金融数学引论讲义-chapter4.pdf

第四章 1 1 第四章 本金利息分离技术 第二章讨论的年金方式的现金流是许多现实金融活动和产品的基础但是实际操作中在年 金的期限内金融市场会有很多的变化无论是投资者还是融资者都需要随时评估其已经进行的 投融资的价值在这种评估中很重要的是如何分析现金流中的内在价值本金和时间价值利 息一般的金融产品或活动的现金流很复杂本章以贷款业务为例介绍价值评估中常用的本金 利息分离方法这些方法是有一般意义的可以广泛的应用于各种现金流的分析特别强调以下两 种方法 1 摊还表方法amortization schedules指对未清偿债务本金和利息的定期支付实质上代表一 种定期分期偿还贷款的做法对此还有一些其它的用词 摊销将资产的账面价值按照费用的收益期进行分配 摊提指通过定期地从收入中提取费用逐步减少一项使用期有限的资产或无形资产成本值 的会计程序对固定资产用折旧depreciation一词对耗费性资产如自然资源用折耗一词 大多数公司遵循保守的做法通过摊提来冲销诸如商誉之类的无形资产对于在购买优先股或债券 投资中所支付的高出平价值的溢价部分也常常进行摊提其目的是反映转售价值或赎回价值摊 提也指通过定期的利息和本金偿付所进行的债务支付扣除在到期时足以还清一笔贷款长期固 定债务中的贴现与费用按事先确定的日程表提取适当比例的收入进行摊提通常摊提有顺序地进 行但也允许不按规定的时间和数量从收入或损失中提取费用对余留的贴现和费用额进行摊提这 些会计账务在公司年报中应详细给出 2 建立偿债基金方法sinking fund指借款人为偿还债务所成立的基金借款人会在指定期限内 分期拨款入基金累计起一笔足够款项以偿还未来到期的债款一般的债券发行多附有要求借款人 设立偿债基金的条款 同时本章围绕这两种方法产生的计算问题是 1如何确定投融资期间每个时刻的未结贷款余额 2如何将投融资期间的现金流分解为本金和利息两部分 3不同的本利分离方法对投资收益结果分析的影响 4 1 摊还表 在摊还表方法中很重要的是计算每次还款后的未结贷款余额这一节分为两部分讨论摊还表 方法 第四章 2 2 4 1 1 计算未结贷款余额 Outstanding loan balance 这个量从文字表述上也可以称为未结本金未付余额剩余贷款债务等它的实际背 景是在贷款业务中每次分期还款后借款人的未偿还的债务在当时的价值例如某家庭现有 一个三十年的住房抵押贷款的分期还贷款在已经付款 12 年后因为意外的一笔收入希望一次 将余款付清应付多少在固定收益投资中投资期间的每个时刻投资的账面价值 计算这个量的常用方法有两种预期法prospective和追溯法retrospective顾名思义前 者是用剩余的所有分期付款现值的和表示每个时刻的贷款余额后者是用原始贷款额的累积值扣除 所有已付款项的累积值表示每个时刻的贷款余额可以证明两种方法的结果是一致的 这种计算贷款余额的方法的基本思想可以用下面的一组等式表示 首先在贷款之初有 贷款额 今后所有还款的现值之和 然后将上式的两边同时累积到还款期间的某个时刻则有 原始贷款额的终值 所有分期还款在这个时刻的价值之和 其中等式右边又可以分成两部分过去的还款和未来的还款这两部分的价值计算是不同的前 者的价值为现值后者的价值为终值因此上式又可以表示为 原始贷款额的终值 过去还款的终值 未来还款的现值 如果将上式右边的第一项移到左边则新等式的右边表示预期法左边表示追溯法 这里仍采用前面的记号进行计算用 t B表示时刻t的未结贷款余额为了区别所采用的计算方 法分别用 p t B和 r t B表示预期算法和追溯算法的结果原始贷款金额 0 B一般用L表示两种方法 在实际应用中并没有明显的优劣之分一般情况下如果所有的还款额和还款时间已知则采用预 期法如果还款次数未定或最后一次的还款金额未定则采用追溯法下面考虑一些特殊还贷情况 下的未结贷款余额的计算 1 还贷金额固定贷款利率为in次偿还每次 1 元 对任意的时刻tt 012 n t B表示第t次还款后瞬间的未结贷款余额 预期法 p t B itn a 4 1 1 追溯法因为这时的原始贷款额L等于 in a 所以有 r t B t in ia 1 it s 4 1 2 结论4 1 1预期法和追溯法计算得到的未结贷款余额是相同的即 p t B r t B 2还贷金额固定贷款利率为in次偿还每次 1 元那么未结贷款余额有如下递推关系 第四章 3 