万有引力定律及其应用 黄冈.doc

万有引力定律及其应用（一） 主讲：熊涛一周强化一、一周知识强化本周的主要内容是学习万有引力定律，掌握万有引力定律的定义，表示方法，掌握有关万有引力定律来处理天体运动的计算方法和规律。二、重难点知识讲解（一）开普勒三大定律1、开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上2、开普勒第二定律：对于任意一个行星来说，他与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。3、开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟他的公转周期的二次方的比值都相等（二）万有引力定律1、内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比.2、公式：3、各物理量的含义及单位r表示两个具体物体相距很远时，物体可以视为质点.如果是规则形状的均匀物体，r为它们的几何中心间的距离.单位为“米”.G为万有引力常量，G=6.6710-11，单位为Nm2/kg2.是由卡文迪许发现的。4、卡文迪许实验的意义：（1）卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性（2）第一次测出了引力常量，使万有定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值（3）标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱力的新时代（4）表明：任何规律的发现总是经过理论上的推理和实验上的反复验证才能完成5、万有引力定律发现的重要意义：万有引力定律的发现，对物理学、天文学的发展具有深远的影响.它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了起来.在科学文化发展上起到了积极的推动作用，解放了人们的思想，给人们探索自然的奥秘建立了极大的信心，人们有能力理解天地间的各种事物.例1、如下图所示，在半径R20cm、质量M168kg的均匀铜球中，挖去一球形空穴，空穴的半径为 R/2 ，并且跟铜球相切，在铜球外有一质量m1kg、体积可忽略不计的小球，这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边，两球心相距是d2m，试求它们之间的相互吸引力解：完整的铜球跟小球m之间的相互吸引力为这个力F是铜球M的所有质点和小球m的所有质点之间引力的总合力，它应该等于被挖掉球穴后的剩余部分与半径为d/2的铜球对小球m的吸引力 F=F1+F2式中F1是挖掉球穴后的剩余部分对m的吸引力，F2是半径为R2的小铜球对m的吸引力。因为，所以挖掉球穴后的剩余部分对小球的引力为F1FF22.41109N（三）重力和万有引力的关系重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的。物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可认为二者大小相等，即（黄金代换式），式中g0为地球表面附近的重力加速度，R0为地球的半径所以在求第一宇宙速度时，可以用，也可以用（四）星球表面及其某一高度处的重力加速度的求法1、地球表面的重力加速度：由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般的情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为g。则根据万有引力定律（R0为地球的半径）。该式也适用于其他星体表面。2、离地面高h处的重力加速度，根据万有引力定律：（R0为地球的半径）（五）随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度 放于地面上的物体随地球自转所需的向心力由地球对物体的引力和地面支持力的合力提供；而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对它的引力提供两个向心力的数值相差很多，如质量为 1kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034N，而它所受地球引力约为9.8N。对应的两个向心加速度的计算方法也不同，譬如放于赤道上的物体随地球自转的向心加速度，式中T为地球自转周期，R0为地球半径；卫星绕地球环绕运行的向心加速度，式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离。（六）万有引力和天体运动1、基本方法：把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自万有引力，即：，应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析。2、天体质量M、密度的估算：测出卫星围绕天体作匀速圆周运动的半径r和周期T，由得：，（当卫星绕天体表面运动时，）3、卫星绕行速度、角速度、周期与半径的关系：（1）由得：，即；（r越大，v越小）（2）由得：，即；（r越大，越小）（3）由得：，即；（r越大，T越大）说明：卫星环绕半径r与该轨道上的线速度v、角速度、周期T、向心加速度a存在一一对应关系，一旦r确定，则v、T、a皆确定，与卫星的质量m无关。对于环绕地球运动的卫星，若半径r增大，其周期T变大，线速度v、角速度、向心加速度a变小；若半径r减小，其周期T变小，线速度v、角速度、向心加速度a增大。4、运行速度和发射速度：对于人造地球卫星，由得：，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，势能增大，所以向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难，将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度就越大。宇宙速度就是常见的发射速度：（1）第一宇宙速度（环绕速度）：v7.9kms；（地球卫星的最小发射速度）（2）第二宇宙速度（脱离速度）：v11.2kms；（卫星挣脱地球束缚的最小发射速度）（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：v16.7kms（卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度）5、卫星的变轨问题：卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。由得：，由此可知轨道半径r越大，卫星的速度越小。当卫星由于某种原因速度突然改变时，F和不再相等，因此就不能再根据来确定r的大小。