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第十章 动载荷 总目录 本章要点 1 动应力计算的三种类型 2 提高构件抗冲击能力的措施 重要概念 动应力 冲击 冲击韧度 动荷系数 10 1概述 目录 10 2构件作匀加速直线运动或匀速转动时的应力计算 10 3冲击时应力和变形的计算 10 4提高构件抗冲击能力的措施 10 5冲击韧度 10 1概述 基本概念 1 静载荷 从零开始缓慢地增加到最终数值 然后不再变化的载荷 2 动载荷 载荷明显的随时间而改变 或者构件的速度发生显著的变化 均属于动载荷 3 动应力 构件中因动载荷而引起的应力 从上面的定义中 我们可以看出 在以前各章中我们所讲述的都是构件在静载荷作用下的刚度和强度的计算 在这一章和下一章中我们将讨论构件在动载荷作用下的强度和刚度的计算 在讲述这种问题之前 先让我们看看动载荷作用情况下 材料与虎克定律的关系 二 动载作用下 材料与虎克定律的关系 实验表明 在静载荷下服从虎克定律的材料 只要动应力不超过比例极限 在动载荷下虎克定律仍然有效 且弹性模量与静载荷下的数值相同 三 动载荷问题的三种类型 1 构件作匀加速直线运动或匀速转动2 冲击3 振动 完 目录 10 2构件作匀加速直线运动或匀速转动时的应力计算 一 起重机匀加速吊杆问题 或 杆件匀加速运动问题 解 采用动静法 理论力学中的达朗伯原理 1 受力分析 如图所示 在距下端为x的横截面mn处将杆件分成两部分 并研究截面以下的部分 作用其上的重力集度为 截面m n上的轴力为 Nd 作用其上的惯性力的集度为 沿轴线均匀分布且方向与加速度a相反 2 平衡条件 因杆件为轴向拉伸 故横截面上的应力是均匀分布的 故 令 b 上面这种求解动应力的方法 我们就称为动静法 3 讨论 从 a 式中可看出 当X L时 得 最大静应力 故而 其强度条件应为 材料在静载作用下的许用应力 4 总结 现在我们大家回顾一下 所谓的动静法就是在作用于构件的原力系中加入惯性力系 然后按静力平衡处理 即可解决动应力的计算问题 二 圆环在匀角速旋转时的动应力计算问题 动静法 1 受力分析 沿圆环直径将它分成两部分 研究其上半部分 由已知条件可知 环内各点的向心加速度 沿环轴线均匀分布的惯性力集度为 2 平衡条件 由 10 1 讨论 2 由 10 1 和 10 2 可看出 环内应力仅与和v有关 而与横截面面积A无关 3 保证强度的措施 限制圆环的转速 增加横截面面积A并不能改善圆环的强度 课后看书注意 书中 指刘鸿文 的两个例题 10 1题是一个动载荷作用下的扭转问题 因此所要求的动应力是剪应力 而不是拉压应力 与我们上面分析的情况不同 但是其解决的方法都是一样的 用的都是动静法 并且在这个例题中用了一些高中物理中所学过的基本公式 希望大家注意 在10 2题中 受力杆是一个变截面杆 它的处理方法同我们过去对待静载荷用过的方法完全一样 即先微分后积分的方法 例10 1 图示均质杆AB 长为l 重量为Q 以等角速度 绕铅垂轴在水平面内旋转 求AB杆内的最大轴力 并指明其作用位置 解 完 目录 10 3冲击时应力和变形的计算 基本概念 冲击 当具有一定速度的物体作用于静止的构件时 其速度急剧下降 在极短的时间内使静止的构件承受巨大的打击力 这种现象称为冲击 如 锻造时 锻锤与锻件接触的非常短暂的时间内 速度发生很大的变化 以重锤打桩 用铆钉枪进行铆接 高速转动的飞轮或砂轮突然刹车等 都是冲击问题 我们可以思考一下 冲击物的速度在很短的时间内发生了很大的变化 甚至降低为零 表示冲击物获得了很大的负值加速度 因此 在冲击物和受冲构件之间必然有很大的作用力和反作用力 故而在受冲构件中将引起很大的应力和变形 我们下面开始对这种应力和变形进行计算 冲击物为刚体 被冲击物为弹性体 冲击物一旦与被冲击构件接触就相互附着成为一个自由度的运动系统 被冲击构件的质量很小 其惯性的影响可以忽略不计 不计冲击过程中的声 光 热等能量损耗 能量守恒 冲击过程为线弹性变形过程 保守计算 1 假设 动载荷 由冲击的定义我们可以知道 冲击的时间非常短促 而且不易精确测出 所以加速度的大小很难确定 故而惯性力也就难以求出 因而也就不可能进行受力分析 即 也就不可能使用动静法 在实际工作中 我们一般采用不需考虑中间过程 并且偏于安全的能量法 二 冲击变形和应力的计算 2 轴向自由落体冲击问题 解 1 假设 假设冲击物体为刚体 受冲构件的质量可以省略 在冲击物一经与受冲构件接触 就相互附着成为一个自由度的运动系统 a 2 由于冲击物体的初速度和最终速度都等于零 所以没有动能变化 2 由机械能守恒定律可知 d 将 b c d 代入 a 式 得 e 由于 在线弹性范围内 变形 应力和载荷成正比 故有 f 代入 e 式得 略去负值 得 g 