第一章 抽象群理论.doc

群论基础及其应用第一章 抽象群理论1.1 群的定义首先分析以下几个代数系统的性质（所谓代数系统是指，至少定义了一种运算的集合）例1.1 代数系统：，其中表示全体实数集合R的去零集合，表示数乘运算。该系统显然有下列性质：(a) 对都有；（运算的封闭性）(b) 唯一存在元素使得，有；（存在幺元素1）(c) 对唯一存在一个元素，使得；（存在逆元素）(d) 对都有。（运算的结合性）例1.2代数系统：，+表示数的和。该系统显然有下列性质：a) 对都有；（运算的封闭性）b) 唯一存在元素使得，有；（存在幺元素0）c) 对唯一存在一个元素，使得；（存在逆元素）d) 对都有。（运算的结合性）对于由全体整数构成的子系统也有相同的性质。例1.3代数系统：A，矩阵乘，其中容易验证该系统满足a) 运算在A上封闭（）；b) 存在幺元素E；c) 每个元素都有逆元素（）；d) 运算满足结合律。任何一个子系统，矩阵乘也有上述性质。例1.4代数系统：C，操作乘积，其中对平面向量旋转角度为零的操作（恒等操作）；：对平面向量旋转角度为90度的操作；：对平面向量旋转角度为180度的操作；：对平面向量旋转角度为270度的操作。两个操作的乘积AB表示先B后A的相继操作容易验证该系统满足a) 运算在C上封闭， b) 存在幺元素E；c) 每个元素都有逆元素；d) 运算显然满足结合律综合以上几个代数系统的共同特性，于是引入群的定义定义1.1：对于集合G，表示定义在集合上的某种二元运算（广义上统称为乘法），若代数系统满足下列性质：(1) 对都有；（闭合律，封闭律）；(2) 存在单位元素（幺元素），使得，有；(3) 对存在唯的一个元素，使得；（存在逆元素）；(4) 对都有。（结合律）则代数系统称为群（简记为G），群中元素的个数称为群的阶。注：今后为了书写的方便，我们将一律简写为ab。有限群：包含有限个元素的群；无限群：包含无穷多个元素的群；连续群：包含无限多个不可数元素的群；分立群：包含无限多个可数元素的群；再举几个群的例子：(1) 构成的二阶群；(2) 构成的四阶群；(3) （I全体整数的集合）构成的分立群；(4) 全体平面旋转操作，操作的乘积构成的连续群;(5) 全体n阶正交矩阵，矩阵乘法构成的分立群（）。阿贝群（交换群）：运算满足交换律的群。在上例中，除第五个群外，其余都是阿贝群。例1.5 设群，若对有： ，证明此群必为阿贝尔群。【证明】 任取，则有由题给条件知因而有亦即由此可见，每一个元素自逆的的群是一个阿贝尔群。对称群：一个系统（几何对象，物理系统等）的所有对称变换（操作）所构成的群。例1.6正方形的对称群Fig. 1.1 正方形的对称轴与对称平面正方形abcd一共有8个可能的对称变换：一个4重旋转对称轴O（垂直通过对称中心的轴）：、：分别表示绕O轴顺时针90、180、270度的旋转；四个对称平面x、y、m、n：对x面（线）的反射；：对y面（线）的反射；：对m面（线）的反射；：对n面（线）的反射。加上恒等变换E一共有8个对称操作。因此正方形的对称群为一个8阶群容易看出：a) 运算在上封闭（两个对称操作的积仍然是对程操作）；b) 有幺元素E；c) 每个元素有逆元素：，d) 满足结合律。循环群： 形如的群称n阶为循环群，a称为循环群的生成元。例如，例1.4中的旋转群就是一个4阶循环群。因为此群可以表示为（以为生成元）或（以为生成元）：1.2 有限群的基本性质1.2.1群的乘法表一个有限群可以用一个乘法表来表示，在乘法表中列出了群中任意两个元素相乘的结果。例1.7 列出洛伦兹二阶群SL(2)=A，矩阵乘的群乘表。其中该群的乘法表为表1.1 SL(2)群的乘法表EA1EEA1A1EA1a) 表中的每一行是第1列中的元素依次与第一行中的诸元素左边相乘的结果；b) 群中所有元素在每一行（列）中必须出现一次且仅能出现一次，也就是说，群乘表中每一行（列）是群中全体元素的一个排列。