3 1 1 1 tt Bi B 证明 1 t in ia 1 it s t n i i v 1 1 it s itn a 2根据4 1 1和4 1 2可得结论这里不再详细证明 证毕 已知贷款金额设原始贷款金额为L贷款贷利率为in次还清首先计算每次的还款额R R in a L 或 R in a L 那么对任意的时刻tt 012 n则有 预期法 nti p t ntin ti nini a L BRaaL aa 4 1 3 追溯法 r t B 1 in it t a s iL 4 1 4 例 4 1 某贷款的还贷方式为前五年每半年还 2000 元后五年每半年还 1000 元如果半年 换算的挂牌利率为 10 分别用预期法和追溯法计算第五次还贷后的贷款余额 解1 预期法 p B5 2000 05 5 a 1000 5 05 10 va 1000 05 15 a 05 5 a 14 709 2 追溯法 需要先计算原始贷款金额L L 1000 05 20 a 05 10 a 20 184 r B5 20184 5 05 1 2000 05 5 s 14 709 例 4 2 某三十年的贷款每年还 1000 元 在第十五年的正常还款之后 借款人再一次多还 2000 元如果将其全部用于扣除贷款余额剩余的余额分十二年等额还清年利率 9 计算后十二年 的年还款额 解 首先用预期法计算第十五次还款后的贷款余额 p t B 1000 09 15 a 8060 70 因为同时还了 2000 元所以实际贷款余额变成 6060 70 元因此后十二年的年还款额X应满 足以下方程 09 12 Xa 6060 70 即 X 846 38 元大致降低了 15 4 第四章 4 4 4 1 2 摊还表 在上面例 4 2 中的提前还贷对贷款方投资的收益是很有影响的原投资计划是 30 年每 年收益 9 提前还贷后一方面2000 元的还款要寻找 15 年 9 的投资机会另一方面还款期 提前了 3 年也给投资人带来了再投资的风险如何处理这类问题就是摊还方法要回答的在有 些情况中也希望将每次的还款额分解为还本金和还利息两部分这样作对借贷双方都是 有意义的比如有些情况下本金和利息的税收是不一样的 摊还方法的基本原理是贷款的分期还款中利息偿还优先首先偿还应计利息余下的部分作 为本金偿还具体表示为若还款额R利息 t I本金 t P t B表示第t次还款后瞬间的未结贷款 余额则有 首先 1tt IiB 然后 tt PRI 这样将保证以下两种计算贷款余额的方法等价 1 1 1 tt Bi B 和 1ttt BBP 这表明 t P只是在不断的减少贷款余额本金与利息无关 所谓的摊还表就是将还贷期间的每次还款分解为还本金和付利息同时列出每次还款后的未 结贷款余额下面的表 4 1 即为贷款利率为i每次还款 1 元共计n次的贷款模式下的摊还表这 时的贷款额为 in a 表 4 1 in a 摊还表 时间t 还款额 利息 t I 本金 t P 未结贷款余额 t B 0 in a 1 1 i in a 1 n v n v in a 1 2 1 i in a 1 1 1 n v 1 n v in a 2 t 1 i itn a 1 1 1 tn v 1 tn v itn a n 1 1 i i a 2 1 2 v 2 v i a 1 n 1 i i a 1 1v v 0 第四章 5 5 总和 n n in a in a 从表 4 1 可以看出以下几点 1在第一次还款的 1 元中利息部分为i in a 1 n v 本金部分为 n v可以直接将未结贷款余 额理解为原贷款扣除已还的本金即 1 B in a n v in a 1 同样地对任意时刻t也有类似的结论即时刻tt 012 n的 1 元还款可以 分解为利息量 t I和本金量 t P两者的计算公式分别为 t I 1 1 tn v t 12 n 4 1 5 t P 1 tn v t 12 n 4 1 6 因此未结贷款余额为 t B 1 t B t P t 12 n 4 1 7 显然这与前面的定义是一致的 2所有本金之和等于原始贷款即 11 1 1 n n t n tn n t avvP 3所有利息之和等于还款额总和与原始贷款额之差即 n t n t PnI 11 4本金序列依时间顺序构成递增的等比级数比值为 1 i 1 1 1 1 tt Pi P tn K 5利息序列依时间顺序构成递减数列 1 1 1 