统计热力学(班)第六章电科.doc

第六章 量子统计法（Quantum Statistical Methods）6.1 玻色与费米分布（Bose & Fermi Distributions）1 两种分布(Two distributions)2. 非简并性条件的讨论(Discussion about the non-degeneracy condition)1 对于给定的分布，由第一章得玻色系统的微观状态数 费米系统的微观状态数 有约束条件 .下面用Lagrange未定乘子法求最概然分布，即： （1） 其中 i=B或F因为 则 同理 （1）式为 ， 又因所有独立， 可有 即 则 ， 分布可以证明: 2 讨论非简并性条件当满足非简并性条件时 或 , 则有， 则两种分布化为 .即Boltzmann分布。由理想气体的讨论知：非简并性条件是粒子质量大、温度高、密度低.例如：金属中的电子气为强简并；理想气体为非简并.作业：选做课本7.36.2 金属中的自由电子（Free Electrons in Metals）1金属中的自由电子2费米函数(Fermi function)3电子热容量(Heat capacity of electrons)1金属原子形成大块晶体时,价电子形成共有化电子,可视为自由电子,若利用能均分定理,可有.由4.5知, 在低温时.故需用量子理论才可.2.对于金属中的电子，应用费米分布,可得能级上的电子数为 若对能级采用准连续近似,则，由第一章，电子在内内的状态数为,这里,称为态密度. 电子占据一个量子态的电子数(平均)为 ,上式称为费米函数., (1). (2)设时，化学势为(费米能量)，则 费米函数为 .讲解绝对零度时费米函数的物理意义!如上图，的性质需特别注意.当时，（1）式为 .，（令） ， 为费米能级， 为费米动量.上式说明粒子按能量的分布不是均匀的.对于 .可计算知: .在时,费米能量(面)附近(范围)内的电子被激发到费米面以上.3.电子热容量这里,我们仅做估算. 受激电子数/电子数, 每个电子获得的能量为,则电子气获得的能量为而则(电子贡献).与实验相符.估算与精确结果仅有30%的误差. 课本作业：7.5-7.7.问题讨论：1、简述费米函数的物理意义。 2、费米函数中的化学势是什么？3、单电子最外层有一个电子，基态时处于最低能级，当许多原子结合在一起，形成什么形式的能级？6.3 光子气体（Photon Gas）1 黑体辐射的Planck公式(Planck formula of black-body radiation)2 光子系热力学(Thermodynamics of photon system)1光子可近似为理想气体，静止质量为零，自旋为1，光子数不守恒，. 黑体辐射：的任何物体可辐射（吸收和放出）电磁波（两个偏振方向），称为热辐射，为可见光，为红外线，只吸收电磁波的物体为黑体.典型的黑体为空腔(Cavity)，腔内辐射与吸收达平衡时，称为平衡辐射(Equilibrium radiation)，计算此时辐射场的能量按频率的分布:,故 .定义态密度，在范围内的状态数为,需 , 在内光子态数为 ， 而， .故而 内的辐射能 . （1）（1）为黑体辐射的Planck公式.高温时 , （2） Rayleigh-Jeans公式低温时 . （3） Wein Formula总能量 .讲积分化简 其中 . dA c2.辐射通量密度(Flux density of radiation)是在单位时间内通过单位面积向一侧辐射的总辐射能量，设有一束电磁波投射到上，则在单位时间内向一侧辐射的能量为圆柱体之体积与之乘积.Cylinder 体积为，辐射的能量 .平均而言，在单位时间内通过向立体角内辐射的能量为.总辐射能量 . 辐射通量密度 ，称为stefan公式. 由此公式可测量辐射体的温度（如太阳、熔炉）.另外：由（1）据，可求出在内的辐射能T3 T2 T1由上式可找出的极大值，即，上图称为Wein位移律.课本作业：7.9.6.4 玻色爱因斯坦凝结（Bose-Einstein Condensation）1 玻色子特征(Characteristic of Bosons)2 玻色凝结3 热容量(Heat capacity)1对于的玻色子 . .最低能级.对于准连续情形 ,. （1）由于忽略了 的粒子数，当很低时，需考虑此.故 ,. （2）2玻色凝结，若体系在不变时降温，（1）式中欲不变，需直至为零，此时.则 .设 ，可有. （3） 称为临界温度.时，粒子开始在能级聚集，称为凝结.（1）、（2）、（3）结合有 . 如上图（讲解粒子占据与温度的关系）.3热容量，对情形 讲与温度指数定性关系 .时为经典理想气体，由比热特征，称为相变.如下图： 用于 理论值 , 实验值 .人们猜测的相系为但在为HeI，是正常流体，为He，是超流。在发生液化，应考虑分子间相互作用，理想玻色气体不可能有超流性.一直到95年才由Ketterle在气体上实现，朱棣文96年用激光致冷将钾气体冷冻到几乎静止，证实了，获诺贝尔奖，成为第5位华人获奖者.(参见：李剑君，大学物理，17，7，46（1998）)对于， ， 20000个原子