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题 目 在线租赁问题摘要本文以在线租赁为研究对象，研究了需求的预测、购买和分配问题，并对会员的满意度进行分析。对于问题一，首先分析一个月的情况，分别对需求量、供应量、二次租赁人数占租赁人数比例值计算，构建目标函数和约束条件： 解得结果为1，2，3，4，5各自的准备量为6250，3125，1563，782，313。然后分析三个月的情况，方法同上，解得结果为1，2，3，4，5各自的准备量为3959，1980，990，495，198。对于问题二，解决分配方案的问题，首先用0-1规划构造分配矩阵、订单矩阵，用分配元素与订单元素的比值得到满意度矩阵：在此基础上构造满意度函数：求得1000位会员租赁到的方案，并给出前30位方案（见表4）对于问题三，同时满足满意度的最大和准备张数的最少，构造目标函数：在约束条件下，求得购买量和分配结果。对于问题四，考虑公司利润、类型对需求的预测、购买和分配的影响情况。考虑利润时考虑租赁一次的损耗率、不同的单价，不同地区邮费，每个会员每月需支付的会员费，会员总人数，不同地区的分配张数因素，建立函数方程：当考虑类型问题时，在每种类型下进行满意度的分析研究。关键词 在线租赁 目标函数 0-1规划 满意度矩阵 一、问题重述1.1 背景分析随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。公司进行在线租赁，顾客需缴纳一定数量的月费成为会员，订购租赁服务。会员对哪些有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张，这些是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张。会员看完3张之后，只需要将放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。对于租赁公司，需要根据会员对不同碟片的需求对碟片预测、购买和分配才能实现利润的最大化。1.2 学要解决的问题某进行在线租赁，由此解决以下问题：问题一：网站准备购买一些新的，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些的人数（表1给出了其中5种的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该的会员中至少50%在一个月内能够看到该？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该呢？问题二：表2中列出了网站手上100种的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从/mcm05/problems2005c.asp下载），如何对这些进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些。问题三：继续考虑表2，并假设表2中的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的，并且满意度最大？问题四：如果你是网站经营管理人员，你觉得在的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。二、模型假设1、假设每种租赁人中仍然一次租赁比例占了40%，二次租赁比例占了60%。2、假设每次租借都是在月初和月中，归还都是在月中和月末。3、假设在每月末会员必须归还所租。4、假设在租借过程中没有意外破损或丢失导致无法继续使用。三、符号说明为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：（其他未说明的符号在文中第一次出现时会做详细的说明）保证一月内有50%能看到该所需张数保证三月内有95%能看到该所需张数在一月内保证50%能看到时二次租赁人比例在三月内保证95%能看到时二次租赁人比例第种数量第个会员对种的满意程度第个会员对种的订单租赁一次的损耗率100种的购买量0-1变量，判断第个会员是否租赁到四、问题分析4.1 重要性分析的在线租赁问题随着信息时代的到来，成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一，然而如何进行数量的预测、购买和分配却一直是一个难题。进行租赁的研究，需要考虑多方面的问题，需要知道消费者对类型的喜爱情况，不同租赁方式下会员所占的比重，还有利润的计算等等。合理的分析这些情况，可以避免在线租赁公司资金的浪费，降低营业成本，实现利润的最大化，实现在线租赁事业的良性发展。4.2 问题的思路分析 4.2.1 问题一的分析对问题一中需要考虑应该至少准备多少张，才能保证希望看到该的会员中至少50%在一个月内能够看到该的问题，只要保证提供的大于等于需求人数的一半，在此情况下求得碟数量的最小值，首先按一个月的情况求解。分别计算供应量、需求量、值。然后以5种碟数量最小值的累加和构建目标函数，以5种情况下需求量大于供应量构建约束条件，得出方程求出结果。再按三个月的情况，方法同问题一，一样求出结果。4.2.2 问题二的分析问题二需要求出如何分配才能获得最大满意度问题，首先进行满意度的计算。用0-1规划构造分配矩阵、订单矩阵。考虑如果一个会员实际租赁到的碟占他想要订的比例越大，满意度越大，建立满意度矩阵，并对满意度求解，综合各种约束条件，得到前30位会员租赁到的方案。4.2.3 问题三的分析问题三是基于问题二进行考虑的，将问题二进行了更深层次的分析，计算最大满意度，同时结合问题一考虑满足部分会员时的最小购买量。