ttt IIiP tn K 或 1 1 1 tt t II i tn P K 以上两条意味着在等额还款方式下前期的还款主要用于偿还利息多贷款本金余额的 降低幅度不大 表 4 1 虽然是一种特殊贷款的摊还表但它有很多的用途利用它可以很容易地计算一般情况 下贷款的摊还表例如 1每次还款额为R则有 t I R 1 1 tn v t 12 n 4 1 8 t P R 1 tn v t 12 n 4 1 9 因此未结贷款余额为 第四章 6 6 t B R itn a t 12 n 4 1 10 2原始贷款额为L那么每次的还款额R为 R in a L 进而有摊还表的对应计算 t I in a L 1 1 tn v t 12 n 4 1 11 t P in a L 1 tn v t 12 n 4 1 12 因此未结贷款余额为 t B in itn a a L t 12 n 4 1 13 在实际摊还表的计算中常常采用下面这组递推公式 0 B L t I i 1 t B t 12 n 4 1 14 t P R t I t 12 n 4 1 15 t B 1 t B t P t 12 n 4 1 16 例4 3 表 4 2 为 1000 元贷款利率 8 的四年还贷摊还表 表 4 2 年利率 8 的 1000 元贷款摊还表 年份 还款额 利息 本金 未结贷款余额 0 1000 1 301 92 80 00 221 92 778 08 2 301 92 62 25 239 67 538 41 3 301 92 43 07 258 85 279 56 4 301 92 22 36 279 56 0 例4 4 续例 4 2 如果在例 4 2 的条件中去掉如果将其全部用于扣除贷款余额这个条件 用摊还的思想计算设 2000 元额外还款中的本金和利息部分分别为P和I则有 2000PI 和 8080 70 9 IP 进一步有 8080 702000 9 502 08 19 I 和 2000502 081497 92P 实际贷款余额为 6582 78 元因此后十二年的年还款额X应满足以下方程 第四章 7 7 09 12 Xa 6582 78 即X 919 29 元大致降低了 8 1 下降幅度近似为原算法的一半 例 4 5 现有 1000 元贷款通过每季度还款 100 元偿还已知季换算挂牌利率 16 计算第四次 还款中的本金量和利息量 解 第三次还款后的未结贷款余额为 r B3 1000 3 04 1 100 04 3 s 812 70 因此有 4 I 04812 70 32 51 4 P 100 32 51 67 49 注意这里不必计算最后一次还款的金额 例 4 6 甲从乙处借款 10 000 元双方商定以季挂牌利率 8 分六年按季度还清但是在第二 年底第八次还款之后乙将未到期的贷款权益转卖给丙但乙丙双方商定的季挂牌利率为 10 分别计算丙和乙的利息总收入 解 首先计算这六年中的每次还款额 9139 18 000 10000 10 02 24 a 528 71 1丙的利息总收入丙的买价为 528 71 025 16 a 528 71 13 0550 6902 31 因此丙在后四年的利息收入总和为 16 528 71 6902 31 8459 36 6902 31 1557 05 2乙的利息总收入这里有两种算法 a 乙在第二年底的未结贷款余额为 528 71 02 16 a 528 71 13 5777 7178 67 所以乙在前两年收回的本金为 10 000 7178 67 2821 33 乙在前两年的总收入为 8 528 71 4229 68 因此乙在前两年的利息总收入为 4229 68 2821 33 1408 35 b 乙在这笔贷款中的总收入为 8 528 71 6902 31 11131 99 总支出为 10 000 元利息收入为1131 9 元 例 4 7 现有年收益率为i的n年投资每年底收回 1 元但是在第二年内的实际收益率为j 且有j i 在以下两种情况下计算第二年以后的年收入1第三年开始的年收益率仍然为i 2第三年开始的年收益率保持j 解 已知 0 B in a 第一年底的未结贷款余额为 1 B in a 1 设所求年收入为X 1 2 B 1 j in a 1 X 另外 2 B还等于从第三年开始的所有还款的现值之和 2 B X in a 2 第四章 8 8 因此有 1 j in a 1 X X