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特征值与特征向量一、基本理论设A是n阶方阵. 如果存在非零向量x使Ax=x对某个常数C成立, 则称是A的特征值 , x是属于特征值的特征向量。()=|IA|是n次多项式, 称为A的特征多项式。特征多项式的n个根就是A的全体特征值。特征值的性质: n个特征值之和等于A的迹，即对角元之和；n个特征值之积等于A的行列式。上三角矩阵的对角元就是全体特征值. 实对称方阵A的全体特征值为实数，且有n个线性无关的特征向量(x1,xn),将其作为列向量排成矩阵P,则AP=PD, 其中D=Diag(1, n)为对角阵，对角元为A的特征值.P-1AP=D, 实对称矩阵A相似到对角阵D，称对角化.求矩阵n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤：1. 求出A的特征多项式2. 求出特征多项式的n个根1, n3. 对每个特征值i，解齐次线性方程组 (iI-A)x=0，解空间的任意一组基即是A的属于特征值i的特征向量.二、Matlab实现实现一：1. 用Matlab命令 p=poly(A) 得到A的特征多项式的系数p（p是n+1维向量） 2. 用命令 roots(p) 特征多项式的根: roots(p)3. 对每个特征值i ，解齐次线性方程组 (iI-A)x=0，可利用Matlab提供的null(iI-A)，或先前编写的函数nulbasis(iI-A) （见齐次线性方程一节内容）实现二： 直接使用 Matlab命令 P D = eig(A), 同时返回特征向量组 P 和全体特征值 D.三、例子例. 求的特征值与特征向量.A=3, 2, 1; 0, -1, -2; 0, 0, 3 A = 3 2 1 0 -1 -2 0 0 3 特征多项式p=poly(A) p = 1 -5 3 9 roots(p) ans = 3.0000 3.0000 -1.0000 特征值为3,-1.X1=nulbasis(3*eye(3)-A) X1 = 1.0000 0 0 -0.5000 0 1.0000 属于特征值3的特征向量：,X2=nulbasis(-eye(3)-A) X2 = -0.5000 1.0000 0 属于特征值-1的特征向量：P=X1 X2 P = 1.0000 0 -0.5000 0 -0.5000 1.0000 0 1.0000 0 inv(P)*A*P ans = 3 0 0 0 3 0 0 0 -1 解二：Matlab的eig(A)P D=eig(A) P = 1.0000 -0.4472 0 0 0.8944 -0.4472 0 0 0.8944D = 3 0 0 0 -1 0 0 0 3 inv(P)*A*P ans
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