波动能量的传播.pdf

1 一波动能量的传播一波动能量的传播 当机械波在媒质中传播时 媒质中各质点均在 其平衡位置附近振动 因而具有振动动能 当机械波在媒质中传播时 媒质中各质点均在 其平衡位置附近振动 因而具有振动动能 同时 介质发生弹性形变 因而具有弹性势能同时 介质发生弹性形变 因而具有弹性势能 x x O xd xO y yyd 以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播 2 3 波的能量 能流密度波的能量 能流密度 22 k d 2 1 d 2 1 dvvVmW cos u x tAy sin u v x tA t y 振动动能振动动能 sind 2 1 d 222 k u x tVAW x x O xd xO y yyd 2 P d 2 1 dykW 杨氏模量杨氏模量 l l E S F E u sin u x tA ux y x SE k d sind 2 1 222 u x tVA 22 d d d 2 1 x y Vu 2 2 P d d d 2 1 d 2 1 d x y xESykW 弹性势能弹性势能 x x O xd x O y yyd l l ES F 体积元的总机械能体积元的总机械能 sindddd 222 pk u x tVAWWW sind 2 1 dd 222 pk u x tVAWW 讨 论讨 论 体积元在平衡位置时 动能 势能和总机械能 均最大 体积元在平衡位置时 动能 势能和总机械能 均最大 体积元的位移最大时 三者均为零体积元的位移最大时 三者均为零 1 在波动传播的媒质中 任一体积元的动能 势能 总机械能均随作周期性变化 且变化是 在波动传播的媒质中 任一体积元的动能 势能 总机械能均随作周期性变化 且变化是 同相位同相位的的 tx 2 任一体积元都在不断地接收和放出能量 即不断地传播能量 任一体积元都在不断地接收和放出能量 即不断地传播能量 任一体积元的机械能不守恒任一体积元的机械能不守恒 波动是能量传递的一种方式波动是能量传递的一种方式 sindd 222 u x tVAW 能量密度能量密度 单位体积介质中的波动能量 单位体积介质中的波动能量 sin d d 222 u x tA V W w 平均平均能量密度 能量密度在一个周期内的平均值能量密度 能量密度在一个周期内的平均值 22 0 2 1 d 1 Atw T w T 二 波的能流和能流密度二 波的能流和能流密度 能流 单位时间内垂直通过某一面积的能量能流 单位时间内垂直通过某一面积的能量 平均能流 平均能流 SuwP uw S P I 能流密度能流密度 波的强度波的强度 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流 I udt S u v uAI 22 2 1 2 例例 证明球面波的振幅 与离开其波源的距离成反比 并求球面简谐波的波函数 证明球面波的振幅 与离开其波源的距离成反比 并求球面简谐波的波函数 证证 介质无吸收 通过 两个球面的平均能流相等 介质无吸收 通过 两个球面的平均能流相等 1 s 2 s 1 r 2 r 1 2 2 1 r r A A cos 00 u r t r rA y 2211 uSuS 2 2 22 2 2 1 22 1 4 2 1 4 2 1 ruAruA 即 式中为离开波源的距离 为处的振幅 即 式中为离开波源的距离 为处的振幅 r 0 rr 0 A 球面波球面波 平面波平面波 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波 的波源 而在其后的任意时刻 这些子波的包络就是 新的波前 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波 的波源 而在其后的任意时刻 这些子波的包络就是 新的波前 一惠更斯原理一惠更斯原理 O 1 R 2 R tu 2 4 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射波的衍射 水波通过狭缝后的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时 能绕过障碍物 的边缘 在障碍物的阴影区内继续传播 水波通过狭缝后的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时 能绕过障碍物 的边缘 在障碍物的阴影区内继续传播 二 波的衍射二 波的衍射 N 界面界面 三 波的反射和折射三 波的反射和折射 R N 界面界面 I i i r L 用惠更斯原理证明用惠更斯原理证明 2 1 反射线 入射线和界面 的法线在同一平面内 反射线 入射线和界面 的法线在同一平面内 ii 反射定律反射定律 ii i A1 A2 A3 B2B3B1 NN A I d 时刻时刻 t B2B3B1 NN A I B 32d d 3d L i i i 时刻时刻 t t 波的折射波的折射 用惠更斯原理证明用惠更斯原理证明 时刻时刻 t ii i A1 A2 A3 B2B3B1 NN A I d 1 折射线 入射线和界 面的法线在同一平面内 折射线 入射线和界 面的法线在同一平面内 2 1 sin sin u u r i 2 N 界面界面 R N 界面界面 I i