in a 2 1 j in a 1 X 1 in a 2 X in a 1 33 P 13312 1 11 1 n R 即 33 P 3 P 3012 1 11 1 3 P 5 2 11 1 1298 10 其次考虑偿债基金表计算这时有三个时间周期1贷款利息换算周期2偿债基金存款周 期3偿债基金的利息换算周期因为偿债基金表应该以表现偿债基金的累积过程为主要目的 所以这种情况下的偿债基金表是以偿债基金的利息换算周期为时间间隔的即偿债基金表中应 该列出偿债基金每次利息换算时的还款金额应付利息偿债基金存款额偿债基金余额和未结贷 款余额 例 4 9 某人借款 2000 元年利率 10 两年内还清借款人以偿债基金方式还款每半年向偿 债基金存款一次而且存款利率为季挂牌利率 8 试构造此时的偿债基金表 解 这里的贷款利率换算期为一年 偿债基金的存款周期为半年 偿债基金利率换算期为一个季 度所以按照季度来构造偿债基金表设偿债基金的存款额为D应该满足 D 02 2 02 8 s s 2000 则有D 2000 02 8 02 2 s s 2000 2 02 8 5830 470 70进而有如下的偿债基金表 表 4 7 例 4 9 的偿债基金表 年份 付利息 偿债基金的存款额 偿债基金的利息 偿债基金的余额 净贷款额 0 4 1 0 0 0 0 2000 00 2 1 0 470 70 0 470 70 1529 30 第四章 16 16 4 3 0 0 9 41 480 11 1519 89 1 200 00 470 70 9 60 960 41 1039 59 1 4 1 0 0 19 21 979 62 1020 38 1 2 1 0 470 70 19 59 1469 91 530 09 1 4 3 0 0 29 40 1499 31 500 69 2 200 00 470 70 29 99 2000 00 0 4 3 2 金额变化的摊还表和偿债基金表 有时还款额不是固定不变的会随着时间的推移而变化这种情况下的摊还表和偿债基金表 仍然可以做只是相对复杂一些为了简化问题这里我们假定利息换算期和还款期相同设原始 贷款额为Ln次还款金额为 1 R 2 R n R则有 L t tv R 4 3 1 这时的摊还表和偿债基金表很难有一致的表达式但是根本的原理不变摊还的利息为前一时刻未 结贷款余额的应计利息偿债基金表中的利息为原始贷款的利息两种表中的本金均为还贷款额扣 除利息部分后的剩余部分具体有 1摊还表 0 B L t I i 1 t B t 12 n t P t R t I t 12 n 4 3 2 t B 1 t B t P t 12 n 注意 1 公式 4 3 2 的表述是依据计算顺序表达的 也就是说 在已知 确定Ln和 12 n R RRK 的情况下从第一次计利息 1 I开始逐步递推计算计算的顺序是 1tttt BIPB 2 公式4 3 2的计算结果可能会出现负数它表示还款额 t R不足以摊还这段时间的利息部分需 要从贷款余额中再提取一部分资金 t P用于还利息相应地这个时刻的未结贷款余额 t B 较前一个时刻的未结贷款余额 1 t B将有所增加增加的量为 t P 2偿债基金表设偿债基金的利率为j那么偿债基金每次的存款额为 t Ri L 由定义有 第四章 17 17 L 1 Ri L 1 1 n j 2 Ri L 2 1 n j n Ri L tn t jR 1 i L jn s 或 L jn tn t is jR 1 1 jn t t aji vR 1 j v 1 1 4 3 3 如果 t R 1上式退化为公式 4 2 5 如果i j上式退化为4 3 1同样地 t Ri L也可能为 负值它表示还款不足以向偿债基金存款反而要从未结贷款余额中提取一部分资金i L t R 用于支付本次的利息因此在这种情况下未结贷款余额的金额在增加或者说借款方的负债在 增加而偿债基金的余额没有增加 可以证明等额偿还贷款时无论是摊还表还是偿债基金都不会出现本金部分为负值的情况 例4 12 某人以年利率 5 借款分十年还清第一年还 200 元随后每次减少 10 元计算1 借款总额2第五次还款中本金与利息的金额3如果贷款利率为 6 借款人能够以年利率 5 累积偿债基金计算当初的借款总额 解 1 1 L 100 05 10 a 10 05 10 Da 100 7 7217 10 10 05 10 a 05 1227 