第九章导体和电介质2008.doc

第九章 导体和电介质 电荷激发电场，静止电荷激发静电场, 静电场用电场强度和电势描述;电荷分布决定电场分布情况，电场也影响电荷分布。(本章讨论导体和电介质的静电特性)导体中存在自由电荷，在电场作用下电荷分布变化，电场发生改变。电介质中几乎没有自由电荷，在外电场作用下介质分子内电荷能在很小范围内重新分布，使电场发生改变。-教学目标：* 了解静电场中导体的静电平衡条件以及静电屏蔽现象。* 了解电介质极化及其微观解释。* 了解介质中的高斯定理和安培环路定理。 * 理解电容的定义及其物理意义。* 了解静电场的物质性。理解电能密度的概念。* 在简单对称情况下，能计算静电场里贮存的场能。教学内容 (5学时)：9-1 静电场中的导体9-2 电介质 电介质中的高斯定理9-3 电容器9-4 静电场中的能量教学重点：* 理解静电场中导体的静电平衡条件；* 理解电位移矢量、介质中的高斯定理及其应用；* 理解电容和电容器的概念，掌握电容的计算；* 理解电场能量和电能密度。作业：9-04)、9-06)、9-12)、9-14)、9-16)、 9-19)、9-21)、9-29)、9-36)、9-42)。- 9-1 静电场中的导体导体静电感应感应电荷附加电场静电平衡(导体达到静电平衡后，导体的电场及电荷分布满足一定的条件) 电荷守恒定律一 导体静电平衡条件 (a) 原来的电场 (b) 放入导体球后的电场1) 场强条件静电平衡导体中的电场强度为零，导体表面的场强与表面垂直。2) 电势条件静电平衡的导体是一个等势体，表面是一个等势面。推论一 静电平衡导体内各处的净电荷为零，电荷只分布于导体表面。推论二 静电平衡导体表面附近的电场强度的大小与表面电荷密度的关系为： () （9-1） 图9-3 导体表面附近的电场 (若没有其它电场的影响，导体上曲率越大的地方电荷面密度也越大)例9.1 有两块面积较大的导体薄板平行放置，面积均为S，距离为d (见图)。若给a板电荷Qa，b板电荷Qb， (1) 求导体板四个表面电荷分布、空间的场强分布及两板之间的电势差；(2) 若b板接地，再求电荷分布、场强分布及两板电势差。 解 (1) 不考虑边缘效应，静电平衡时电荷将分布在导体板的表面上形成四个均匀带电平面，设电荷面密度分别为、。由电荷守恒定律可知: (1) (2)由静电平衡条件，导体板内的A点和B点的场强为零，先分析A点的场强:A点的场强由四个均匀带电平面场强迭加，向右为正，则: 在A点的场强为: 在A点的场强为: 依次类推，A点的合场强为: 故有: (3)同理，B点场强为: (4)联解四式可得: 两板左边的场强: 两板之间的场强: 两板右边的场强: （可验证三区间的场强与附近导体表面电荷密度关系均满足: ）两板之间的电势差: (2) 若将B板接地可考虑作一个延伸到无穷远处的导体，若以无穷远处作为电势零点，则地面和接地的导体电势均为零。此时B板右表面的电荷应为零, 即 否则将有电场线由B板向右延伸到无穷远处，按电场线电势降落的结论，意味B板电势与无穷远的电势不同，这显然不符合等势条件。此时 (2)式由于B板和地面交换电荷已不成立，而(1)、(3)、(4)式仍成立。注意到已有，可解得: 即电荷分布集中于两导体板的内侧(一个典型的平板电容器的电荷分布)。进而可求出三个区域此时的场强为: 两板间的电势差为: 二 导体空腔 静电屏蔽一个达到静电平衡的导体空腔能隔断空腔内和空腔外电荷的相互影响_静电屏蔽 三种静电屏蔽现象(1) 空腔外电荷对空腔内无影响 证明: 空腔内的场强也为零。在导体中作一闭合曲面S包围空腔，由高斯定理可知，由于曲面S上的场强为零故电场通量为零，所以S内的净电荷为零。由于空腔内没有电荷，这表明空腔内表面的净电荷也为零。考察是否可能在内表面上存在等值异号电荷分布而在空腔内形成电场？