由于需要满足两个目标函数，故将两者结合起来计算。问题二中所需要的库存均为零，因此需要全部重修购买，在计算时，又需要考虑可以只满足部分会员，因此在计算时在问题一的基础上又增加了一个0-1变量，允许部分会员，没有收到。其他对于人均分配和总分配的约束则与问题一，二相同。4.2.4 问题四的分析对于其它问题的研究，本文考虑利润和分配两个问题，当考虑利润时考虑租赁一次的损耗率、不同的单价，不同地区邮费，每个会员每月需支付的会员费，会员总人数，不同地区的分配张数因素，建立函数方程；当考虑类型问题时，在每种类型下进行满意度的分析研究。五、模型的建立与求解经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。5.1 问题一模型的建立与求解 5.1.1 一个月的情况对于应该至少准备多少张，才能保证希望看到该的会员中至少50%在一个月内能够看到该的问题，只要保证该月提供的大于等于需求人数的一半，在此情况下求得碟数量的最小值，由此建立以下模型。 供应量的计算假设第种月初或月中借出的数量为，其中租赁两次的比例为，则本月一共可提供的数量由两部分组成，第一部分由本月第一次租赁的组成，第二部分由中二次租赁返还的组成。故总供应量为。 需求量的计算每种需求数量应由该种需求概率乘以总人数的50%得到，查得会员租赁5种的概率如下表：表1 会员租赁5种的概率名称12345租赁的概率50.0250.01 值计算当恰好租赁人数中只租赁一次的人占了极大比重时，此时取得最小值，当恰好租赁人数中租赁二次的人占了极大比重时，此时取得最大值100%，但如果按最小值计算，则会造成资源的浪费；如果按最大值计算，则会造成出现满意度达不到50%的情况。由此我们取等于60%，因为在此情况下满意度达到50%的概率很大，可以近似看做100%达到目标。 方程构建根据目标函数为5种碟数量最小值的累加和，约束条件为5种情况下需求量大于供应量，建立下面的方程：目标函数： 约束条件： 解得结果如下： 表2 一个月准备5种最小张数名称12345购买量（张）6250312515637823135.1.2 三个月的情况对于应该至少准备多少张，才能满足在三个月内至少95%的会员能够看到该的问题，解决思路同上，最终构建方程如下：目标函数： 约束条件： 计算结果如下：表3 三个月准备5种最小张数名称12345购买量（张）395919809904951985.2 问题二分配方案的求解根据网站手上100种的现有张数和需要处理的1000位会员的在线订单，求解分配，使会员获得最大的满意度的问题，本文以最大满意度为目标函数，在相应约束下，利用0-11整数规划求出最大的满意度，同时得到相应的分配方案。5.2.1 最大满意度2的计算 分配矩阵由于借到和借不到恰好是两种对立的情况，满足0-1分布，因此本文建立0-1规划，所得结果如下：则对会员的分配矩阵为： 偏爱矩阵根据我们的理解，会员的在线订单用数字1,2,表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，说明该会员对这种的偏爱程度越大。设为会员对的订单数量，根据附表本文得出订单矩阵如下： 满意度矩阵同上分析，如果一个会员对某种的偏爱程度数字越小，说明该会员对这种的偏爱程度越大，定义，则第位会员租赁到第种占该会员对种订单的比重越大，相应的满意度越大，所以定义满意度如下：则会员的满意度矩阵如下： 满意度求解根据上述分析构造目标函数：约束项的确立：(1)通过对1000位会员在线订单的分析，每位会员都订了三张，当无法提供相应的时，以其它种类的替代，所以每位会员最终都会得到三张。所以有(2)因为要保证每种不超过本身，所以有(3)保证总借出不超过总，所以有运用求解（见附录三），得到前30位会员租赁到的方案如下：表4 前30位会员租赁到的方案会员序号数1841982644623325080471841511666861953667826818313571953781001055608511596366122314113217896142352891513668516558497174751671841607819266686204561892145505322385557232981952437417625969812622689527505878288344129263055303762985.3 问题三的研究问题三可以看作是将问题一和问题二结合起来考虑，将表2中的现有数量全部设为0，而重新判断准备多少3，求得所需准备的最少的张数，同时还要考虑满意度最大，至少满足95%的会员，能看到自己想要看到的。为了便于计算，同时能满足满意度最大，即最大，和购买量最小，即最小。故将目标函数设为：对于满意度的计算，问题三和问题二中相同，均是：对于能满足的会员数量，这里与问题一的计算方法相同，均是考虑租赁两次的会员在月中时能将所借还回，以便在月中时再次租赁，使的利用率尽量大，从而最终能够至少让95%的会员得到自己想要的。考虑到不是需要让全部会员得到自己想要的，故不需要使每个会员都得到，因此在问题二中的则不再需要，而是转化为，其中 为0或1。