c) 任何两行（列）例1.8 列出正方形的对称群的群乘表。该群的乘法表为：表1.2群的乘法表EEEEEEEEEE通过以上两例可以看出，一个群的群乘表有以下重要性质：定理1.1（重排定理）：在一个群的乘法表中，群中所有元素在每一行（列）中必须出现且仅能出现一次；群乘表中任意两行（列）是群中全体元素的不同的排列。重排定理告诉我们，对于，G和aG是同一个集合，只不过排列顺序不同而已，于是有下列重要推论推论：设G为群，（）是定义在G上的函数。根据重排定理有：(1.1)1.2.2 元素的阶首先分析一个例子例1.9 由正方形的对称群的群乘表可以看出，群中每个元素有下列幂等关系：，此外我们注意到，以群中任何一个元素为生成元都可以得到一个循环群：由此，我们有下列定义和结论：定义1.2：设是n阶群，对，存在最小正整数m，使得，称m为元素的阶。有下列几点结论：(1) 由群G中一个m阶元素可以生成一个m阶的循环群；(2) 若一个n阶群中至少有一个n阶的元素，则此群必为n阶循环群。(3) 群的阶数与群中任何一个元素的阶数的商是一个整数； (4) 任何素数阶的群都是循环群。 1.2.3 元素的共轭定义1.3：设A、B是群G中的两个元素，若在群中存在一个元素，使得：（或：）(1.1)则称元素A是B的共轭元素。由(1.1)式又可得到（）也就是说，若A是B 的共轭元素，则B也是A的共轭元素，即共轭关系是相互的。共轭的性质：共轭是一种等价关系，满足a) 自反性。即群中任何一个元素都与自身共轭。事实上，对于，总有，使得：；b) 对称性。即若A是B 的共轭元素，则B也是A的共轭元素；c) 传递性。即若A与B共轭， B与C共轭，则A与C 共轭。事实上，对于，若有，使得： 则必有：（）1.2.4 共轭类（群的分类）我们知道，集合上的一种等价关系可以定义集合的一种划分，即将集合分割为若干个互不相交的子集合。元素的共轭是群上的一种等价关系，因此，它可以将群分割为若干个互不相交的子集合，每个子集称为一个共轭类或类。它的具体定义为：定义1.3：设G是群，对于元素，将群中所有与A共轭的元素组成的子集合称为元素A的一个共轭类（或称为群的一个类），记作：。关于类因该注意以下几点结论：a) 群中共轭的元素必在同一个类中（两个共轭元素的共轭类相同）；b) 群中不共轭的元素属于不同的类（非共轭元素的共轭类完全不同）；c) 群的任意两个相异类的交为零；d) 群的所有类的和（并）等于群；e) 第3、4条可以合并为一条：群的所有的类构成群的一个划分；f) 类与群中任何一个元素对易，即若是群G的一个类，则对有 或：； (1.2)证：(1) ，即；(2) 又设，则必存在使得，即。g) 同一类中的元素有相同的阶数。证：设，且。则。例1.10 表1.3给出了一个六阶群的群乘表，找出该群的所有的类。表1.3一个六阶群的乘法表EA1A2A3A4A5EEA1A2A3A4A5A1A1EA4A5A2A3A2A2A5EA4A3A1A3A3A4A5EA1A2A4A4A3A1A2A5EA5A5A2A3A1EA4解：(1) 由表中可以列出所有元素的逆元素(2) 由表中可以列出所有元素的共轭类幺元的共轭类：对于，都有，所以A1的共轭类：由此可见：，A4的共轭类：由此可见：，。综上所述，此群的全部类为，考察每一个类中各元素的阶数：，我们看出，同一个类中的元素的阶数相同（但反命题不一定成立）。注：用同样的方法还可以列出群的类为：，此外，我们还可以引入类的乘法，其定义为：定义1.4：设和为群G的两个类，则集合称为两个类的积。在类的积中，允许元素重复出现。显然，由于群上的运算满足结合律结合律，因此类的积也满足结合律。更一般地说，类的积的运算性质取决于群上的运算性质。例如，对于例1.10定义的群，有， 由此可见，群的两个类的积包含群的一个类或几个类。