83 2 p B4 100 05 6 a 10 05 6 Da 5 I i p B4 100 1 v6 10 6 05 6 a 34 62 5 P 5 R 5 I 160 00 34 62 125 38 3用公式4 3 3有 L 05 06 1 05 10 1 a L 1139 82 显然3的结果与 1相比对借款人不利因为借款利率提高了而且偿债基金不能抵消这部分 提高的利率实际上在 3中只有将i和j都调到 5 才能与 1的结果相同 例4 13 甲方向乙方借款 10 000 元分十次还清每次的还款金额以 20 的比例递增年利率 10 计算摊还表中前三年还款的本金部分之和 解 如果用 1 R表示首次的还款金额则有 10000 1 R 2 1 1 1 2 1 1 10 即 1 R 10000 13 87182 720 89 进而有前三年的摊还计算 第一年底 1 I i 0 B 1000 00 1 P 1 R 1 I 279 11 即 1 B 0 B 1 P 10279 11 第二年底 2 I i 1 B 1027 91 2 R 1 2 1 R 865 07 2 P 865 071027 91 162 84 第四章 18 18 即 2 B 10441 95 第三年底 3 I i 2 B 1044 20 3 R 1 2 2 R 1038 08 3 P 6 12即 3 B 10448 07 因此有 1 P 2 P 3 P 448 07 另外有 1 P 2 P 3 P 0 B 3 B 4 3 3连续摊还计算 如果将表 4 6 中的m充分加大即还款变成连续方式对应地也可以考虑连续摊还计算 这种讨论大多是从理论方面考虑的 1 n a的摊还计算即连续还款率为 1连续利率为 则有任意时刻t对应的未结贷款余额 为 t B tn a nt 0 4 3 4 和 t B tn t sae nt 0 4 3 5 如果分别用 t P和 t I表示t时刻的本金和利息则由定义有 t I t B nt 0 4 3 6 t P 1 t B nt 0 4 3 7 由定义4 3 4可以证明 tt t PB dt dB 1 4 3 8 即未结贷款余额的瞬间减少量等于瞬间的本金支付量另外由4 3 7有 dt dB dt dP tt 所以 t t dt dP P 即 t P t ce 4 3 9 利用 n tdt P 0 n a 可以得到 n ec 即 t P tn e 4 3 10 2 一般的情形时刻t的还款函数用 t R表示则有 第四章 19 19 L 0 B n t t dtRv 0 n t t dtRe 0 4 3 11 进而有 p t B n t s ts dsRv n t s ts dsRe 4 3 12 和 r t B 0 B t i 1 t s st dsRi 0 1 0 B t e t s st dsRe 0 4 3 13 这时 t I的计算仍然用公式4 3 6而 t P的计算为 t P t R t B 4 3 14 实际上由定义4 3 12 可以证明 dt dBt t B t R t P 4 3 15 例4 14 设 与 是两个常数连续利率对应的年金现值函数分别记为 n a和 n a 证明 n tn n tn dtatdtat 0 0 exp exp 解 利用 tn a 的表达式很快得到上式两边都可以表示为以下二重积分 n t drdtrt 0 0 exp 4 4 实例分析 4 4 1贷款利率依余额变化 贷款额L每次的等额还款为R事先给定的一个限额L 0 L j如何计算R 我们知道一般情况下未结贷款余额是随着时间的推移而逐渐减少的从L减为 0所以这 里的关键是要找到未结贷款余额小于或等于L 的时刻或称转折点 记为m它是满足以下条件的最 早时刻 LBm 实际上在这种约定下 t B的递推表示为 第四章 20 20 111 111 LBiBRB LBLBjLiRB B ttt ttt t 在时刻m用预测法时刻m之后的利率为i有 p m B imn Ra 用追溯法时刻m之前小于L 部分利率为i超过L 的部分利率为j有 r m B jmjm RssLiLjLL 1 进而有 jmimn jm sa sLiLjLL R 1 上式仍然需要m已知转折时刻的近似计算可以利用下面的不等式得到 imn jm s a L LL 4 4 1 例4 15 现有 3000 元贷款计划在一年内逐月还清当余额低于 1000 元时月利率 1 