若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为v 则 若已知冲击物自高度h处以初速度下落 则 2 突然作用于弹性体上的载荷 相当于h 0的特殊情况 由 g 式可看出 故在突加载荷作用下应力与变形皆为静载荷作用下的两倍 3 在实际问题中 一个受冲的梁或受冲的其他弹性构件 都可看成是一个弹簧 只是各种情况的弹簧常数不同而已 目录 讨论 3 不计重力的水平冲击 冲击前 冲击后 冲击前后能量守恒 且 动载荷 动荷系数 动荷系数 求动应力 解 求静变形 例1直径0 3m的木桩受自由落锤冲击 落锤重5kN 求 桩的最大动应力 E 10GPa 静应力 动应力 动载荷 例2 重物Q自由落下冲击在AB梁的B点处 求B点的挠度 例3 一重量P 5kN的重物 自高度h 15mm处自由下落 冲击到外伸梁的c点处 如图所示 已知梁为20b号工字钢 其弹性模量E 210GPa 求梁内的最大正应力 不计梁的自重 例4 等截面刚架 重物P 300N 自高度h 50mm处自由落下 冲击到刚架的A点 巳知刚架材料的E 200GPa 不计刚架的质量 且不计剪力和轴力对位移的影响 试计算A截面的最大垂直位移和刚架内的最大正应力 例5 梁的两端文撑在相同的弹簧上 弹簧的刚度c 300kN m 如图所示 重量为P 2kN的重物从高度h 20mm处自由落下 冲击到简支梁跨度中点的顶面上 已知该梁由20b号工字钢制成 跨长l 3m 钢的弹性模量E 210GPa 试求梁横截面上的最大正应力 不计梁和弹簧的自重 例6 在悬臂梁AB的中心点c处有一静载P 同时有一重量为Q的物体从高度为h处自由落下 如图所示 例7 梁和弹簧都相同的四种结构如图所示 其中缓冲效果最好的是 最差的是 例8 重量为Q的物体以水平速度v撞在等截面刚架的端点C 刚架的EI已知 试求动荷系数 例9 己知AB杆的弯曲刚度为EI 弯曲截面系数为W 弹簧刚度为k 一重量为P的物体以速度v沿水平方向冲击杆的B截面 如图所示 求危险截面A的最大正应力 10 4提高构件抗冲击能力的措施 由上两节的分析我们可以得到受冲击构件的强度条件如下 原因 静位移的增大 表示构件较为柔软 因而能更多的吸收冲击物的能量 二 受冲击构件的尺寸同冲击载荷的关系 如图 设冲击物的重量为Q 速度为v 由于冲击后冲击物的速度为零 故其变化为 受冲构件的变形能为 根据机械能守恒定律 例如 把气缸盖螺栓由短螺栓变成长螺栓就是这个原故 注意 上面的论述是对等截面杆而言的 不能用于变截面杆的情况 三 变截面杆同等截面杆的比较 根据机械能守恒定律 可求得两杆的冲击载荷分别为 如图所示 一变截面杆 一等截面杆 同样受到重量为Q 速度为v的重物的冲击 试比较它们的动应力 于是两杆的冲击应力分别为 a b 故而 对等截面杆得出的结论不能用于变截面杆 3 由弹性模量较低的材料制成的杆件 其静变形较大 故用E较小的材料代替E较大的材料 也有利于降低冲击应力 例题10 2 直径d 100mm的圆轴 一端有重量P 0 6kN 直径D 400mm的飞轮 以均匀转速n 1000r min旋转 图a 现因在轴的另一端施加了掣动的外力偶矩Me 而在t 0 01s内停车 若轴的质量与飞轮相比很小而可以略去不计 试求轴内最大动切应力 d max 解 飞轮的惯性力矩为 1 在掣动时 若为匀减速旋转 则 代入式 1 得 2 沿与 相反的转向 将Md作用于轴上 图b 得到一个假想的平衡力偶系 可得轴横截面上的扭矩Td为 轴的最大动切应力 d max为 4 飞轮的转动惯量 将已知数据代入式 4 得 3 例10 3 一长度l 12m的16号工字钢 用横截面面积为A 108mm2的钢索起吊 如图a所示 并以等加速度a 10m s2上升 若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重 试求吊索的动应力 以及工字钢在危险点的动应力 d max欲使工字钢中的 d max减至最小 吊索位置应如何安置 解 将集度为qd A a的惯性力加在工字钢上 使工字钢上的起吊力与其重量和惯性力假想地组成平衡力系 若工字钢单位长度的重量记为qst 则惯性力集度为 于是 工字钢上总的均布力集度为 由对称关系可知 两吊索的轴力 参见图b 相等 其值可由平衡方程 求得 吊索的静应力为 故得吊索的动应力为 由型钢表查得qst 20 5kg m 20 5N m g及已知数据代入上式 即得 同理 工字钢危险截面上危险点处的动应力 由工字钢的弯矩图 图c 可知 Mmax 6qstN m 并由型钢表查得Wz 21 2 10 6m3以及已知数据代入上式 得 欲使工字钢的最大弯矩减小 可将吊索向跨中移动 使梁在吊索处的负弯矩与梁跨中点处的正弯矩值相等 即得工字钢梁的最大弯矩减至最小时的吊索位置 完 目录 10 5冲击韧度 冲击试验 冲击韧度 单位 焦耳 毫米 J mm2