因此，可以把两个类的积表达为下列和的形式(1.3)系数为组合系数，代表第k个类在积中的重复次数，求和遍及群的所有的类（注意：此处的求和代表集合的并）。1.3 子群与商群1.3.1 子群的定义定义1.5：设是群，且也是群，则称是的子群。对于子群的判别可以简化为以下几个条件：(1) H是群G的子集合，即；(2) H对于运算的闭合性，即，有，；(3) H中每个元素的逆元素仍在H中，即，有。例如，在对于正方形的对称群，很容易看出、等都是子群。事实上，由群G中一个m阶元素可以生成一个m阶的循环子群。平凡子群：每个群都有两个平凡子群：幺元和群自身。1.3.2 陪集（旁系）定义1.6 设是群G的一个m阶子群。取元素但，则称集合为子群H关于X的左陪集，集合为子群H关于X的右陪集。（在一般情况下，）例1.11 已知为群的一个子群，列出该子群的所有左陪集。解：由群的乘法表可以列出H的所有左陪集如下：，稍加分析即可看出：a) H的任何一个左陪集（右陪集）与H没有共同元素；b) H的任何两个左陪集（右陪集）要么相等，要么没有共同元素。c)上述性质可以一般性的表述为：定理1.2 设H是群G的一个子群，则有：(1) 子群和它的任何一个陪集没有共同元素，即，对任意但有：（表示空集和）；(2) 子群的任何两个左陪集（右陪集）要么完全相同，要么完全不同，即，对任意但有：，或：，或：(3) 群G的子群H群与它的所有相异左（右）陪集定义群G的一个划分*。即若群G的子群H有k-1个相异左（右）陪集，则【证明】(1) 设，则存在，使得显然与条件矛盾，故结论(1)成立；(2)设，则存在，使得，于是由重排定理得到(3)设H共有k-1个不同的左陪集：根据陪集的性质有：令： 显然，又因为，对，有或，故。因此，由此可见。由陪集的性质，我们又可得到下列重要结论：定理1.3 设H是n阶群G的一个m阶子群，则有h=n/m必为一个整数，h称为子群的指数。【证明】设子群H共有k-1个不同的左陪集：，则有由于，由此得到n=km，可见k=n/m是一个整数。推论： 该定理的一个直接推论为：群的阶与任何元素的阶的商必为整数。【证明】设，且，则由A必可生成G的一个m阶循环子群由定理1.3得到k=n/m是一个整数。1.3.3 共轭子群前面引入了群中元素共轭的定义，在此进一步介绍子群共轭的概念。首先，证明下列结论。定理1.4 设H1是群G的一个子群，任取，令则H2也是G的子群，并称为H1的共轭子群（或称H1与H2共轭）。【证明】 (1) 显然，；(2) 令：，则：(a) 闭合性。对任意和，有(b) 每一元素存在逆元素。对任意，必有，使得：例1.12 已知，为群的一个子群，列出该子群的所有共轭子群。解：由群的乘法表可以列出H的共轭子群为：1.3.4 正规子群（自轭子群、不变子群）例1.13 已知，为群的一个子群，考察该子群的性质。解：由群的乘法表可以列出H的所有左、右陪集如下：，稍加分析即可看出：a) H的任何一个左陪集与对应的右陪集相等，即=；b) H除与自身共轭外，没有其它共轭子群，即对，有；c) 子群H可以表达为群的几个类的并，即：。定义1.7-1设是群G的一个子群。若对任意，有：，或：则称子群H为正规子群或不变子群。显然，正规子群除与自身共轭外，没有其它共轭子群，所以又称为自轭子群。定义1.7-2 正规子群的另一种定义为：设是群G的一个子群，若H可以表达为：其中是G群的类，则称H为G的正规子群。例如：、等都是群的正规子群；、等则是非正规子群。对于正规子群，还有下列两个性质定理1.5 (1) 不变子群的任何两个陪集的直积*仍然是该子群的陪集； (2) 不变子群与任何一个陪集的直积等于陪集自身。【证明】 (1) 设H是群G的不变子群，任取，有（） (2) 任取，有注：两个陪集的积定义为：第一陪集中的元素与第二陪集中的元素依次相乘得到的集合，但重复的元素只算一次。