5 当余 额超过 1000 元时超过部分的月利率 1 计算月还款金额 解 L 3000 L 1000 n 12 i 015 j 01先计算m 015 12 01 2 m m s a 满足上式的最小整数为 9进而有 R 270 98545 最终完整的摊还表为下面的表 4 7近似到小数点后五位 表 4 7 例 4 13 的摊还表 月份 还款金额 还利息量 还本金量 未结贷款余额 0 3000 00000 1 270 98545 35 00000 235 98545 2764 01455 2 270 98545 32 64015 238 34530 2525 66925 3 270 98545 30 25669 240 72876 2284 94049 4 270 98545 27 84940 243 13605 2041 80445 5 270 98545 25 41804 245 56741 1796 23704 6 270 98545 22 96237 248 02308 1548 21396 7 270 98545 20 48214 250 50331 1297 71065 8 270 98545 17 97711 253 00834 1044 70231 9 270 98545 15 44702 255 53843 789 16388 第四章 21 21 10 270 98545 11 83746 259 14799 530 01589 11 270 98545 7 95024 263 03521 266 98068 12 270 98545 4 00471 266 98074 0 000006 4 4 2 确定的本金偿还方式下的摊还计算 对一般的贷款L还款现金流 1 n RRK本金的偿还方式给定 1 n PPK可以证明对任 意的利率水平j有 1 1 1 n k kkjj k LPIvvj 只要 0 1 1 kk kkk BL IjB BBP 这意味着对任意的本金偿还流也可以构造摊还计算 例4 16 设贷款额为L利率i还款现金流 1 n RRK利息部分的税率r因此还款流的实 际净值为 11 nn RrIRrI K可以证明在这种情况下实际贷款利率为 1 ir 证明 方法一直观上看若用 1 n PPK表示税前的本金摊还流则还款流为 1 tttt RrIPr I 因此在税后仍然有 1 1 1 1 n k kk k LPIvvr i 其中 11 1 kkkkk Ir iBBBP 方法二直接证明下面等式 1 1 1 1 n k kk k LRrIvvir 4 4 3其它实例 例4 17 已知甲乙双方的借款协议如下最初甲向乙借款L元利率 12 然后甲以金额 100 100 元1000 元和 1000 元分四年偿还同时乙同意甲每年只还利息到期还本金甲以年利率 8 第四章 22 22 累积偿债基金计算L的可能值 解 由偿债基金的定义偿债基金的四次存款金额分别为 100 12L100 12L1000 12L和 1000 12L则有 100 12L 08 4 s 900 08 2 s L 或 08 4 08 208 4 12 0 1 900100 s ss L 1507 47 但是 上面的算法显然有问题 直观地看 前两年的还款金额不足以还当年的利息 只要L 100 12 833 33也就是说前两年不可能向偿债基金存钱反而要从原贷款L中提取一部分除了 100 元外来付利息若用L表示真正的原始贷款金额则有 12 2 2 2 100 12 1 sLBr 1 2544L 212 而实际上 r B2才代表甲方在此时的贷款余额也正是从这个时刻开始甲方才真正向偿债基金存款 所以后两年的偿债基金应该是为最终一次还清 r B2而建立的即 r B2 1000 12 r B2 08 2 s 或 r B2 1000 08 2 08 2 12 1s s 1664 53 进而有 L r B2212 1 2544 1495 96 L 即按照双方商定的方式还贷款甲最多可以从乙方借款 1495 96 元 例 4 18 九年前某家庭从银行得到为期二十年的八万元抵押贷款年利率 8 逐年还贷第 9 次还款时他们希望一次多付出五千元然后将余额在今后九年内等额还清试对以下两种情况计 算后九年的年还款额1银行同意过去九年的利率不变但是后九年的利率将提高为 9 2银 行坚持将该抵押贷款的利率提高到 9 解 设R表示所求的年还款金额 1当