当时，卫星做近心运动；当时，卫星做离心运动6、地球同步卫星：（1）所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的和地球具有相同周期的卫星，T24小时（2）同步卫星必位于赤道上方 h处，且 h是一定的。证明如下：如图假设卫星在轨道 B上跟着地球的自转同步地作匀速圆周运动，卫星运动的向心力来自地球对它的引力F引，F引中除用来作向心力的F1外，还有另一部分F2，由于F2的作用将使卫星运行轨道靠向赤道，只有赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。由得：（0为地球自转的角速度）得hrR035800km是一个定值。（3）环绕速度：在轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速度也一定，且为v3.08（kms）（4）变轨道发射：发射同步卫星，一般不采用普通卫星的直接发射方法，而是采用变轨道发射，如图：首先，利用第一级火箭将卫星送到180200km的高空，然后依靠惯性进入圆停泊轨道（A）；当到达赤道上空时，第二、三级火箭点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道（B），且轨道的远地点（D）为35800km；当到这远地点时，卫星启动发动机，然后改变方向进入同步轨道C。这种发射方法有两个优点：一是对火箭推力要求较低；二是发射场的位置不局限在赤道上。例2、某行星自转一周所需时间为地球上的6h，在这行星上用弹簧秤测某物体的重量，在该行量赤道上称得物重是两极时测得读数的90，已知万有引力恒量G6.671011Nm2kg2，若该行星能看做球体，则它的平均密度为多少?解析：在两极，由万有引力定律得在赤道依题意mg=O.9mg由式和球体积公式联立解得例3、两大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F。若两个半径为实心小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为A2FB4FC8FD16F解析：小铁球之间的万有引力大铁球的半径是小铁球的2倍，其质量：对小球有对大铁球有两个大铁球间的万有引力例4、把地球绕太阳公转看作是匀速圆周运动，轨道平均半径约为1.5108km，已知万有引力常量G6.671011Nm2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少kg？（结果取一位有效数字）解析：题干给出地球轨道半径：r1.5108km，虽没直接给出地球运转周期数值，但日常知识告诉我们：地球绕太阳公转一周为365天，故周期T3652436003.15107s万有引力提供向心力故太阳质量：例5、某人造卫星距地面h米，地球半径为R、质量为M，地面重力加速度为g，万有引力恒量为G（1）分别用h、R、M、G表示卫星周期T、线速度v、角速度。（2）分别用h、R、g表示卫星周期T、线速度v、角速度。解析：（1）根据向心力来自万有引力得：得：，（2）卫星在地球表面上受的万有引力近似等于mg：由得到代入得，例6、如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是：（）Ab、c的线速度大小相等，且大于a的速度Bb、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度Cc加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的cDa卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大解析：因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等，又b、c轨道半径大于a轨道半径，由知vbvcva，故A选项错；由加速度，可知abacaa，故B选项措；当c加速时，c受的万有引力，故它将偏离原轨道，做离心运动；当b减速时，b受到的万有引力，它将偏离原轨道，而离圆心越来越近，所以无论如何c追不上b，b也等不到c，故C选项错；对这一选项，不能用来分析b、c轨道半径的变化情况；对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视作稳定运行，由知，r减小时v逐渐增大，故D选项正确。答案：D例7、同步通讯卫星是进行现代通讯的重要工具我国在同步卫星发射方面已取得了令世人瞩目的辉煌成就，进入了世界航天大国的行列如图所示发射同步卫星过程示意图，发射时，先将卫星发射至近地圆轨道A；然后点火，使其沿椭圆轨B运行；最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道C，轨道A、B相切于Q点，轨道B、C相切于P点试研究以下几个问题：(1)当卫星分别为A、B、C轨道上正常运行时，试比较卫星在轨道C上速率与在轨道A上的速率的大小，以及卫星在轨道B上经过P点时的加速度与它在轨道C上经过P点时的加速度大小(2)有人认为在同步轨道上均匀分布三颗同步通讯卫星，就可实现全球卫星通讯，请你分析讨论这一观点正确与否(3)1987年，美国摩托罗拉公司的专家率先提出了一个方案：在距地球表面780km的太空轨道上建立一个由77颗小卫星组成的星座，每条轨道上分布ll颗卫星，这种卫星系统称为铱卫星系统采用铱卫星系统，能克服地球同步卫星的许多不足铱卫星系统能克服地球同步卫星哪些不足?请你列举一、二(只需猜想，不必论证)解析：同步卫星与一般的卫星有共同点，也有不同点，共同点是：它们都是在地球对其万有引力的作用下的圆周运动；不同点是：一般卫星的轨道要求较宽，只要轨道平面过地球的球心即可，而同步卫星的轨道要求较严，它的轨道平面不仅要通过地球的球心，而且要与赤道平面重合，如果不与地球的赤道平面重合，就不可能实现与地球的自转同步(1)当卫星分别在1、3轨道上正常运行时，都是在地球对其万有引力的作用下的圆周运动，即有则得卫星的速率为由上式可得，卫星在轨道3上的速率小于在轨道l上的速率又因为同一颗同步卫星在轨道2上经过P点与它在轨道3上经过P点时所受的地球的引力是相等的，由牛顿第二定律显见，这两个加速度是相等的(2)同步卫星的轨道平面不仅要与地球的赤道平面重合，而且其轨道的高度也有严格的要求该高度可由万有引力提供向心力求得，即式中，M为地球的质量，R为地球的半径，T为同步卫星的运行周期，也等于地球的自转周期(可取24h)整理代入有关数据得h3.587104km在同步轨道上互成120均匀分布三颗同步通讯卫星，能否实现全球卫星通讯?这要看三颗同步卫星能否覆盖到地球的每一个角落为此，我们不妨从卫星处作与地球相切的两条直线，如下图，根据上述计算，同步卫星的高度不是无限大，所以这两根切线总不可能通过地球的南北极点、由此可见，不管在同步轨道上发射多少颗卫星，都不