数学学业考试命题思考.doc

数学学业考试命题思考一、基于新课程的评价理念1 评价既要关注结果，也要关注发展过程评价者从由看门人转化为学习的促进者；不但考查已经掌握的，还应当看潜力、发展趋势。了解多种类型的测试：学业、技能、能力、个性；2 评价与教学保持一致教什么，考什么；从考试的角度看，教学方面所发生的根本性转变之一是：先前：数学学习被更多地视为掌握一些知识、技能，而对数学知识技能的把握可以通过这样的方式进行：将该领域内的知识技能分解成若干个“知识点”（概念、技能、定理等），再依次通过模仿、训练来掌握这些“知识点”。所以，对数学学习状况的整体考查会被视为为对一些具体“知识点”掌握情况的总和。联系与结构？策略与能力？可以考查学生产生新数学知识的能力吗？能够考查他们拓展或更改熟悉对象的能力吗？ 现在，教学比以往更多地关注从事探究活动的能力、获得知识的能力、提出问题与解决问题的能力；让学生从事交流、推理、解释、反思，创造性地应用所学的知识。这样，数学学习领域是否可以被分解为一些学习主题？考查的对象是否可以包含一些数学活动过程中的行为？代数模型；几何；运动；概率与统计；数学结构；数学推理。数学活动行为：运算，理解，推理，应用。3恰当评价基础知识、基本技能的掌握情况掌握意味着理解、应用；过高的熟练程度和某些特定的内容与技巧不是必须；掌握的最终目的在于有效使用知识与技能的使用需要有一定的背景；应当在新的条件下重新审视对技能的基本要求。4评价主体与评价方式应当多样化任何类型的评价都可能对某些目标有效，对其它目标无效。一张试卷并不能帮助我们评估学生数学学习的所有重要方面，我们必须增加其他的评价方式。二、基于新课程的学业考试重心1 核心知识（含思想方法）指具有基础性、拓展性、广泛应用性的知识、技能、思想方法和解决问题的基本策略。考查的重心是理解、应用等，不在于熟练，特定的技巧等。核心知识如：运算、代数模型、图形基本特征（对称等）和表示方法、数据处理的基本方法、概率模型等；重要的解决问题策略如：猜想、检验、反思、利用数量关系、运用逻辑推理、寻求问题模式、画图、制作一个有条理的列表、化简。例 不通过计算，比较下图中甲、乙两组数据的标准差。例 如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）A、三角形的稳定性 B、两点之间线段最短C、两点确定一条直线 D、垂线段最短例 一种类型的概率试题关注“古典概型”中的求概率值问题：两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序，两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则总是先观察后上车，当第一辆车开过来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况。如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车。如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试解决下列问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有几种不同的可能？（2）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大？为什么？例 在一个正三角形的每个顶点上各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始沿三角形各边朝其它顶点做直线运动，假设目标顶点是随机选择的且每只蚂蚁行进速度相同，为了研究蚂蚁互不相撞的概率，请你设计一种便于动手操作的等效实验进行模拟。 另一种类型的试题则可以是：借助数据分析的方法，分析某个随机事件的发生情况，例如：图钉落地后针头朝上数目的比例；某个路口通过的车辆数；问题呈现方式：要求学生设计一个解决问题的过程，包括收集有关数据，处理数据、并根据结果做推测。2 数学思考指学生在数感与符号感、空间观念、统计意识、推理能力、应用数学解决问题的意识和方法等方面的发展情况，其内容主要包括：借助符号表达数量关系、和符号转换获得对事物的理解；借助直观和符号进行表达、思考与推理；有效地处理数据，并依据结果作推断；例如，对于学生“空间观念”发展情况的考查，可以从以下几个方面入手：能否根据问题的特点和求解的需要，采用适当的方式表达一些几何对象（现象）坐标、图形、现实模型等；是否能够在自己的头脑里进行“思想实验”借助图形、想象、和逻辑推演从事对几何对象的各种“操作”；是否能够采用不同的方式探索研究对象的有关性质包括观察、折叠、变换、图形的分解与组合、逻辑推演等。3 解决问题 指能从数学的角度提出问题、理解问题、并综合运用数学知识解决问题；具有一定的解决问题的基本策略；能合乎逻辑地与他人交流；具有初步的反思意识等等。例如，当我们意图考查学生提出问题的能力时，以下几个方面的内容应当成为考查所关注的主要对象：能否在一些数学情境、“非纯粹数学情境”如生活中、与自然、社会相关的某些现象中、或者其他学科研究的问题情境中，识别出相关的数学对象、数学规律；能否在一些数学或非数学现象中意识到有数学问题（疑问）存在例如在一些图形、解析式、数据、游戏过程、自然与社会活动过程等对象中发现值得研究的数学问题；是否能够用准确的、他人可以理解的数学语言（符号）将问题清晰地表述出来等。