解析几何中焦点相关的常用结论 - 焦点相关的常用结论.doc

解析几何中焦点相关的常用结论解析几何中跟焦点及焦半径（椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线）、焦点弦（经过焦点的弦）有关的的问题是一类基本的、常见的问题，这于这类问题，我们一般利用第一、第二定义、正、余弦定理等方法求解，熟练掌握有关结论并能加以灵活运用，将有效提高解题速度。结论1、焦半径公式：F1F2图110 设P是椭圆上的一点，则焦半径|PF1|、|PF2|的长分别为aex0。其中a为长半轴长，e为离心率，x0为点P的横坐标（图1）。20 设P是双曲线上的一点，则焦半径|PF1|、|PF2|的长分别为ex0a。其中a为实半轴长，e为离心率，x0为点P的横坐标。证明：对本题的证明只要根据定义，下面以椭圆为例加以证明：设点P到左准线的距离为d，则d=x0+,由第二定义得=e，|PF1|=de= (x0+)e= e x0 +a。同理可证|PF2|= ae x0。图2结论2、以抛物线y2=2px (p0)的焦半径|PF|为直径的圆（C）与y轴相切（图2）。证明：分别过点P、C、F向抛物线的准线作垂线，垂足记为P1、C1、F1，与y轴交于P2、C2，O，则C到y轴的距离|CC2|=，而|PF|=|PP1|=|PP2|+|P2P1|=|PP2|+|FO|，|CC2|=，即点C到y轴的距离等于C的半径，C与y轴相切。结论3、以抛物线y2=2px (p0)的焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切，且A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值（图3）。证明：分别过点A、B、C向抛物线的准线l作垂线，垂足记为A1、B1、C1，与y轴交于A2、B2，C2，则C到l轴的距离|CC1|=，由第二定义得：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，|AA1|+|BB1|=|AB|，|CC1|=，即点C到准线l的距离等于C的半径，C与准线相切。图3当直线AB斜率存在时，设AB的方程为：y=k(x),代入抛物线得4k2x24p(k2+2)x+k2p2=0,设A（x1,y1）、B（x2,y2）,由韦达定理得x1x2=为定值；而|y1y2|=2p=p2. y1y2=p2。当直线AB斜率不存在时，易证上式结论成立。结论4、已知抛物线y2=2px (p0),过焦点F的弦的倾斜角为（0），且与抛物线交于A、B，则|AB|=；且当直线AB与x轴垂直时，|AB|min=2P（此时称弦AB为抛物线的通径）（图4）。证明：同结论3，分别过点A、B向抛物线的准线l作垂线，垂足记为A1、B1，则|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，|AB|=|AA1|+|BB1|。设A（x1,y1）,B(x2,y2),则|AA1|= x1+，|BB1|= x2+，|AB|= x1+ x2+p。当900时，设直线AB的方程为y=tg(xc),代入抛物线方程得：图4tg2x2(2p+ptg2)x+=0,x1+ x2=，|AB|=+p=。当=900时，显然|AB|=2p,符合上式，|AB|=。当=900时，|AB|min=2P，即为通径的长。结论5、设AB是椭圆的焦点弦，则当AB垂直x轴时|AB|min=。证明略。想一想：在抛物线及椭圆的焦点弦中，当该弦垂直于抛物线的对称（或椭圆的长轴）时，弦|AB|取得最小值，那么在双曲线中是否有相同的结论？结论6、过抛物线y2=2px (p0)的焦点F作倾斜角为（0）的直线，且与抛物线交于A、B两点，则AOB的面积S=。证明：由结论4得|AB|=，点O到直线AB y=tg(x)的距离为d=|sin|。SAOB=|sin|=。结论7、P为双曲线上一点，F1、F2为两焦点，且F1PF2=（00)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B，点C在抛物线的准线上，且BC/x轴，则直线AC经过原点O（图6）。图6O1证明：设A（x1,y1）,B(x2,y2)，则C(,y2),直线AB的方程为：y=k(x