最后满足租赁出的不超过所购买的总数，就可以对所求目标函数进行完整的约束：求得购买量结果如下：表5 购买量001002003004005006007008009010购买量21362738212830333525011012013014015016017018019020购买量29312831273828263138021022023024025026027028029030购买量34293522293126192541031032033034035036037038039040购买量29353131393521302928041042043044045046047048049050购买量53352635342532253234051052053054055056057058059060购买量40263326313231283436061062063064065066067068069070购买量27313234323130353330071072073074075076077078079080购买量36342531282420303128081082083084085086087088089090购买量29182219332134242427091092093094095096097098099100购买量39282423402436321835分配结果（会员前30个）表6 会员前30个分配结果会员序号数18829826424434508047184151166682596994262268952722425828834822930445530137625.4 问题四的求解 5.4.1 利润的研究的需求预测、购买和分配问题中还应考虑利润的问题，利润越大，方案越优。假设每张质量相同，租赁一次的损耗率为，不同的单价为，不同地区邮费为，每个会员每月需支付的会员费为，总利润为，共有会员人，不同地区的分配张数，则建立的函数为：目标是将最大化。5.4.2 分类的研究在需求预测时将分成不同的几种类型：影视、音乐、科教、体育、健身。假设在同种类型中有数量不足时以同种代替，可使满意度仅下降20%，而以不同类型代替则会是满意度下降50%则：在计算满意度时将，则取=1,2,3时之间差值最大，超过了20%。（1）先满足满意度为1,，的会员。（2）若有会员未选到他满意度为1,，的，而该种类型的所选人数满意度又小于，则将租借给前者，同理，若不同类型的有租赁人满意度小于，则也租赁给前者。六、模型的检验本文将订单矩阵 转化为0-1需求矩阵，对需求矩阵的列向量求和可得到每种的需求量，形成二维图如下：图1 二维图从该图可以看出，每种的需求量比较均衡，这说明多个顾客同时想要相同几种的概率很小，正好印证交集影响微小的合理性。七、模型的评价与改进7.1 模型的优点1、本模型在随机分布的基础上，建立关于分配情况的矩阵，以及各会员的针对各种的满意程度矩阵，使得问题的描述比较清晰。2、对于满意程度的表示，我们采取了将附表中的偏爱程度取倒数的方法，使得会员满意程度的描述有依据，显得比较合理，避免了线性取值带来的较大误差。3、对于问题二、三涉及的大量数据，本文用编程，很好地解决了问题，结果让人满意。4、问题四中，本文从经营者的角度，在的需求预测、购买和分配中涉及到的其他一些重要问题进行分析，并建立了相应的数学模型，综合考虑了多种因素。7.2模型的缺点1、因为问题一本文是从一个极限的角度来求解5种的最小购买量，所以在计算结果的准确度来讲，会有一些误差。2、对商业运作知识的缺乏，对一些因素（比如满意度）的把握可能欠缺妥当。3、需要对大量数据进行处理，增加了建模求解的难度。7.3模型的改进实际中，网站为了持续发展，扩大规模，必须不断购进各种新，因此需要根据各种新的宣传力度、明星阵容、所属种类、观众期望程度等方面因素，综合分析、预测其中的租赁情况，及网站的需求量购买，使的公司的成本最低，而会员对网站的满意度最大。而本篇论文并未考虑这些其他的可能对问题产生影响的因素，这正是本篇论文值得改进的地方。八、模型的推广本文所建立的模型是用来解决的现实租赁问题，适合于绝大部分的网上在线交易。可以推广使用到一般的物品租赁领域和商品销售领域，使其合理的订购和分配物品，以获得经济效益最大化。还可推广应用到婚介所结婚对象的搭配上，工业企业的产销平衡上等方面。本文所用到的模型主要是线性规划中的0-1规划模型，0-1规划主要用于求解互斥的计划问题、约束条件互斥问题、固定费用问题和分派问题等方面。在互斥计划问题领域可应用于确定投资项目，选定投资场所，决定投产产品等；在处理经济管理中某些规划问题时，若决策变量采用 0-1变量即逻辑变量，可把本来需要分别各种情况加以讨论的问题统一在一个问题中讨论。九、参考文献1 盛红波,孙娟,孙小玲,0-1多项式背包问题的一种精确算法,上海大学学报(自然科学版),2006(04)；2 丰宇昆，员工满意度测评与管理，西北工业大学，2003；3 周小强,李新平，DVD在线租赁问题的数学模型，湖南理工学院学报(自然科学版)， 2009(01)。十、附录附录一 问题一50%min=x1+x2+x3+x4+x5;x1+m*x1=0.2*105*0.5;x2+m*x2=0.1*105*0.5;x3+m*x3=0.05*105*0.5;x4+m*x4=0.025*105*0.5;x5+m*x5=0.01*105*0.5;bnd(0.1,m,0.6);gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);附录二 问题一98%min=y1+y2+y3+y4+y5;y1+n1*y1+y1+n2*y1+y1+n3*y1=0.2*105*0.95;y2+n1*y2+y2+n2*y2+y2+n3*y2=0.1*105*0.95;y3+n1*y3+y3+n3*y3+y3+n3*y3=0.05*105*0.95;y4+n1*y4+y4+n2*y4+y4+n3*y4=0.025*105*0.95;y5+n1*y5+y5+n2*y5+y5+n3*y5=0.01*105*0.95;bnd(0.1,n1,0.6);bnd(0.1,n2,0.6);bnd(0.1,n3,0.6);gi