关注问题的现实性、数学内涵：例 某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示。 当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度? 请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法； 请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明:要画出必要的、反映解题思路的辅助线）. 长方形的长应当是多少?4 数学活动过程数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究、证明等活动的意识、能力和信心等。具体的行为包括：能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程。例如，当我们意图考查学生从事探索性数学活动过程的相关指标时，以下几个方面的内容应当列入考查范围：能否积极有效地观察所探索的对象通过对若干具体情况的观察而发现存在于探索对象背后的数学现象；能否采用某种明确而有效的思维方法研究这些数学现象之中的规律性例如借助归纳、类比、逻辑判断等方法获得某种合乎情理的猜测；是否能够寻找出从逻辑的角度有效说明猜测正确的策略知道与需要证明的猜测有实质性逻辑关系的基本数学原理，在整体上把握了一个使得猜测得以证明的“逻辑链条”；是否能够用恰当的数学语言表达自己的探索与论证过程；等等。 三、一些正在进行的新尝试1 引入开放性试题从考试的角度来看，开放性试题的价值包括： 给学生一个机会，让他们表达与自己的数学理解程度相一致的数学观点； 让学生形成自己的答案，并且在形成答案的过程中尽可能使用自己所熟悉的语言、知识、方法等； 允许学生对一个问题，在他们自己理解的程度上进行证明； 鼓励学生用许多种方法解决问题。2关注考查数学学习能力了解作为成绩基础的学习过程的信息，它与成绩测试不同在于：前者关心作为成绩基础的学习过程的信息，而后者只关心成绩本身。通常，前者的试题素材可以是学生不熟悉的背景，而后者的试题素材则大多需要是学生熟悉的背景。这里，我们关注学生获得知识、方法，以及在新情境中的迁移能力，即关注个体的潜力、发展、个性特征。具体方式包括设置探索性学习活动，让学生在已有信息基础上，发现规律，寻找模式，以及分析数据找出关系等。 阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图8所示，矩形ABEF即为ABC的“友好矩形”.显然，当ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2) 如图8，若ABC为直角三角形，且C=90，在图8中画出ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若ABC是锐角三角形，且BCACAB，在图8中画出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明. 它体现出对改变学生单一的几何学习方式从学习几何知识到再学习几何知识，的一种积极性作用，使得几何内容的学习有了“从数学实验数学发现数学证明”，的过程。即：重视几何知识的发生过程和学生研究几何问题的体验。例 已知：在ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如图） 求证：SOBC =SOAB SOAD = SOCD 对于一般四边形ABCD而言（如图），O是对角线BD上任意一点 我们可以得到什么结论从上面的证明过程可以获得启示。如果O是BD延长线上一点，还能得到上面结论？在三角形中（如图），是否有类似的结论？ 通过反思活动进行学习，加深对问题的理解什么是结论成立的实质性条件，改变一些条件会带来什么变化？变化是本质的吗？深刻的理解力与有条理的研究力是重要的数学学习能力。3关注个性化评价允许选择任务，有时可以避免使得问题解决能力的考查被技能性考查所替代，即避免个体由于技能的缺陷而未能获得正确答案。体现出“承认差异、尊重个性、给每一位学生以充分的发展空间”的基本理念。 具体的操作方式主要有以下三种：1 设置自主选择试题在试卷上设立可以选做的试题，让学生根据自己的数学学习状况、认知特征，选择恰当的试题做答，以充分表现自己数学学习才能； 例 解答题(本大题有2小题，每小题有A类、B类两题，A类每题6分，B类每题8分,你可以根据自己的情况，在每小题的两类题中只选做一题；如果在同一小题中两类题都做，则以A类题计分.)(A类)已知正比例函数与反比例函数 的图象都经过点(2，1).求这两个函数关系式.(B类)已知函数y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y =1；当x = 3时，y = 5.求y关于x的函数关系式.我选做_类题，解答如下： 设计“补差”的附加题，以保证一定区分度的同时，又能具有较高的合格率，从而兼顾学业考试的选拔功能和目标检测功能。例 友情提示：请同学们做完上面考题后，再认真检查一遍，估计一下你的得分情况如果你全卷得分低于90分（及格线），则本题的得分将计入全卷总分，但计入后全卷总分最多不超过90分；如果你全卷得分已经达到或超过90分，则本题的得分不计入全卷总分1.解方程：2.