第二章 单自由度系统振动的理论基础1.doc

沈 阳 大 学教 案课程名称 机械振动 编写时间：2009年7月25日授课章节第二章 单自由度系统振动的理论基础 2.12.3目的要求了解单自由度系统振动方程的建立及其求解，了解无阻尼单自由度系统的自由振动，掌握系统固有频率的计算方法。重点难点利用变形法和能量法计算系统的固有频率。教案内容： 2 单自由度系统振动的理论基础引言：许多工程技术问题在一定条件下，都可以将实际振动系统简化为单自由度振动系统来研究。因此，单自由度系统的振动理论是机械振动学的理论基础，要掌握多个自由度振动的基本规律，也必须首先掌握单自由度系统的基本理论。21 振动微分方程的建立振动质量（mass）m、弹簧刚度(spring stiffness) k和阻尼系数(damping coefficient) r是振动系统的三个基本要素。如图，考虑基础的阻尼，且在振动系统中还作用有持续作用的激振力Q，此激振力Q可以是简谐的力(以Q0sinwt或Q0coswt表示)，也可以是任意的力。受力示意图如图2l所示。 讲解时要强调：系统振动时，振动质量的位移x、速度x和加速度x，会产生弹性力kx、阻尼力rx和惯性力mx，它们分别与振动质量的位移(displacement)、速度(speed)和加速度(acceleration)成正比、但方向相反(右上图)。板书设计：应用牛顿运动定律可以建立运动微分方程式。现取x轴向为正，则mxQ0sinwtrxkx 或：mx+rx+kxQ0sinwt （2-1）此即为单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普通式。它又可以分为如下几种情况： (1)单自由度无阻尼自由振动 mx+kx0 (2)单自由度有粘性阻尼的自由振动mx+rx+kx0 (3)单自由度无阻尼受迫振动 mx+kxQ0sinwt (4)单自由度有粘性阻尼的受迫振动mx+rx+kxQ0sinwt这几种情况要交待清楚，为后几节做好铺垫。第 3 次 第 1 页沈 阳 大 学教 案（续页）课程名称 编写时间：20 年 月 日22 无阻尼单自由度系统的自由振动(free vibration)所谓无阻尼自由振动，是指振动系统受到初始扰动(激励)以后即不再受外力作用，也不受阻尼的影响所作的振动。如图，设振动体的质量为m，它所受的重力为W，弹簧刚度为k。弹簧挂上质量块后的静伸长为j，此时系统处于静平衡状态，平衡位置为0-0；由静平衡条件知 kjW (22)当系统受到外界的某种初始干扰以后，静平衡状态被破坏，则弹性力不再与重力相平衡，而产生弹性恢复力，使系统产生自由振动。取静平衡位置为坐标原点，根据牛顿第二定律建立振动微分方程式，即 讲解时要向学生说明：在建立振动微分方程时，若取静平衡位置为坐标原点，就已经考虑了重力的影响，而在建立振动方程式过程中不必出现重力W和静变形j。现将(23)式改写为显然x=est是方程的特解，把它及xs2est代入(25)式得：(s2+2n)est0，由于est0，否则位移为零没有意义。故必有：式中 D1=c1+c2，D2i(c1-c2)，由初始条件确定。这是一个齐次二阶常系数线性微分方程第 3 次 第 2 页沈 阳 大 学教 案（续页）课程名称 编写时间：20 年 月 日前式表明，单自由度系统无阻尼自由振动包含两个频率相同的简谐振动，而这两个简谐振动的合成，仍是一个简谐振动，可用下式表示 xAsin(wnt+0) (29)式中 A振幅，它表示质量偏离静平衡位置的最大位移，cm，初相位角，rad 振动系统的固有角频率，rad/s 将振动的初始条件t =0,x =x0，x =x0 代入，得2.3 固有频率（natural frequency）的计算一、静变形法如图，垂直方向振动的弹簧质量系统，当质体处于静平衡状态时，设弹簧的静变形为dj，则有： 从而有:显然，只要测出弹簧的静变形，就可计算出系统的固有频率。提醒学生：这种方法不可取，因为准确测出弹簧的静变形不容易！P14例2-1：一根矩形截面梁抗弯刚度为EJ，上有一质量为m的物体，如图，忽略梁的质量，试用变形法求该系统的固有频率。解：由材料力学可知，物体处的静挠度为： 所以，由变形法可求得系统的固有频率为：提示同学们温习材料力学相关内容梁的弯曲变形。第 3 次 第 3 页沈 阳 大 学教 案（续页）课程名称 编写时间：20 年 月 日二、能量法（适合于保守系统，即无阻尼自由振动系统）在振动过程中，动能与弹簧势能不断转换，但总的机械能守恒。在某一瞬时，系统机械能守恒。有： T+U=常数，则 d(T+U)/dt=0板书设计：例：如图所示，任一瞬时，质体的位移为x，系统的动能为：系统的势能为：系统的总机械能为： （E为常数）对其求导得： 自由振动方程式显然可以求得固有频率本次课小结：1. 系统振动微分方程的建立用牛顿定律；2. 掌握单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普通式：mx+rx+kxQ