抛物线中的三角形面积问题.doc

抛物线中的三角形面积问题织里镇中学 汤建平（一）、教学目标1、知识与技能：会用合理的方法求抛物线解析式；能用数形结合、分类讨论、割补法等探究抛物线中三角形面积问题；2、过程与方法：通过学生独立思考、教师设问启发、分小组讨论的方式探究抛物线中的三角形面积问题，培养学生的解题思想，发展学生的探究能力。3、情感与态度：通过小组讨论培养学生合作交流意识、创新意识和探索精神。（二）、重点、难点教学重点：运用三角形、函数、方程有关知识，结合数学思想，探究抛物线中三角形的面积问题是重点； 教学难点：灵活运用数形结合、分类讨论、割补法等数学思想方法探究抛物线中三角形面积问题是难点。 (三)、教学方法 采用启发式教学法，发扬教学民主，鼓励学生大胆实践，真正落实学生是教学的主体，教师是教学的引导者。(四)、教学辅助多媒体平台、几何画板软件、三角板(五)、教学过程1、问题： 如图1，RtABC中，若有CO垂直斜边AB于点O，你能得到哪些结论？（对学生的回答要做积极合理的评价。）【预设】：学生应该会说出很多结论，但可能会很零乱，教师必要时可以引导学生从三个方面来考虑：1、从角考虑；2、从边考虑；3、边角结合考虑。 图1【设计意图】：此题设计目的是开放问题，在认识上求新。这个图是基本图形，这个问题是开放题，结论很多，可以让更多的学生充分的发表意见，这样既复习了基础知识的，又让部分学困生有机会体验成功，提高学习数学的兴趣。2、问题生成1：如图2，以AB所在直线为x轴，以CO所在的直线为y轴，建立直角坐标系，若AO1，OB4，请写出A，B，C三点的坐标.【预设】：对于A，B，C三点的坐标，大部分学生易得到（教师要关注学生A点坐标可能会出现的错误：A（1,0）)。【设计意图】：通过这个问题的练习，可以巩固学生根据线段确定坐标的方法。 图23、问题生成2：如图3：若一抛物线恰好经过A，B，C三点，试求它的解析式？【预设】：大部分学生会用交点式求抛物线的解析式，但也不排除会有个别学生用一般式求解析式，首先对其做法给予肯定，同时引导他进行比较，让他自己明白哪种方法更合适。【设计意图】：巩固学生如果已知抛物线与x轴的两个交点坐标，应该设交点式来求抛物线解析式。 图34、问题生成3：如图4，在上述问题中的抛物线上是否存在点P，使SABPSABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【预设】：会有学生会抢着答，存在存在，P点是点C关于对称轴的对称点；更多的学生会根据面积算出ABP的AB边上的高为2，即认为点P的纵坐标为2，带入抛物线解析式求解；也可能有学生会追喊“x轴下方还有2个P点，点P的纵坐标也可以为2”等，教师要对学生的表现给予充分的肯定。（板书完整过程）【设计意图】：检测学生怎样解决有一条已知公共边的两个三角形面积相等问题，巩固学生掌握运用“同底等高”方法解决此类面积问题。 图4【题后小结】：（1）、三角形面积相等问题常常用到：“同底等高”、“等底同高”方法等；（2）、注意“分类讨论”思想的合理运用。5、问题生成3变式一：如图4，在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使SABQ10，若存在求出点Q坐标，若不存在，请说明理由.【预设】：大部分学生会根据面积计算，求得Q点纵坐标为4，代入解析式解方程，解不出，所以不存在这样的点Q。如果没有学生自己主动提出其它方法的话，教师可以追问。追问1：你还有其它方法吗？（抛物线的顶点坐标是，所以这样的点Q不存在）追问2：在x轴下方是否存在这样的点Q，若存在，有几个？（x轴下方肯定有2个）【设计意图】：设计这个简单变式问题和2个追问，一是考查学生的计算能力、归纳概况能力、反应能力，提高学生的思维度，二是为学生合作解决变式二做好铺垫，扫清障碍。6、问题生成3的变式二：如图5，若T是抛物线上的点，SABTa，问点T的个数与a有什么关系？