圆压轴八大模型题(2)-切割线互垂.doc

圆压轴题八大模型题（二）泸州市七中佳德学校 易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型2 切割线互垂在RtABC中，点E是斜边AB上一点，以EB为直径的O与AC相切于点D，与BC相交于点F.图(3)图(2)图(1)(3)AC=32，AE=10，求r.(4)ABD=CBD.(5)DB2=BCBE;(6)AD2=AEAB.(1)AD=20,AE=10,求r;(2)AB=40,BC=24,求r.【分析】(1)在RtADO中，(10+r)2=r2+202,得r=15.(2)由DOBC,得,得：r=15.(3)在RtADO中，AD=，DO=r，AO=10+r，由DOBC，得，r=15.(4)连结DO,DO=BO,ODB=OBD;由DOBC得CBD=ODB,ABD=CBD.(5)由RtBCDRtBDE得BD2=BCBE.(6)由ADEABD得AD2=AEAB.图(6)图(5)图(4)(11)DC=12,CF=6,求CO上任意线段的长.(10)DC=12,CF=6,求r和BF.(7)DCFDGE;(8)DF2=CFBE;(9)AG:AC=1:2,BD=10.求r.【分析】(7)由EBD=FBD得DE=DF,DE=DF,又DFC=DEG,C=DGE=90得DCFDGE.(8)由CDFDBE得,且DE=DF,DF2=CFBE.(9)由ADGABC得AG:AC=DG:BC=1:2,设DG=k,则DC=DG=k,BC=2k,DB=k=10,k=2,BG=BC=2k=4,由RtDBGRtEBD得DB2=GBEB,102=4EB, EB=5,r=. (10)C=CFG=CDG=90得矩形DGFC,DG=CF=6,DC=GF=GE=12,在RtGEO中，GO2+EG2=EO2,(r-6)2+122=r2.r=15.GO=15-6=9，由中位线定理得BF=2GO=18.(11)如图，在RtDCO中，CO=，GO=15-6=9,图a由D0CB得, ,PO=CO=.同理可得图中CO上其它线段的长度.【典例】（2018四川成都）如图，在RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.（1）求证：BC是O的切线；（2）设ABx，AFy，试用含x,y的代数式表示线段AD的长；（3）若BE8，sinB，求DG的长.（图2-1）【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；（2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sinAEFsinB，进而求出DG的长即可解：（1）证明：如图，连接OD，AD为BAC的角平分线，BADCAD，OAOD，ODAOAD，ODACAD，ODAC，图bC90，ODC90，ODBC，BC为圆O的切线；（2）连接DF，由（1）知BC为O的切线，FDCDAF，CDACFD，AFDADB，BADDAF，ABDADF，即，AD2ABAFxy，则AD（3）连接EF，在RtBOD中，sinB，设圆的半径为r，可得，解得：r5，AE10，AB18，AE是直径，AFEC90，EFBC，AEFB，sinAEF，AFAEsinAEF10，AFOD，即DGAD，AD，则DG.【点拨】利用直角三角形、相似三角形的边与边之间的和差倍分关系，勾股定理的关系，比例线段的关系等设元建方程求线段的长度；因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基本图形模型，如母子型相似，共边角相似，8字型相似，A字型相似等。当出现求线段的一部分，还要考虑用局部占总体的比例来求解。【变式运用】1.（2018泸州）如图，已知AB，CD是O的直径，过点C作O的切线交AB的延长线于点P，O的弦DE交AB于点F，且DFEF（1）求证：CO2OFOP；（2）连接EB交CD于点G，过点G作GHAB于点H，若PC4，PB4，求GH的长解：（1）证明：PC是O的切线，OCPC，PCO90，AB是直径，EFFD，（图2-2）ABED，OFDOCP90，FODCOP，OFDOCP，ODOC，OC2OFOP（2）解：如图作CMOP于M，连接EC、EO设OCOBr在RtPOC中，PC2OC2PO2，（4）2r2（r4）2，r2，CM，DC是直径，图f图cCEFEFMCMF90，四边形EFMC是矩形，EFCM，在RtOEF中，OF，EC2OF，ECOB，GHCM， GH2.（2018云南昆明）如图，AB是O的直径，ED切O于点C，AD交O于点F，AC平分BAD，连接BF（1）求证：ADED；（2）若CD4，AF2，求O的半径解：（1）证明：连接OC，如图，AC平分BAD，12，OAOC，13，（图2-3）23，OCAD，ED切O于点C，OCDE，ADED；（2）解：OC交BF于H，如图，AB为直径，AFB90，易得四边形CDFH为矩形，FHCD4，CHF90，图dOHBF，BHFH4，BF8，在RtABF中，AB2，O的半径为3.（2018江苏苏州）如图，AB是O的直径，点C在O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E延长DA交O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC（1）求证：CDCE；（2）若AEGE，求证：CEO是等腰直角三角形证明：（1）连接AC，CD是O的切线，（图2-4）OCCD，ADCD，DCOD90，ADOC，DACACO，OCOA，CAOACO，DACCAO，CEAB，CEA90，在CDA和CEA中，CDACEA（AAS），CDCE；（2）证法一：连接BC，CDACEA，DCAECA，CEAG，AEEG，CACG，图eECAECG，AB是O的直径，ACB90，CEAB，ACEB，BF，FACEDCAECG，D90，DCFF90，FDCAACEECG22.5，AOC2F45，CEO是等腰直角三角形；证法二：设Fx，则AOC2F