1.3.5 商群在此，我们将要说明，由一个群的正规子群以及它的所有陪集可以形成一个新的群，先看一个例子。例1.14 已知，为群的一个正规子群，它的所有的陪集为 ， 试证明代数系统K=，直积是一个群。【证明】(1) 封闭性。根据定理1.5第一条知道，有(2) 存在幺元素E=K1=H。根据定理1.5第二条知道，有(3) 每一元素有逆元素。事实上每一个元素都是自逆的，因为，(4) 直积（内积）满足结合律。事实上，对于任何正规子群都可以按照上述方法定义一个新的群。定理1.6 群G的任何一个正规子群H与该子群所有相异陪集组成一个集合，该集合在内积运算下构成一个群，称为G的相对于H的商群，记作：G/H。商群有下列性质：(1) 商群G/H的单位元素（幺元）为正规子群H；(2) 商群的阶数为正规子群的指数，即，若G的阶数为n，H的阶数为m，则G/H的阶数为n/m；(3) 商群G/H给出了群G的一个划分。即有事实上，由G群的任何一个子群H都可以导出G的一个划分，这个划分就是子群与其所有相异左陪集（右陪集）所组成的集合。由正规子群导出的划分就是商群G/H。1.4 群的同构与同态1.4.1 群的同构通俗地说，如果两个同阶的群，元素间有一一对应的关系，并且有相同的乘法表，那么就称这两个群是同构的。例1.15 已知, 都是群，列出它们的乘法表并加以比较（这两个群都是4价循环群）。解： 为便于比较，将H1群中各元素依次编号为，H2群中各元素依次编号为，容易列出两群的乘法表如下：H1群1i-1-iA1A2A3A41A1A1A2A3A4iA2A2A3A4A1-1A3A3A4A1A2-iA4A4A1A2A3H2群EC4C42C43B1B2B3B4EB1B1B2B3B4C4B2B2B3B4B1C42B3B3B4B1B2C43B4B4B1B2B3容易看出两个群之间有下列映射关系：(1) 两个群的元素有一一对应关系（双射：单元单值的映射f）：（），或：(j=1,2,3,4)(2) 两个群有相同的乘法表（乘法表中的每一项也有一一对应的关系），即，映射满足：或：数学上，将满足以上两条的两个群称为同构群，或称这两个群是同构的。同构的一般定义为定义1.8 设G和是两个群，若存在一一对应的映射f（双射、一元单值的映射），使得，有，则称G和同构，双射射f是一个同构的映射。值得指出的是：a) 两个群同构的要素是：两个群的元素有一一对应的关系，元素的运算也保持一一对应的关系；b) 两个群同构的特征是：两个同构的群有相似的乘法表；c) 两个同构的有限群有相同的阶数；d) 同构是群之间的一种等价关系，满足自反性、对称性、传递性；e) 在同构映射下，单位元被映射为单位元，两个互逆的元素映射为两个互逆的元素，即如果原像是互逆的，则像也是互逆的。(因为运算关系不变)例1.16 指出所有子群的同构关系。解： 此群的各阶子群如下：(1) 五个相互同构的二阶子群（二阶阿贝尔群）：它们的乘法表可以统一表示为：A1A2A1A1A2A2A1A2(2) 三个四阶正规子群：其中同构(阿贝尔群)，群乘表可统一表示为A1A2A3A4A1A1A2A3A4A2A2A1A4A3A3A3A4A1A2A4A4A3A2A1的乘法表则为（循环群）A1A2A3A4A1A1A2A3A4A2A2A3A4A1A3A3A4A1A2A4A4A1A2A31.4.2 群的同态对于两个同阶的有限群，可以作结构的比较（同构或非同构）；对于两个不同阶的有限群，也可以作类似的结构比较，从而有同态和非同态的概念。首先看一个例子例1.17 比较下列两个群的结构：解：为便于比较，将G群中各元素依次编号为，群中各元素依次编号为，容易列出两群的乘法表如下： 群GA1A2A3A4A1A1A2A3A4A2A2A1A4A3A3A3A4A1A2A4A4A3A2A1群B1B2B1B1B2B2B1B2容易看出两个群之间有下列2对1的映射关系：(1)，；(2) ，有；事实上：当取1或2时有，当取3或4时，当i取1或2，j取3或4时，数学上，将满足以上两条的两个群称为同态于G。