如图，在ABC中，A=70，B=50，CD平分ACB求ACD的度数 设计“提优”的附加题，以满足不同知识水平的学生要求，鼓励学生积极进取、勇于创新。这样的试题在学业考试中运用值得进一步探索与研究。例 （本题12分，附加题5分，累计总分不超过满分150分如图131，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），取线段AE的中点M探究：线段MD，MF的关系，并加以证明说明： 如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；ABCDEFGMN162345ABCDEFGHMN16273845 在你经历说明的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明注意：选取完成证明得10分；选取完成证明得7分；选完成证明得5分 DM的延长线交CE于点N，且ADNE； 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45（如图132），其他条件不变； 在的条件下且CF2AD附加题：若将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图133），其他条件不变探究：线段MD，MF的关系，并加以证明2 提供开放性试题力图使得每一个学生都能够根据自己的思考角度、对试题背景的理解程度，提出一个问题、给出一个结论（猜想）、或提供一种结论之所以成立的解释（证明），等等；3 制订个性化评分标准对于某些具有个性化的试题求解过程，例如提出问题、给出开放性试题的答案等，制订一个开放的、因人而异的评分标准，使得所有对试题提供了实质性解答的学生都能够获得相应的分数，而不是简单地将学生的解答套入事先预定的“标准解答”体系之中。四、若干需要研究的问题1考试中计算器的使用2引入结构不良的问题为了评估学生选择有用信息、抛开无用信息的能力程度，选择一些条件不足的，不可解的，或条件不相干的（条件多余）的题目作为试题。3. 尝试编制一些“建构式”问题让学生在解决问题的过程中从事描述、解释、理解，探索、猜测、推理等活动。例：如果需要估计自己所在教室的长度，现在已经知道课桌的长度，你准备怎么做？用什么方法？假如你正打电话给你的一个同学，想要他画一些图，但他看不到这些图。为了让他能把下列图形画出来，写一些指导说明。一个具有abcabc形式的整数共有几个质因数，哪个质数总是它的质因数？怎样解决这个问题？用尺规作图的方式画一个正好有两条对称轴的六边形。写出作图过程、解释答案的正确性.如何确定一个圆形纸片的圆心？给出几个凸四边形和凹四边形的图形，让学生定义：什么是凹四边形。4. 有效从事对“建模能力”的考查 “建模能力”是应用数学解决问题能力的重要成分。需要区别以往的列方程解应用题式的问题。建模活动中的具体行为包括：抽象、分析、表达、解释。例：给两个用图像表示的电话收费规则。询问 某条直线过原点说明什么、另一条直线不过原点说明什么？交点说明什么？提供不同的使用情况，你更愿意选用哪一个？ 如果提高单位通话价格，那么图象会发生什么变化？如果收取基础话费，那么图象会发生什么变化？例 如图，有三座灯塔A，B，C，有一位船长驾驶船在海上航行，他有一张海图，海图上标有整个海域所有灯塔的地理位置和高度，船长还有测倾器和仪表盘。（1）请你设计方案来求得船与灯塔之间的距离。（2）请你设计方案来帮助船长确定船的位置。现实的数学不一定就是浅薄的数学。5. 开发某些新颖试题的评分标准 对于开放性试题，如何形成一个理想的评分标准，使它能够： 提供比较完整的解答； 对不同的解答赋予相应的分值； 对答案合理成分的量化尺度； 对存在于不正确答案之中相关合理成分的提取。 是否可以尝试在赋分方式上做一些改变？有些试题采用整体性赋分策略，将解题过程视作一个整体，运用所有的评价指标去评价所需要考虑的每一个方面，然后将其合计，给出一个总的评价，常常就是一个量化的等级；有些试题采用分析性赋分策略对每一个解题环节给出评价，但尝试在一些项目的扣分或赋分时限定一个“不超过X为限”的标准。 五、评价改革的最终出路1一个书面考试的成绩究竟能够说明什么下图中有几个线段写出下图中所有线段。A B o D C AB、AC、AD、AO；BC、BD、BO；CD、CO、DO。AB、BC、CD、DA； AC、BD；AO、OC、BO、OD。 AB、CD；AD、BC； AC、AO、OC、BD、BO、OD2对现实存在的理性思考在进行精心准备与未进行精心准备之间存在巨大的差异；应届毕业生与已经升学学生之间的差异；教师与应试学生之间的差异；如果所有的教学都以应对考试为最终目标，那么，教学将毫无疑问地偏向考试，其结果是学生精通考试中的各种任务，而不去深刻理解出题者希望评估的知识；而如果以学生的测试成绩作为衡量他们数学学习成功程度的唯一指标，那么不管使用什么样的试题来评价，我们都非常可能对学生的数学能力产生十分错误的印象。在这样的环境下，即使能力稍差的学生，只要他善于计算，上课专心听讲，按规定认真仔细地完成所有作业，那他就很有可能获得与那些有数学才能的学生同样好的成绩。3基于新课程的评价需要多样化的评价方式 现状、思考与尝试。复旦与交大的招生改革尝试。4种主要的选拔性测验：1 成绩测验以学生被要求学习的内容为基本的评价对象；2 智力测验对各种智力领域的推理能力的评价，如：语言推理、数值推理、图形推理等。它们一般