如果真是这样，正电荷将发出电场线，由于导体内场强为零，意味着电场线不能穿过导体而只终止于同样位于空腔内表面负电荷上，违背导体等势条件，所以：空腔内表面也不能有电荷分布。(2) 空腔内电荷对空腔外无影响 导体球接地 证明: 在导体中作一闭合曲面包围空腔，由高斯定理可知，曲面内净电荷为零，即空腔内表面的感应电荷应与空腔内部的电荷等值异号，即为。按电荷守恒定律，空腔外表面有感应电荷，并在空腔外产生一电场。把导体球接地(图b)，这时外表面的感应电荷被中合，导体电势为零。同于空腔外没有电荷分布，所以也没有电场，可见：一个接地的导体空腔能屏蔽空腔内电荷对外部的影响。 (3) 导体空腔屏蔽了内外电荷相互影响 证明: 按静电屏蔽，如把空腔中点电荷移到球心，则腔内表面 电荷均匀分布，腔内电场是一对称点电荷电场而不受到空腔外电荷的非对称性影响。如腔内电荷不在球心并把腔外点电荷移到远处，腔外表面电荷均匀分布，腔外电场将是一均匀带电球面电场而不受腔内电荷的非对称性的影响。-例9.2 一半径为R1的导体球带有电量q，球外有一内、外半径为R2和R3的同心导体球壳带电为Q；1) 求导体球和和球壳的电势；2) 若用导线连接球和球壳，再求它们的电势； 3) 若不是连接而是使外球接地，再求它们的电势。 解 (1) 由静电平衡条件可知电荷只分布于导体表面。在球壳中作一闭合曲面可求得球壳内表面感应电荷为。由电荷守恒，球壳外表面电量为。由于球和球壳同心放置，满足球对称性，故电荷均匀分布形成三个均匀带电球面（见图a）。用电势迭加原理可直接求出导体球的电势为: 导体球壳的电势为:(2) 若用导线连接球和球壳，球上电荷q和球壳内表面电荷中合，电荷只分布于球壳外表面（见图b）。此时球和球壳的电势相等，为: (3) 若使球壳接地，球壳外表面电荷被中合，只有球和球壳的内表面带电(见图c)，此时球壳电势为零球的电势为:（可先求空间场强分布，再用电势定义 用场强积分求出电势）例9.3 一半径为R的导体球原来不带电，在球外距球心为d处放一点电荷，求：球的电势。若将球接地，求：其上的感应电荷。 解：* 由于导体球是一个等势体，故只要求得球内任一点的电势，为球的电势。此球心电势可用电势迭加原理求出，它等于点电荷在球心提供的电势与导体球在球心提供的电势的代数和。若导体球上的总电量为Q，由于Q只分布在球表面，故它在球心提供电势为球面上各微元电荷在球心提供微元电势积分因球上原来不带电即总电量Q = 0，故导体球在球心提供的电势为零，只有点电荷在球心提供电势: * 若将导体球接地，则导体球总电量Q不再为零，而球心处电势应为零，即有: 可解得: - 2008/04/22 9-2 电介质 介质中的高斯定理一 介质的极化（电荷中心，分子的正、负电荷中心, 有极分子和无极分子）分子由等量正负电荷构成，可近似把分子中正、负电荷作为两点电荷处理，称为等效电荷，等效电荷的位置称为电荷中心。若分子正、负电荷中心不重合，则等效电荷形成一个电偶极子，其电偶极矩称为分子的固有电矩有极分子（如HCl）。若分子正、负电荷中心重合，则分子电偶极矩为零无极分子（如H、O、N、CO分子）。表9.1 几种分子的电偶极矩分 子电偶极矩/1030CmHCl3.43CO0.40HO6.20SO5.30NH35.0CO、H、C01有极分子介质的取向极化1、 原场，束缚电荷（只在表面），附加电场，反抗原场取向极化 2、无极分子介质的位移极化原场，束缚电荷（只在表面），附加电场，反抗原场位移极化。（两种极化宏观结果相同，宏观上可不区分）二 介质中的电场# 真空中的库仑定律 静电力 ： 其中：真空介电常数# 介质中的库仑定律实验：各向同性介质均匀地充满电场时（简称均充条件）的库仑定律为：静电力： 其中：为介质的静电力常数，为介质的介电常数（电容率）。