由此例可以看出，G群的乘法表在分块结构上与的乘法表相似。为了更深入地理解同态的概念，可以研究G群一个商群。为此，取G群的一个不变子群为，该子群只有一个陪集。因此，G的关于H的商群为其乘法表为群G/HC1C2C1C1C2C2C1C2很显然，G/H与同构。因此，可以推测，若G在一个n对一映射下同态于，则必然可以在G中找到一个n阶不变子群H，使得商群G/H与同构。反之，G的一个与同构的商群G/H决定G到一个同态映射。综上所述，我们将同态的概念一般性的表述为：定义1.9设G和是两个群，若从G到存在一个n对一的映射f（多元单值映射），使得，有，则称G同态于，映射f称为G到同态映射值得指出的是：a) 同构与同态的区别是：同构的两个群的元素有一一对应的关系，同态的两个群的元素有多对一的对应关系；b) 两个同态群的乘法表的特征是：原像群的乘法表在分块结构上与像群的乘法表相似；c) 在同态映射下，单位元被映射为单位元，两个互逆的元素映射为两个互逆的元素逆元。d) 若G在一个n对一映射下同态于，则必然可以在G中找到一个n阶不变子群H（同态核），使得商群G/H与同构。反之，G的一个与同构的商群G/H决定G到一个同态映射。1.4.3 有限群的结构在实际应用中，许多同构的群可能代表不同的物理状况。但从数学角度看，彼此同构的群具有相同的解析结构（群乘表，数学表征等）。因此，对于多个同构的群， 我们只要了解其中一个的数学结构，就可以了解所有与之同构的群的结构。对于有限群，特别是低阶的有限群，我们可以从群的阶推断群的可能结构。(1) 一阶群。任何一阶群都是由单位元素组成的群，因此，一阶群只可能有一种结构。换句话说，任何一阶群都是同构的；(2) 二阶群。除幺元素外，还有一个二阶元素A。由于元素的阶等于群的阶，因此，任何二阶群都是二阶循环阿贝尔群，可见所有二阶群都是同构的；(3) 三阶群。由于群的阶是一个素数，因此除幺元素外，其它两个元素的阶必须是3。由于元素的阶等于群的阶，因此，任何三阶群都是三阶循环群。可见三阶群也只能有一种结构；由此还可推知，任何素数阶群都是循环群。(4) 四阶群。除幺元素外，其它元素的阶数可能是4，也可能是2。 因此，有以下两种情况：a) 群中至少有一个四阶元素，则该群必为四阶循环群；b) 除幺元外，其它元素都是二阶的，则该群必为四阶阿贝尔群。由此可见，四阶群有两种可能的结构。例如：循环群：，交换群：(5) 六阶群。除幺元素外，其它元素的阶数可能是6、3、2。 我们可以证明，六阶群有两种结构：a) 6阶循环群，群中至少有一个6阶元素；b) 6阶非循环非阿贝尔群（与置换群S3群同构），除幺元素外，群中有两个三阶元素和三个二阶元素。思考题 证明：(1) 不存在这样一个六阶群，除幺元素外，群中其它元素都是2阶的；(2) 不存在这样一个六阶群，群中有奇数个3阶元素。对于高阶群，情况比较复杂，可能出现多种非同构的结构。但有几点值得注意，这就是：l 对任何一个群G，总有它的一个生成子集，由S中各元素的幂和乘积可以生成群中所有的元素，子集中的各元素称为群的生成元。显然，若子集S中只有一个元素，那么群就是一个循环群。l 若群的阶n是一个素数，则群只能有一种结构，这就是n阶循环群。定理1.7 子集是群G的一个生成集的充要条件是：G中不存在包含S的真子群。【证明】 (1) 设S是群G的一个生成集。若存在G的一个真子群H使得：则由运算在子群H上的封闭性知道，由S中各元素的幂和乘积只能生成H中的元素，显然与前提矛盾，故假设不成立；(2) 设S是群G的一个子集。且G的任何真子群不包含S，则令K= S中各元素的幂S中各元素的