曲线的局部微分几何.doc

作者：王幼宁第二章曲线的局部微分几何3曲线的曲率和 Frenet 标架图2-5在许多自然科学问题和日常生活中，刻划曲线的弯曲程度是描述和解决问题的需要直观地看，曲线的弯曲程度是曲线的几何属性观察一些熟知曲线的弯曲状况，可以注意到弯曲状况与单位切向的方向变化密切相关：单位切向方向不变的曲线只能是直线；单位切向方向“匀速”变化的曲线只能或是圆周或是圆柱螺线；不同半径的圆周的单位切向方向变化率以半径较小的为大，等等当然，以上观察都是在 E3 中进行的；并且在学完本节和下节内容之后，可以证明上述直观印象是正确的为了讨论连续变化率，自然用到微积分另外，用活动标架的观点来看，寻求附属于曲线本身的适当标架场在几何上是具有意义的一曲率 T(s) T(s+Ds) s+Ds s T(s) DT(s) Dq C T(s+Ds) 图2-6为了衡量单位切向方向的变化率，需要将曲线上“动点的运动速率”进行统一规定；自然的想法是利用弧长参数化，考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率给定 E3 的一条弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) ，其单位切向 T(s) 关于弧长的导向量为 T (s) = = 定理1设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 的单位切向量场 T 从 T(s) 到 T(s+Ds) 的夹角为 Dq(s, Ds)(-p, p) ，则limDs0 = |T (s)| 证明T (s) = limDs0 ， |T (s)| = | limDs0 | = limDs0 = limDs0 = limDs0 定义1正则曲线 C: r = r(t) 的单位切向量场 T(t(s) 关于弧长 s 的导向量 = 称为曲线 C 在 r(t(s) 处的曲率向量；曲率向量之长 k = 称为曲线 C 在 r(t(s) 处的曲率；当曲率非零时，其倒数 r = 称为曲线 C 在 r(t(s) 处的曲率半径上节已知正则曲线上的弧段长度在 E3 的正交标架变换下不变，弧长元素在保向正则参数变换下不变，并且弧长元素和单位切向在反向正则参数变换下同时变号，因而曲率和曲率向量的定义不依赖于正则参数的选取，并且可以期望曲率是曲线合同的不变量事实上有下述结论定理2设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的曲率 k(s) 与 k*(s) 总相等证明已知两条曲线合同，即存在行列式为1 的3阶正交矩阵 ASO(3) 和点 P 坐标 b = (b1 , b2 , b3) E3 ，使 (x, y, z) = b + (x*, y*, z*) A ，即r(s) = OP + r*(s) A 此时对弧长参数求导，并对曲线 C* 各相应量的记号总打星号表示，即得T(s) = T*(s) A ，T (s) = T*(s) A ，k2(s) = |T (s)|2 = |T*(s) A|2 = T*(s) AT*(s) A = T*(s)T*(s) = |T*(s)|2 = k*2(s) 注意到曲率非负，便知结论成立例1直线的曲率处处为零；反之，曲率处处为零的曲线必为直线证明：对给定的直线，取定其上一点 p 和其单位方向向量 l ，则其参数化可写为 r = r(u) = ul + p 由于 r(u) = l , |r(u)| 1 ，故此时 u 为弧长参数，T(u) = r(u) l 于是，曲率 k(u) = = 0 反之，曲率处处为零的正则曲线具有固定的单位切向 l ，故在弧长参数 s 下可写 T(s) = r(s) = l ，积分则得r(s) = (s - s0)l + r(s0) ，其中 s0 为任意取定的一点此即说明该曲线为直线例2证明对常数 a 0 ，圆周 r(t) = (a cos t , a sin t , 0) 的曲率半径处处为圆周半径 a 证明：r(t) = (-a sin t , a cos t , 0) ，故 |r(t)| = a 0 此即参数 t 是正则的，且对弧长参数 s 有 ds = |r(t)| dt = a dt 进一步，T(t) = = (-sin t , cos t , 0) ， = = T (t) = ，k(t) = = ，故曲率半径 r(t) = a 