最短路径问题（第二课时）.docVIP

最短路径问题教学设计 白衣阁乡第二中学 丁凤丽教学目标： 1.正确理解数学上的最短路径问题。 2.会用其解决生活中的实际问题，在实际问题和数学问题转化过程中体会数学的魅力所在。重点难点：重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.难点：实际问题向数学问题的转化过程教学资源：多媒体，作图工具学习过程分析： 学生已学习过 “两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”以及“三角形的第三边大于另两边之差，小于另两边之和”等内容，但他们运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。特别是在实际问题向数学问题的转化过程中，他们的数学思维要有质的飞跃。对于学生们来说若让他们单独的作数学题或者单独的解决实际问题也许会做，若让二者联系起来或者把实际问题转化数学问题，可就不好操作了。前几天我校的张老师在讲课时就遇到了这样的问题。她讲的课题是最佳方案的选择，移动公司给了几种套餐，让你结合实际情况选择一套最适合的，相信九年级的同学们单独看套餐能够选出最佳的，但把这个问题上升到函数问题，通过图像比较选择最佳，在这样的转化过程中同学们蒙了，一脸茫然，不知所措。为了磨课她在八年级又试了一节，当然没提函数这个名词，只说他们的关系就这样，他们反而能哇哇的说出来。鉴于这种情况我在设计学习过程时先从最简单的两点在直线的异侧时入手慢慢的过渡，然后到两点在直线的同侧，怎样把同侧转化为异侧，这又是一个小小的坎，最后上升到中考，在平面直角坐标系中或在几何图形中如何求最短路径。最后的能力提升又把问题提升到一个新的高度。整个学习过程有易到难层层推进环环相扣，让同学们的思维在不知不觉中得到升华。当然在学习过程中也培养了学生的探究精神和合作意识，能在亲身的经历体验中获取一定的数学新知识。下附学习过程设计： 学 习 过 程教 师 活 动学生活动一 复习引入已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。（连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。） 二探索新知如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 像这样我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，下面将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。问题 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：看图：从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马 问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么？（将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线 ）追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； BAlC（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图） 问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？追问1，对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？ 追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？ 师讲解做法： 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B； （2）连接AB，与直线l 相交于点C则点C 即为所求 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC追问1，,证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC+BC？这里的“C”的作用是什么？ 答：若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小 二、变式训练（中考连接）1.点A（0，1）和点B（4，3），在x轴上有一点C,使ABC的周长最小。请你确定点C的坐标是_。 MCA1xy2.E为边长是2的正方形ABCD的边BC的中点，在对角线AC上有一点M，BM+EM的最小值是_三、能力拓展如图，D是ABC内的一点，在AB上找一点E，在AC上找一点F，使EFD的周长最短. EEF学生思考学生思考，并在草稿纸上画图，看是否可以确定最短路线。学生在老师的引导下思考。学生在老师的引导下，尝试用轴对称来试试，看是否是最短距离。学生再尝试。学生思考学生思考，并尝试回答。师生一起完成证明。学生思考，回答教师提问。温馨提示：平面直角坐标系内找对称点时，坐标轴上点的对称点坐标比较好