举例：对于平板电容器，只需一种各向同性的均匀介质充满两板间就够了；而对于点电荷，原则上要充满到无穷远的地方。实验证明：若自由电荷分布不变，当介质均匀充满电场后，介质中任一点的电场强度E为原来真空中的电场强度的分之一，即： (9-2)其中：为介质的相对介电常量，取决于介质的电学性质。对于“真空”，对于空气，近似有，对其它介质，。表9.2 几种电介质的相对介电常量电介质相对电容率真 空1空气(0)1.00059水(20)80.2变压器油2.22.5纸2.5聚四氟乙烯2.1聚乙烯2.26氯丁橡胶6.60硼硅酸玻璃510云 母5.4陶 瓷6二氧化钛173钛酸锶约250钛酸钡锶约104由此推之：均充条件下介质电学规律与真空电学规律形式上完全相同，但式中的应改为，如：介质中的点电荷电场 # 加入介质以后场强的变化（由介质中产生的极化电荷激发的附加电场迭加而形成的）在介质均匀充满电场条件下，通过真空中电场和介质中电场的比较， 由自由电荷分布推算出极化电荷的分布。例：真空中的点电荷在其周围空间任一点p激发的电场为： 充满介质后，点电荷本身激发的场强不因极化电荷的出现而改变。极化电荷分布在介质与点电荷交界面上一很小范围，可视为一点电荷，在p点激发电场为： 介质中的场强是与迭加结果为： 又由(9-2)式可知，介质中点电荷电场中的合场强为真空中场强的，故有： (9-3)比较这两式即可得到： (9-4)自上式表示由电荷和束缚电荷的总和等于自由电荷的。于是，得点电荷周围的极化电荷电量为： (9-5)（由于，故极化电荷与自由电荷反号）介质中的点电荷电场(9-3)式为： (9-6)与点电荷在真空中场强比较，公式形式不变，唯一的变化是把换成。（介质中的场强比真空中要小，这是由于极化电荷的场强影响的结果，但极化电荷在式子中并未出现，它们影响已包含在之中）三 介质中的高斯定理# 真空中静电场的高斯定理 （式子右边的q是闭合曲面S内的净电荷）# 当电场中有介质时的高斯定理自由电荷与极化电荷的总和即，于是高斯定理记作： （极化电荷一般情况下是一未知量，不方便，设法用自由电荷来表示）说明：介质均匀充满电场时，极化电荷出现在自由电荷旁，每个地方自由电荷和极化电荷的总电量均为自由电荷的， ，代入高斯定理有： 若电场E中只有一种介质，于是有： 定义： 电位移矢量 (9-7)即：在电场中任一点，电位移矢量等于该点介质的介电常数与电场强度E之积。于是高斯定理表示为： (9-8)介质中的高斯定理（简称D高斯定理）表明：电场中通过任一闭合曲面的电通量等于闭合曲面 围住的净自由电荷。可以证明：介质中的高斯定理对任意电荷分布和任意介质分布都成立。若介质就是“真空”，此时 ，介质中高斯定理(9-8)式还原为高斯定理原形式： # 电力线，简称D线电位移矢量D在电场空间构成一矢量场，其矢量线称为电力线（D线） （D线的方向表示D的方向，D线的密度表示D的大小）D的通量称为电通量或D通量，表示通过曲面S的D线条数。D高斯定理表示：在闭合面S上的D通量等于曲面S内自由电荷的代数和（即净自由电荷）： D高斯定理物理意义：D线发自于正的自由电荷，终止于负自由电荷，与E线不同。* E线始于正电荷，终于负电荷而无论电荷是自由还是束缚的。* D线的起点和终点与极化电荷无关，但不能认为D与极化电荷无关。* 场强E是由自由电荷和极化电荷共同产生的，故E与极化电荷的分布相关，D亦与极化电荷的分布相关。下图：在一均匀电场中放入一介质球前后的E线和D线的分布情况（极化电荷对电场的影响，特别是对E和D方向的影响十分明显）电位移矢量的单位： c/m2（库伦每平方米-与电荷面密度的单位相同）四 介质中高斯定理的应用电场中有介质时，一般不宜用迭加原理求场强E和电势V，（否则必须要考虑极化电荷单独产生的场强和电势）常用方法：在一定的对称条件下，用D高斯定理求出D，由得到E，进而用求出V。