（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习专题四数列4.2数列的通项与求和课件.pptx

4 2数列的通项与求和 2 突破点一 突破点二 突破点三 由数列的递推关系求通项 例1 根据下列条件 确定数列 an 的通项公式 1 数列 an 满足a1 3a2 2n 1 an 2n 3 a1 1 ax 1 3an 2 分析推理 1 根据式子结构特征 把 2n 1 an看作一个整体 则该问题就看作已知和Sn求通项的问题 根据项与和的关系式求解即可 2 根据递推关系以及对数运算 可以利用累加法求其通项 3 因为递推关系中两项的系数不同 所以应该通过变形构造等比数列求解通项 3 突破点一 突破点二 突破点三 解 1 a1 3a2 2n 1 an 2n 故当n 2时 a1 3a2 2n 3 1 2 n 1 两式相减得 2n 1 an 2 4 突破点一 突破点二 突破点三 又a1 2适合上式 故an 2 lnn n N 5 突破点一 突破点二 突破点三 3 方法一 直接变形 由an 1 3an 2 得an 1 1 3 an 1 a1 1 知a1 1 2 an 1 0 数列 an 1 是以2为首项 以3为公比的等比数列 则an 1 2 3n 1 故an 2 3n 1 1 方法二 待定系数法 由已知 设an 1 t 3 an t 则整理得an 1 3an 2t 由已知可得2t 2 解得t 1 an 1 1 3 an 1 下同方法一 6 突破点一 突破点二 突破点三 例1 3 中 若已知an 1 3an 2n 1呢 解法一 直接变形 由an 1 3an 2n 1 得an 1 n 1 3 an n 令bn an n 则有bn 1 3bn 7 突破点一 突破点二 突破点三 解法二 待定系数法 因为an 1与an的系数不相等 故可构造等比数列 设an 1 k n 1 t 3 an kn t 整理得an 1 3an 2kn 2t k 由已知an 1 3an 2n 1 所以an 1 n 1 3 an n 下同解法一 8 突破点一 突破点二 突破点三 规律方法1 由递推关系求数列的通项的基本思想是转化 常用的方法 1 an 1 an f n 型 采用迭加法 3 an 1 pan q p 0 p 1 型 转化为等比数列解决 4 an 1 an 0 p q为非零常数 型 可用倒数法转化为等差数列解决 2 已知Sn求an的三个步骤 1 先利用a1 S1求出a1 2 用n 1替换Sn中的n得到一个新的关系 利用an Sn n 2 便可求出当n 2时an的表达式 3 注意检验n 1时的表达式是否可以与n 2的表达式合并 9 突破点一 突破点二 突破点三 即时巩固1根据下列条件 确定数列 an 的通项公式 3 Sn 2an n 10 突破点一 突破点二 突破点三 3 Sn 2an n 当n 1时 a1 S1 2a1 1 即a1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2an n 2an 1 n 1 2an 2an 1 1 即an 2an 1 1 数列 an 1 为首项a1 1 2 公比q 2的等比数列 an 1 2 2n 1 即an 1 2n 11 突破点一 突破点二 突破点三 裂项求和法 1 求 an 的通项公式 分析推理 1 首先令n 1 求出首项 然后根据Sn与an的关系 将已知转化为数列的项之间的关系 化简后判断数列的性质 进而求其通项 2 根据第 1 问所求 写出bn的表达式 然后将其裂成两项之差 利用裂项相消法求和 12 突破点一 突破点二 突破点三 所以 an 是首项为3 公差为2的等差数列 通项公式为an 2n 1 13 突破点一 突破点二 突破点三 规律方法裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an bn k bn k N 的形式 从而达到在求和时绝大多数项相消的目的 在解题时要善于根据这个基本思想变换数列 an 的通项公式 使之符合裂项相消的条件 14 突破点一 突破点二 突破点三 即时巩固2 2019湖南岳阳二模 已知数列 an a1 3 且nan 1 an nan n N 1 求数列 an 的通项公式 2 记Sn为数列 an 的前n项和 求数列的前n项和Tn 得an 3n 所以数列 an 的通项公式为an 3n n N 15 突破点一 突破点二 突破点三 16 突破点一 突破点二 突破点三 错位相减法求和 例3 已知 an 为等差数列 