对于考察方向角的变化率而言，定理只是特殊情形；但其证明方法适用于建立更一般的结论，从而可以广泛地讨论各种方向角对于连续可微单参数的变化状况下列定理的证明请自行给出定理1* 设定义在弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 上的单位向量场 x 从 x(s) 到 x(s+Ds) 的夹角为 Dj(s, Ds)(-p, p) ，则 limDs0 = |x (s)| 二Frenet 标架 为了利用标架场的运动行为刻划曲线的几何性质，一种自然的想法是在曲线上建立与自身几何属性密切相关的标架场为此，进一步考虑曲线的切向量场和法平面场，其中曲线在指定一点的法平面是指过该点且垂直于切线的平面注意到弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 上的单位切向 T(s) 模长恒定，从而其曲率向量 T (s)T(s) ，可知曲率向量落在法平面内当曲率向量非零之时，即当曲率非零之时，利用曲率向量的单位化向量就可以建立符合需要的单位正交右手标架场这导致下列两组定义定义2正则曲线 C: r = r(t) 在 r(t0) 处的曲率 k(t0) = 0 时，称 r(t0) 或 t0 为曲线 C 的一个逗留点；否则称 r(t0) 或 t0 为曲线 C 的一个非逗留点 B(t) 法平面 C r(t) N(t) 密切平面 T(t) 从切平面 O 图2-7定义3对无逗留点的正则曲线 C: r = r(t) ，曲率向量 的单位化向量 N(t) 称为曲线 C 在 r(t) 处的主法向量；向量 B(t) = T(t)N(t) 称为曲线 C 在 r(t) 处的从法向量或副法向量或次法向量单位正交右手标架 r(t); T(t), N(t), B(t) 称为曲线 C 在 r(t) 处的Frenet标架在 r(t) 处的法平面上，以主法向量 N(t) 为方向向量的直线称为曲线 C 在 r(t) 处的主法线；以从法向量 B(t) 为方向向量的直线称为曲线 C 在 r(t) 处的从法线或副法线或次法线过 r(t) 处的切平面中，以主法向量 N(t) 为法向向量的平面称为曲线 C 在 r(t) 处的从切平面；以从法向量 B(t) 为法向向量的平面称为曲线 C 在 r(t) 处的密切平面注记：在非逗留点 r(t) ，曲率向量现可重新写为向量 k(t)N(t) Frenet标架的运动公式及其应用将留待下节进行细致讨论在此则继续讨论相关概念及其几何意义对于无逗留点的正则曲线 C: r = r(t) ，标架 r(t); T(t), N(t), B(t) 的各坐标轴和坐标面在原固定坐标系 O; i, j, k 下的方程是容易确定的，列示如下：切线X = X(u) = r(t) + u T(t) ；主法线X = X(u) = r(t) + u N(t) ；从法线X = X(u) = r(t) + u B(t) ；法平面(X - r(t)T(t) = 0 ；从切平面(X - r(t)N(t) = 0 ；密切平面(X - r(t)B(t) = 0 (X - r(t) , T(t) , N(t) = 0 其中 X 表示几何对象上的动点的位置向量密切平面的参数方程还可变形为用曲线位置向量及其导向量表示注意到 T(t) = = ，有(3.1)k(t)N(t) = = = ，(3.2) = = + = + r(t) ，因而(X - r(t) , T(t) , N(t) = (X - r(t) , , ) = = (X - r(t) , r(t) , + r(t) ) = 由此，密切平面的参数方程变形为(3.3)(X - r(t) , r(t) , r(t) = 0 ；用关于分量的行列式可记为(3.4) = 0 密切平面几何直观的理论依据可由下例给出例3设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 上无逗留点过曲线上一点 P: r(s) 的切线与以该点为端点之一的弦 PP1 （即直线段 PP1 ）共同张成的平面记为 P1 ，其中点 P1: r(s+Ds) 当点 P1 沿着曲线趋向于点 P 时，试确定平面 P1 的极限位置解：当 T(s)r(s+Ds) - r(s) 0 时为平面 P1 的一个法向量，而T(s)r(s+Ds) - r(s) = T(s)(Ds)r(s) + r(s) + o(Ds)2)R2(s, Ds) = T(s)k(s)N(s) + o(Ds)2)R2(s, Ds) = k(s)B(s) + o(Ds)2)R2(s, Ds) ，其中向量 