线 y t x t 1 拉氏反变换 2 3 6延迟环节 时滞环节 y t x t 延时时间 1 数学表达式 延迟环节方框图 2 传递函数 延迟环节作近似处理得 3 实例在自动控制系统中 晶闸管整流装置的整流电压Ud与控制角a之间的关系 除了有静特性关系Ud Ud0cosa之外 还有一个失控时间的问题 普通晶闸管整流元件具有导通后的不可控特性 它一旦被触发导通后 再改变触发脉冲的相位或使触发脉冲消失 都不能对它起控制作用 必须等到下一个触发脉冲到来的时刻 才能起控制作用 因此 将这一段不可控制的时间 称为失控时间 滞后时间 用 来表示 显然 晶闸管整流装置是一个纯滞后环节 之间的关系 除了有静特性关系 来表示 y t x t 1 阶跃响应曲线 4 阶跃响应 当输入信号x t 为单位阶跃信号1 t 时 输出为y t 1 1 本节小结 1 系统的基本环节是按数学模型的共性建立的 它与系统中使用的元件不是一一对应的 一个元件的数学模型可能是若干基本环节的数学模型的组合 2 分析和设计控制系统必须建立被控对象及系统的数学模型 将其与基本环节的数学模型对比后 即可知其由什么样的基本环节组成 3 基本环节的概念只适用于能够用线性定常微分方程来描述的系统 2 4控制系统的动态结构图 动态结构图和信号流图是系统数学模型的另一种形式 是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形 它们表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算 是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法 应用动态结构图可以简化复杂控制系统的分析和计算 同时能直观地表明控制信号在系统内部的动态传递关系 2 4 1动态结构图 系统结构图中的 三要素 1 方框图 函数框 2 加减点 比较点 综合点 3 引出点 分支点 测量点 Y s G s X s 带有箭头的直线称为信号线 箭头表示信号的传递方向 2 4 2动态结构图的绘制 绘制动态结构图的一般步骤 1 根据信号传递过程 将系统划分为若干环节或部分 3 绘出各环节的方框图 图中标出其传递函数 输入量和输出量 4 根据信号在系统中的流向 依次将各环节的方框图连接起来 2 确定系统中各元件或环节的传递函数 例2 7 画出图所示电路的动态结构图 解 1 根据信号传递过程 将系统划分为4个部件 R1 C1 R2 C2 2 确定各环节的输入量与输出量 求出各环节的传递函数 R1 输入量为ui u1 输出量为i1 传递函数为 C1 输入量为i1 i2 输出量为u1 传递函数为 R2 输入量为u1 uo 输出量为i2 传递函数为 C2 输入量为i2 输出量为uo 传递函数为 3 绘出各环节的动态结构图 如图2 12所示 RC电路各部件的动态结构图 4 将各环节相同变量信号线连接起来 得到系统动态结构图 如图所示 RC电路的动态结构图 2 4 3动态结构图的等效变换和化简 系统的动态结构图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系 将复杂的动态结构图进行化简可求出传递函数 常用的动态结构图等效变换的方法可以归纳为两类 一类是环节的合并 或简化 一类是信号引出点或相加点的移动 在等效变换的过程应遵循的原则 变换前 后的数学关系保持不变 一 动态结构图的等效变换1 环节的合并动态结构图方框间的基本连接方式有串联 并联和反馈3种 1 环节的串联 n个环节串联后总的传递函数等于各传递函数的乘积 即 2 环节的并联 3 反馈连接 环节的反馈连接等效变换 2 信号分支点和相加点的移动和互换 对于一般的系统动态结构图 可能是几种连接方式相互交叉在一起 无法直接利用上述方法 而必须经过相加点及分支点的移动 变成典型的基本形式 1 相加点的前移 前移 C s R1 s G s R2 s 移动后 移动前 数学关系不变 2 相加点后移 数学关系不变 后移 C s R1 s R2 s G s R1 s R2 s C s 移动前 移动后 3 相加点之间的移动 移动前后的输出相同 可见两者是等效的 说明相加点之间可以任意移动 不改变数学关系 4 分支点前移 将分支点从环节的输出端移至输入端 称为分支点的前移 需要在被移动的通道串上移过的传递函数G s 移动前 移动后 移动前后的输出相同 可见两者是等效的 5 分支点后移 6 分支点之间的移动 将两个分支点交换位置称为分支点之间的移动 移动点前后相邻分支点的输出相同 可见两者是等效的 说明分支点之间可以任意移动 分支点之间的交换不改变数学关系 i1 i2 例2 8简化图示RC电路的动态结构图 并求出传递函数 RC电路 U1 s i1 i2 分支点 1 分支点 引出点 后移 在移动支路中除以移过的传递函数1 C2s 求单位负反馈回路等效传递函数 相加点前移 2 相加点 比较点 前移 在移动支路中除以移过的传递函数1 R1 求单位负反馈回路等效传递函数 3 简化电路并求等效传递函数 等效传递函数 2 4 4信号流图与梅逊公式 1 信号流图与结构图的对应关系信号流图结构图源节点输入信号阱节点 汇点 输出信号混合节点比较点 引出点支路环节支路增益环节传递函数前向通道回路互不接触回路 控制系统结构图 2 信号流图的绘制 控制系统信号流图 控制系统结构图 系统信号流图 3 梅逊公式 Mason公式 特征式 前向通路的条数 第k条前向通路的总增益 所有不同回路的回路增益之和 两两互不接触回路的回路增益乘积之和 互不接触回路中 每次取其中三个的回路增益乘积之和 第k条前向通路的余子式 把与第k条前向通路接触的回路去除 剩余回路构成的子特征式 n PK La LbLc LdLeLf k 例1试用梅逊公式 求G s C s R s 解 系统有4个回路 有两个互不接触的回路 只有一条前向通道 各回路与前向通道都有接触 因此 系统的传递函数G s C s R s 为 2 5自动控制系统的传递函数 控制系统一般受两类信号的作用 一类是有用信号r t 即输入信号 一般加在系统的输入端 另一类是干扰信号n t 一般作用在被控对象上 当一个系统有多个干扰信号时 一般只考虑其中主要的干扰信号 闭环控制系统的典型结构如图所示 R s 是输入信号 N s 是干扰信号 C s 是输出信号 为了研究R s N s