离散型随机变量的分布列.doc

离散型随机变量的分布列一、例题1袋中有1个白球，2个红球，4个黑球现从中任取一球观察其颜色，确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及分布列解：设集合M=(x1，x2，x3)，其中x1为”取到的球为白色的球”，x2为”取到的球为红色的球”，x3为”取到的球为黑色的球”在本题中可规定：(xi)=i, (i=1，2，3)，即当试验结果x=xi时，随机变量(x)=i，这样，我们确定(x)是一个随机变量，它的自变量x的取值是集合M中的一个元素，即xM，而随机变量本身的取值则为1，2，3分别取1，2，3三个值的概率为P(=1)=，P(=2)=，P(=3)=. 的分布列为123P 说明：分布列的表示形式可有如下几种： 如教材所述的表格形式； 一组等式 (的所有取值的概率)； 有时可将压缩为一个带“i”的等式 2若离散型随机变量的分布列为：01P9c2c38c 试求出常数c 解：由离散型随机变量分布列的基本性质知 9c2c+38c=l， 09c2c1, 038c1, 解得常数c=，即的分布列为01P 说明：应熟悉分布列的两个基本性质：若随机变量的取值为x1，x2，xi，取这些值的概率为P(=xi)=Pi，i=1，2，则 pi0，i=1，2， P1+P2=1 3一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量的分布列 解：随机变量的可能取值为1，2，3 当=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P(=1)=； 当=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P(=2)= ； 当=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P(=3)= 因此，的分布列如表所示123P二、练习题 1袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（B） （A）取到的球的个数 （B）取到红球的个数 （C）至少取到一个红球 （D）至少取到一个红球的概率 提示：（A）的取值不具有随机性，（C）是一个事件而非随机变量，（D）是概率值而非随机变量，而（B）满足要求 2抛掷两颗骰子，所得点数之和记为，那么=4表示的随机试验结果是（D） （A）一颗是3点，一颗是1点 （B）两颗都是2点 （C）两颗都是4点 （D）一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 提示：对（A）、（B）中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而（D）是=4代表的所有试验结果掌握随机变量的取值与它刻划的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键 3下列表中能成为随机变量的分布列的是（C）101123P0.30.40.4P0.40.70.1 （A） （B）101123P0.30.40.3P0.20.40.5 （C） （D） 提示（A）、（D）不满足分布列的基本性质，（B）不满足分布列的基本性质，正确选择是（C） 4在三次独立重复试验中，若已知A至少出现一次的概率等于，则事件A在一次试验中出现的概率为 。 提示：=1(1p)3, P(A)=p=. 5设随机变量的分布列为P(=k)=，k=1，2，3，c为常数，则P(0.52.5)= 提示：1=c()=c, 故c=. 所以P(0.51)=，则 P(1)= 提示：=P(1)=1P(=0)=1(1p)2, 即(1p)2=, p=,故P(1)=1P(=0)=1(1p)4=1()4=.7一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列；（3） 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率解：（1）B(5, )，的分布列为P(=k)=，k=0，1，2，3，4，5； （2）的分布列为P(=k)=p(前k个是绿灯，第k+1个是红灯)=，k=0，1，2，3，4；P(=5)=P(5个均为绿灯)=；（3）所求概率=P(1)=1P(=0)=10.8683. 8设的分布列为P(=k)=，(k=0，1，2，10)，求： （1） a；（2） P(2)；（3） P(920)解：（1）由P(=0)P(=1)P(=10)=1，即=1，解得. （2）P(2)=P(=0)+P(=1)+P(=2)=. （3）P(920)=P(=10)=.三、思考题 设随机变量的概率分布如表所示：012P 求：（1） P(1)，P(1)，P(2)，P(2)； （2）F(x)=P(x)，xR 解：（1）P(1)=P(=0)=，P(1)=P(=0)P(=1)=， P(2)=P(1)=，P(2)=1； （2）F(x)=P(x)=. 四、备用题1将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（A） （A）两次掷得的点数 （B）两次掷得的点数之和 （C）两次掷得的最大点数 （D）第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差 提示：(A)两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，以后若学习了多维随机变量的知识就知道，它是一个二维随机变量2现有一大批种籽，其中优质良种占30，从中任取5粒，记为5粒中的优质良种粒数，则的分布列是P(=k)=，k=0，1，5 提示： B(5，0.3)，的分布列是P(=k)= ， k=0，1，5.3己知随机变量的分布列如下表所示，分别求出随机变量1=2+1；2=2的分布列。21012P 解：由于1=21对于不同的有不同的取值y=2x1，即 y12x11=5，y22x2l3，y3=2x31=1，y4=2x31=1，y5=2x51=5，故1的分布列如表 153115P2=2对于的不同的取值1与1取相同的值，故分布列如下：20149P 说明：在得到的随机变量的分布列中，取值行中应无重复数；概率行中各项必须非负，且各项之和为1 4将一颗骰子掷2次，求下列随机变量的概率分布 （1）两次掷出的最大点数1； （2）两次掷出的最小点数2； （3）第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差3。 解：（1）1=k包含两种情况，两次均为k点，或一个k点，另一个小于k点 放P(1=k)=，k=1，2，6. （2）2=k包含两种情况，两次均为k点，或一个k点，另一个大于k点故 P(