R2 和R2 当 Ds0 时有界故当点 P1 沿着曲线趋向于点 P 时，平面 P1 的极限位置是过点 P 以 B(s) 为法向的平面，即密切平面例4试证：平面曲线在非逗留点处的密切平面与所在平面重合；若无逗留点的曲线 C 的密切平面全部平行，则曲线 C 为平面曲线证明：设平面曲线 C: r = r(t) 落在过点 p 且以 l 为法向单位向量的平面 (X - p)l = 0 上，则 r(t) - pl 0 此式对弧长参数求导得 T(t)l 0 再对弧长参数求导得 k(t)N(t)l 0 ，从而 N(t)l 0 由Frenet标架的正交性即得 B(t)l ，从而 B(t) l ，说明各密切平面都与所在平面重合反之，若无逗留点的曲线 C: r = r(t) 的密切平面全部平行，则 B(t) B(t0) ，从而r(t)B(t0) 0 , t ；积分得r(t) - r(t0)B(t0) 0 ，此即该曲线落在点 r(t0) 处的密切平面上，为平面曲线下面讨论计算问题Frenet标架显然在曲线的保向正则参数变换下不变，并且在弧长参数下有简便的算式事实上，对于在弧长参数 s 参数化下的曲线 C: r = r(s) ，有T(s) = r(s) ，k(s) = |T (s)| = |r(s)| ，对非逗留点进一步有(3.5)k(s)N(s) = T (s) = r(s) ，(3.6)N(s) = = = ，k(s)B(s) = T(s)T (s) = r(s)r(s) ，(3.7)B(s) = = = 利用弧长参数与一般正则参数的关系，使用复合求导方法，按照给出定义的方式完全可以对Frenet标架及其相关各量进行计算也可以比照弧长参数下的计算公式，用同样的方法确定一般参数下的计算公式，过程如下：对于正则曲线 C: r = r(t) ，由 (3.1) 和 (3.2) 式出发进一步计算即得k(t)N(t) = + r(t) = + r(t) = - r(t) ，(3.8)k(t)B(t) = ，(3.9)k(t) = ，(3.10) B(t) = ，(3.11) N(t) = B(t)T(t) = = - 由 (3.9) 式可知，在一般参数 t 下，r(t) 不是逗留点的条件用位置向量的表达式为r(t)r(t) 0 并且由 (3.10) 式可知，在非逗留点处，从法向量即为 r(t)r(t) 的单位化向量上述一般公式的算法是有指导意义的；算法当中不仅用到最基本的概念以便帮助理解所学内容，而且对于不便于转化为弧长参数表示的曲线仍然可以计算，甚至有时使用该法计算比单纯代上述公式计算还要简单合理运用微积分学中的知识，比如隐函数定理和复合函数技巧，也可以利用隐性的弧长参数化讨论以两张曲面交线为形式的曲线（参见习题）下面仅就核心概念和核心算法举一个简单的例子例5对常数 a 0 和常数 b ，计算曲线 r(t) = (a cos t , a sin t , b t) 的曲率和Frenet标架解：dr = r(t) dt = (-a sin t , a cos t , b) dt ，故有下列运算r(t) = (-a sin t , a cos t , b) ，|r(t)| = 0 ，ds = |r(t)| dt = dt ，T(t) = = (-a sin t , a cos t , b) 由曲率向量定义，考虑 = = = (- cos t , - sin t , 0) ，则由定义得k(t) = = ，N(t) = = (- cos t , - sin t , 0) 再由Frenet标架定义可得B(t) = T(t)N(t) = = (b sin t , -b cos t , a) 所求曲率和Frenet标架 r(t); T(t) , N(t) , B(t) 已如上全部确定习题求以下曲线的曲率r = (t , t2 , t) ；r = (3t - t3 , 3t2 , 3t + t3) ；r = (cos3 t , sin3 t , cos 2t) ；r = (t , t2 , et) 求以下曲线的主法线方程和密切平面方程r = (t , t2 , t3) ；r = (et cos t , et sin t , 2t) 求曲线 的在点 (0, 0, 2) 处的单位切向和曲率求曲线 的在点 (2, 1, 2) 处的密切平面方程试证：球面曲线（落在某个球面之上的曲线）若正则，则其法平面都过球心试证：若正则曲线的所有法平面有一个公共点，则该