前n项和为Sn n N bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 S11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nb2n 1 的前n项和 n N 分析推理 1 等比数列 bn 已知首项 故可直接利用已知 b2 b3 12 列出公比所满足的方程求解 即可得到其通项公式 然后代入已知列出方程组求出等差数列 an 的首项与公差 进而求其通项 2 首先根据第 1 问写出数列 a2nb2n 1 的通项公式 根据等差 等比数列的性质可知 a2n 为等差数列 b2n 1 为等比数列 故应利用错位相减法求和 17 突破点一 突破点二 突破点三 解 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因为q 0 解得q 2 所以 bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由S11 11b4 可得a1 5d 16 联立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以 数列 an 的通项公式为an 3n 2 数列 bn 的通项公式为bn 2n 18 突破点一 突破点二 突破点三 2 设数列 a2nb2n 1 的前n项和为Tn 由a2n 6n 2 b2n 1 2 4n 1 有a2nb2n 1 3n 1 4n 故Tn 2 4 5 42 8 43 3n 1 4n 4Tn 2 42 5 43 8 44 3n 4 4n 3n 1 4n 1 上述两式相减 得 3Tn 2 4 3 42 3 43 3 4n 3n 1 4n 1 19 突破点一 突破点二 突破点三 规律方法错位相减法适用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an 为等差数列 bn 为等比数列 所谓 错位 就是要找 同类项 相减 要注意的是相减后得到部分等比数列的和 此时一定要查清其项数 20 突破点一 突破点二 突破点三 即时巩固3 2019江西上饶二模 设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 1 an 1 3Sn 1 n N 1 求数列 an 的通项公式 2 记Tn为数列 nan 的前n项和 求Tn 解 1 由题意 an 1 3Sn 1 则当n 2时 an 3Sn 1 1 两式相减 得an 1 4an n 2 所以数列 an 是以首项为1 公比为4的等比数列 所以数列 an 的通项公式是an 4n 1 n N 21 突破点一 突破点二 突破点三 2 因为Tn a1 2a2 3a3 nan 1 2 4 3 42 n 4n 1 所以4Tn 4 1 2 42 3 43 n 1 4n 1 n 4n 22 核心归纳 预测演练 23 核心归纳 预测演练 1 2019山东泰安上学期期末 已知数列 an 中 a1 1 an 1 2an 1 n N Sn为其前n项和 则S5的值为 A 57B 61C 62D 63 A 解析 由条件可得 a1 1 a2 2a1 1 3 a3 2a2 1 7 a4 2a3 1 15 a5 2a4 1 31 所以S5 a1 a2 a3 a4 a5 1 3 7 15 31 57 故选A 24 核心归纳 预测演练 an 的通项公式为 A an nB an n2 B an n2 n N 故选B 25 核心归纳 预测演练 3 已知数列 an 的各项都是正数 其前n项和Sn满足2Sn an n N 则数列 an 的通项公式为 解析 因为数列 an 的各项都是正数 其前n项和Sn满足 26 核心归纳 预测演练 4 2019山东淄博实验中学 淄博五中一诊 已知等差数列 an 的公差d 0 其前n项和为Sn 且S5 20 a3 a5 a8成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 所以 a1 4d 2 a1 2d a1 7d 化简得a1 2d 联立 和 得 a1 2 d 1 所以an n 1 27 核心归纳 预测演练 28 核心归纳 预测演练 5 2019江西上饶二模 已知首项为1的等比数列 an 满足a2 a4 3 a1 a3 等差数列 bn 满足b1 a2 b4 a3 数列 bn 的前n项和为Sn 1 求数列 an bn 的通项公式 解 1 设 an 的通项公式为an a1qn 1 a1