常见数学建模问题.doc

1、已知如下点列，求其回归直线方程，并计算最小误差平方和x0.10.110.120.130.140.150.160.170.180.20.210.23y4243.54545.54547.5495350555560解： 在matlab中可画出散点图如下： 那么由散点图可以建立数学模型如下： y=ax+b;在matlab软件中输入命令 X=0.1,0.11,0.12,0.13,0.14,0.15,0.16,0.17,0.18,0.2,0.21,0.23; Y=42,43.5,45,45.5,45,47.5,49,53,50,55,55,60; P=polyfit(x,t,1) 得出：p = 130.8348 28.4928那么可知线性回归直线方程为：y=130.8348x+28.4928而最小误差平方和将a=130.8348,b=28.4928代入上式可得，s=17.4095.2、合金强度y与其中含碳量x有密切关系，如下表x0.100.110.120.130.140.150.160.170.180.200.210.23y42.041.545.045.545.047.549.055.050.055.055.560.5根据此表建立y(x)。并对结果作可信度进行检验、判断x对y影响是否显著、检查数据中有无异常点、由x的取值对y作出预测。解：在x-y平面上画散点图，直观地知道y与x大致为线性关系。用命令polyfit(x,y,1)可得y=140.6194x+27.0269。作回归分析用命令b,bint,r,rint,ststs=regress(y,x,alpha) 可用help查阅此命令的具体用法残差及置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图设回归模型为 y=0+1x,在MATLAB命令窗口中键入下列命令进行回归分析x=0.1:0.01:0.18;x=x,0.2,0.21,0.23;y=42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5;X=ones(12,1),x;b,bint,r,rint,stats=regress(y,X,0.05);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)得结果和图b = 27.0269 140.6194bint = 22.3226 31.7313111.7842 169.4546 stats =0.9219 118.0670 0.0000结果含义为0=27.0269 1=140.61940的置信区间是 22.3226,31.73131的置信区间是 111.7842,169.4546R2=0.9219 F=118.0670, p10-4.R是衡量y与x的相关程度的指标，称为相关系数。R越大，x与y关系越密切。通常R大于0.9才认为相关关系成立。F是一统计指标p是与F对应的概率，当 p0.05时，回归模型成立。此例中 p=0 10-40.05，所以，所得回归模型成立。观察所得残差分布图，看到第8个数据的残差置信区间不含零点，此点视为异常点，剔除后重新计算。此时键入：X(8,:)=;y(8)=;b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)得：b = 27.0992 137.8085bint = 23.8563 30.3421 117.8534 157.7636stats =0.9644 244.0571 0.0000可以看到：置信区间缩小；R2、F变大，所以应采用修改后的结果。3、 某厂生产的某产品的销售量与竞争对手的价格x1和本厂的价格x2有关。下表是该产品在10个城市的销售记录。x1120140190130155175125145180150x210011090150210150250270300250y(个)10210012077469326696585试建立关系y(x1，x2)，对结果进行检验。若某城市本厂产品售价160（元），对手售价170（元），预测此产品在该城市的销售量。解:这是一个多元回归问题。若设回归模型是线性的，即设y=0+1x1+2x2那么依然用regress(y,x,alpha)求回归系数。键入x1=120,140,190,130,155,175,125,145,180,150;x2=100,110,90,150,210,150,250,270,300,250;y=102,100,120,77,46,93,26,69,65,85;x=ones(10,1),x1,x2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,stats,得b = 66.5176 0.4139 -0.2698bint = -32.5060 165.5411 -0.2018 1.0296 -0.4611 -0.0785stats =0.6527 6.5786 0.0247p=0.0247,若显著水平取0,01，则模型不能用；R2=0.6527较小;0，1的置信区间包含零点。因此结果不理想。于是设模型为二次函数。此题设模型为纯二次函数：y=0+1x1+2x2+11x12+22x22MATLAB提供的多元二项式回归命令为rstool(x,y,model,alpha).其中alpha为显著水平、model在下列模型中选一个：linear（线性）purequadratic（纯二次）interaction（交叉）quadratic（完全二次）对此例，在命令窗中键入x(:,1)=;rstool(x,y,purequadratic)得到一个对话窗：其意义与前面的对话窗意义类似。若要回答“本厂售价160，对手售价170，预测该市销售量”的问题，只需在下方窗口中分别肩入160和170，就可在左方窗口中读到答案及其置信区间。下拉菜单Export向工作窗输出数据具体操作为：弹出菜单，选all，点击确定。此时可到工作窗中读取数据。可读数据包括：beta（回归系数） rmse（剩余标准差） residuals （残差）本题只要键入beta,rmse,residuals得beta = -312.5871 7.2701 -1.7337 -0.0228 0.0037rmse = 16.6436residuals = 6.6846 -12.6703 -0.2013 6.4855 -19.6533 7.9989 -11.4737 5.4303 -4.9932 22.39266、某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。III设备128台数原材料A4016kg原材料B0412kg该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？解：这问题可以用以下的数学模型来描述：设 x 1, x 2分别表示在计划期内产品I、II的产量。 该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x 1、x 2以得到最大的利润。若用 z 表示利润，这时z = 2x 1 + 3 x 2 。综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：目标函数：约束条件：该问题属于线性规划问题，则由上述条件可求的最优解是：（4,2）即当X=4,X=2时，该工厂的利润最多maxz=14(元)。7、电视台为某个广告公司特约播放两套片集。其中片集甲播映时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万，片集乙播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万。广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于80分钟的节目时间。电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？解：该问题可以用以下的数学模型来描述：设x,y分别表示电视台每周播出片集甲，片集乙的次数。该电视台