（这个问题关键点是确定x轴上方点T的个数，x轴上方点T的个数的关键点是先确定ABT面积最大值，即T在顶点处时的面积，然后作比较。）【预设】：在前面这个问题的铺垫下，让学生小组合作解决这个问题(事先4个人一个小组，分好组，确定组长)，应该有学生有能力解决这个问题。学生小组活动时，教师下课堂巡查学生活动，如有困难，可适时点拨一下。分析：如果点T为顶点（如图5），即T，此时，这是关键点.即当时，点T有三个；当时，点T只有两个； 当时，点T有四。 图5【设计意图】：从变式一中SABQ10到变式二中SABTa进行适度拔高，更能考查学生的综合能力，从中让学生了解命题变式的规律，指导学生以后解题怎样去变式、怎样举一反三等等，同时通过学生进行小组合作，培养学生团队合作精神。 【题后小结】：（1）、要注意分类讨论，确定重点，突破重点；（2）、要注重关注特殊位置，关键点。7、问题生成4：如图6，若E为直线BC上方的抛物线上的动点，当点E运动到什么位置时，BCE的面积最大，求此时点E的坐标。图6【预设】：学生可能出现的解答方法：方法1：如图7，；图7方法2：如图7，； 方法3：如图8，； 图8方法4：如图9，；此时点E坐标是（2，3）。图9【设计意图】：对于这类不规则三角形面积问题，让学生明确可以通过割补法来解决，具体怎么割补简便、合理是本题的重点和难点，教师要注意引领学生进行比较和小结，这样可帮助学生拓宽思路，深刻领悟割补法解决面积问题。【题后小结】：计算不规则图形面积时要注意灵活运用“割法”、“补法”、“割补结合法”。8、问题生成4变式：如图10，当SBCE最大时，抛物线与BCE一起沿射线CB下滑，直至E落在x轴上时停止，求抛物线上E、B两点间的抛物线弧所扫过的面积。图10 图11【预设】：部分学生对“抛物线上E、B两点间的抛物线弧所扫过的面积”可能不太理解，扫过后具体是这样一个图形也不一定找得出来，必要时教师引导。找到了扫过后图形，有了前面的基础，学生应该会想到用割补法（割补成一个平行四边形EBB1E1，如图11）计算，具体计算又会遇到问题，必要时点拨。【设计意图】：此题设计的目的是挖掘深度，在层次上求新。通过让学生探究对不规则动态面积问题求解方法，把问题再拔高，突出数学的本质和内在规律，充分锻炼学生的思维能力的，提高学生的综合能力。9、课堂小结这节课你学到了什么？给学生足够的时间和空间，让学生充分发表见解，进行课堂的归纳小结。10、布置作业（课堂练习的有效延续）：（1）、基础题：问题生成3中的SABC改为SAOC，再去试试；（2）、提高题：如图11，当SBCE最大时，BCE以每秒个单位长度的速度沿射线CB下滑，直至E落在x轴上时停止，设BCE落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围。图11（六）、课堂评价1、数学合作学习小组过程评价表 课题： 班级： 时间： 年 月 日 组别： 组长： 姓名： 组号 小组成员名单 组号 姓名 学号自我评价（等级、评语） 小组评价 2、学生数学学习综合评价报告书： 班级 学生姓名： 评 价 项 目评 价 等 第综 合 评 价奖 励 情 况基础知识与技能过程与方法发现、提出数学问题数学口语表达能力问题解决能力作业课堂作业家庭作业情感、态度及价值观伙伴评价教师评价家长反馈评价标准： 1 与人合作，勇于承担任务。有较强的团队竞争意识。 2 态度认真，积极参与讨论，针对讨论的话题提出有价值的问题，发表有见解的言论。 3 遵守课堂纪律，不喧哗，不干扰他人，不讲题外话。 4 充分尊重老师和同学，虚心地听取他人的意见。 A等：能认真完成以上各项，效果好。B等：能认真完成其中3-4项，效果较好。C等：能认真完成其中2项，效果一般。（七）、设计说明初三复习课设计的切入点不宜过大，可以对选准的一个切入点进行延伸、拓展、挖掘，把这一类问题讲清、讲透。我所选择的抛物线中的三角形面积问题选择一个基本图形出发，对问题条件进行有效层层叠加，有效生成梯度练习，生成的问题让学生自己解决，必