- 例9.4 若导体外有介质，求证：导体表面附近的电位移矢量与导体表面电荷面密度的关系为。 证明 如图，在导体表面附近作一底面为的闭合柱面S，其侧面与导体表面垂直。按D高斯定理，柱面上的D通量 由于在导体内故，所以柱的下底没有D通量。由于导体表面是等势面，表面附近E与表面垂直，故D也与表面垂直。所以柱的侧面也没有D通量，只有柱面上底面有D通量，所以有： 得到： (9-9)故命题得证，同时还有：若为正电荷，D和E垂直于导体表面指向导体外，若为负电荷，D和E垂直于导体表面指向导体内。若介质为空气，则 （回到导体表面附近场强与电荷面密度关系）例9.5 半径r1的导体球带电为，球外有一层内径为r1外径r2的各向同性均匀介质，介电常量为。求：介质中和空气中的场强分布和电势分布。解 ：由于导体和介质都满足球对称性，故自由电荷和极化电荷分布也满足球对称性，因而电场的E和D分布也具球对称性，其方向沿径向发散，且在以O为中心的同一球面上D、E的大小相同。如图：在介质中作一半径为r的球面S1，按D高斯定理： 有： 故： 所以介质中的场强： (方向沿径向发散)同理在介质外作一球面S2，则仍然有： 故介质外的场强： (方向沿径向发散)介质中距球心为r的一点的电势为： 空气中距球心为r的一点的电势为： - 9-3 电容器 * 电容器： 电容器的两极板间的电压U与电量Q成正比： 上式中的比例常数： 定义: C为电容器的电容。 一 常见电容器1、平板电容器 由D高斯定理可求得两板间的电位移矢量：两板间的电场强度为： (方向由A板指向B板)其中: 为介质的介电常量两板间的电压为： 故平板电容器的电容为： （为介质的电容率，为真空的电容率）2、圆柱形电容器由D高斯定理可求得两筒之间距离轴线为r的p点的电位移矢量 进而求出电场强度：场强方向沿半径方向由A指向B。将场强沿径向积分可得电压： 故圆柱形电容器的电容： (9-13)单位长度上的电容为： 3、球形电容器 通过D高斯定理求得两球间距离球心为r的p点场强为：（方向沿半径方向）两球之间的电压： 故球形电容器的电容为： * 孤立的导体球：可当作是球形电容器的一特殊情况， ，B球上的电荷将均匀分布在一无穷大球面上，该电荷分布可忽略不计。B球在无穷远处电势为零，A、B球间的电压就是A球的电势。设介质为空气，则A球电势为： (9-14) （R-A球半径）孤立导体球的电容为： (9-15)（显然，此式可由(9-14)式直接取而来）二 电容的联接1、并联电容器 充电以后，每个电容器两个极板间的电压相等为U，有： （U是电容器组的电压）电容器组所带总电量为： 所以电容器组的等效电容为： 由于为每个电容器的电容，所以有： (9-16)（即：并联电容器的等效电容等于每个电容器电容之和）2 串联电容器 充电后，由于静电感应，每个电容器都带上等量异号的电荷和，这也是电容器组所带电量，故有： 电容器组上总电压为各电容器的电压之和： 为了方便，计算等效电容的倒数： 即有： (9-17)表示: 串联电容器的电容的倒数等于各电容器电容的倒数之和。- 2008/04/24/例9.6 平行板电容器两板面积均为S。在两板间平行重迭地放置两块面积S，厚度分别为d1和d2，介电常量分别为和的介质板，求： 电容器的电容。 解 设极板A、B分别带电和，面电荷密度。忽略边缘效应，两介质中分别出现均匀电场， E和D均垂直于平板向下。如图作两个底面积为S1和S2的柱形高斯面S1和S2，两底与平板平行，侧面与平板垂直。上底在导体板内，E=0，D=0， D通量为零。侧面与D线平行， D通量也为零，只有下底有D通量。注意下底分别在两种介质中，由D高斯定理： 有： 得到： （即此时两种介质中的D相等） 两板之间的电压：