i r L 时刻时刻 t t B2B3B1 NN A I rrB R r ii i A1 A2 A3 B2B3B1 NN A I d 时刻时刻 t时刻时刻 t t tuBA 133 tuAB 2 B2B3B1 NN A I rrB R r iABA 33 rABB 3 2 133 sin sin u u AB BA r i 所以所以 3 一波的叠加原理一波的叠加原理 几列波相遇之后 仍然保持它们各自原有的特征 频 几列波相遇之后 仍然保持它们各自原有的特征 频率率率 波长 振幅 振动方向等 不变 并按照原来 的方向继续前进 好象没有遇到过其他波一样 率 波长 振幅 振动方向等 不变 并按照原来 的方向继续前进 好象没有遇到过其他波一样 在相遇区域内任一点的振动 为各列波单独存在 时在该点所引起的振动位移的矢量和 在相遇区域内任一点的振动 为各列波单独存在 时在该点所引起的振动位移的矢量和 2 5 波的干涉波的干涉 频率相同 振动方向平行 相位相同或相位 差恒定的两列波 相遇时 使某些 地方振动始终加 强 而使另一些 地方振动始终减 弱的现象 称为 频率相同 振动方向平行 相位相同或相位 差恒定的两列波 相遇时 使某些 地方振动始终加 强 而使另一些 地方振动始终减 弱的现象 称为 波的干涉现象波的干涉现象 二波的干涉二波的干涉 1 s 2 s P 1 r 2 r 波源振动波源振动 cos 111 tAy cos 222 tAy 2cos 1 111 r tAy p 2cos 2 222 r tAy p 点点P 的两个分振动的两个分振动 1 频率相同 频率相同 2 振动方向平行 振动方向平行 3 相位相同或相位差恒定相位相同或相位差恒定 波的相干条件波的相干条件 cos 21 tAyyy ppp 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin tan 1 22 1 11 2 22 1 11 r A r A r A r A cos2 21 2 2 2 1 AAAAA 1 s 2 s P 1 r 2 r 2cos 1 111 r tAy p 2cos 2 222 r tAy p 点点P 的两个分振动的两个分振动 12 12 2 rr 常量常量 讨 论讨 论 1 合振动的振幅 波的强度 在空间各点的分 布随位置而变 但是稳定的 合振动的振幅 波的强度 在空间各点的分 布随位置而变 但是稳定的 L 2 1 0 2 kk L 2 1 0 12 kk 2121 AAAAA 其他其他 21 AAA 振动始终振动始终加强加强 21 AAA 振动始终振动始终减弱减弱 2 cos2 21 2 2 2 1 AAAAA 12 12 2 rr 波程差波程差 12 rr 若则若则21 2 21 AAA 振动始终振动始终减弱减弱 21 AAA 振动始终振动始终加强加强 L 2 1 0 21 kk 2121 AAAAA 其他其他 L 2 1 0 kk 3 讨 论讨 论 cos2 21 2 2 2 1 AAAAA 12 12 2 rr 4 例例 如图所示 如图所示 A B 两点为同一介质中两相干波 源 两点为同一介质中两相干波 源 其振幅皆为其振幅皆为5cm 频率皆为 频率皆为100Hz 但当点 但当点 A 为波 峰时 点 为波 峰时 点B 适为波谷适为波谷 设波速为设波速为10m s 试写出由 试写出由A B 发出的两列波传到点发出的两列波传到点P 时干涉的结果时干涉的结果 解解 15m 20m A B P m25m2015 22 BP m10 0m 100 10 u 设设 A 的相位较的相位较 B 超 前 则 超 前 则 BA 201 1 0 1525 2 2 APBP AB 点点P 合振幅合振幅 0 21 AAA 一驻波的产生一驻波的产生 振幅都相同的两列相干波 在同一直线上沿振幅都相同的两列相干波 在同一直线上沿相反相反方向 传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象 具有一系列波腹 振幅最大 和波节 振幅为零 方向 传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象 具有一系列波腹 振幅最大 和波节 振幅为零 2 6 驻波 半波损失驻波 半波损失 驻 波 的 形 成驻 波 的 形 成 驻波的振幅 与位置有关 驻波的振幅 与位置有关 t x A 2cos 2cos2 二 驻波方程二 驻波方程 2cos 1 x tAy 正向正向 2cos 2 x tAy 负向负向 21 yyy 各质点都在作同 频率的简谐运动 各质点都在作同 频率的简谐运动 2cos 2cos x tA x tA t x Ay 2cos 2cos2 驻波方程驻波方程 讨论讨论 x 2cos L 2 1 0 2 kk x L 2 1 0 2 1 2 kk x 1 0 x 波腹波腹 0 1 0 2 2 1 min AkkL 波节波节 AAkk2 1 0 2 max L 相邻相邻波腹 节 波腹 节 间距间距2 4 相邻波相邻波腹腹和波和波节节间距间距 1 振幅随振幅随x而异 与时间无关而异 与时间无关 x A 2cos2 2 相邻两波节之间质点振动同相位 任一波节 两侧振动相位相反 在 相邻两波节之间质点振动同相位 任一波节 两侧振动相位相反 在波节波节处产生的处产生的相位跃变相位跃变