高等数学 基础班(第14-18课).pdf

第五章第五章第五章第五章 定定定定 积积积积 分分分分 第五章 定积分 1 1 1 1 定义 定义 定义 定义 n n n n k k k k k k k kk k k k b b b b a a a a x x x xf f f fx x x xx x x xf f f f 1 1 1 1 0 0 0 0 limlimlimlimd d d d 3 3 3 3 可积性 可积性 可积性 可积性 1 1 1 1 必要条件 必要条件 必要条件 必要条件 x x x xf f f f 有界 有界 有界 有界 2 2 2 2 充分条件 充分条件 充分条件 充分条件 x x x xf f f f连续或仅有有限个第一类间断点 连续或仅有有限个第一类间断点 连续或仅有有限个第一类间断点 连续或仅有有限个第一类间断点 2 2 2 2 几何意义 几何意义 几何意义 几何意义 第五章 定积分 定积分概念 公式及要点定积分概念 公式及要点定积分概念 公式及要点定积分概念 公式及要点 4 4 4 4 计算 计算 计算 计算 1 1 1 1 d d d d a a a aF F F Fb b b bF F F Fx x x xx x x xf f f f b b b b a a a a 2 2 2 2 换元法 换元法 换元法 换元法 3 3 3 3 分部积分法 分部积分法 分部积分法 分部积分法 4 4 4 4 利用奇偶性 周期性 利用奇偶性 周期性 利用奇偶性 周期性 利用奇偶性 周期性 5 5 5 5 利用公式 利用公式 利用公式 利用公式 22222222 00000000 00000000 131131131131 22 222 222 222 2 sindcosdsindcosdsindcosdsindcosd 132132132132 23232323 sin d sin d sin d sin d sin d sin d sin d sin d 2 2 2 2 nnnnnnnn nnnnnnnn n n n n nnnnnnnn xxxxxxxxxxxxxxxx nnnnnnnn n n n n nnnnnnnn x fxxfxxx fxxfxxx fxxfxxx fxxfxx 偶偶偶偶 奇奇奇奇 第五章 定积分 定积分的定积分的定积分的定积分的5 5 5 5种计算方法种计算方法种计算方法种计算方法 5 5 5 5 变上限积分 变上限积分 变上限积分 变上限积分 x x x x a a a a t t t tt t t tf f f fd d d d x x x xf f f f b b b ba a a a x x x x a a a a t t t tt t t tf f f fd d d d b b b ba a a a d d d d x x x xf f f ft t t tt t t tf f f f x x x x a a a a 1 1 1 1 定理 设 定理 设 定理 设 定理 设在在在在上连续 则上连续 则上连续 则上连续 则在在在在 上可导且上可导且上可导且上可导且 2 2 2 2 变上限求导的三个类型 变上限求导的三个类型 变上限求导的三个类型 变上限求导的三个类型 x x x x x x x x f t dtfxxfxxf t dtfxxfxxf t dtfxxfxxf t dtfxxfxx x x x x x x x x f x t dtf x t dtf x t dtf x t dt b b b b a a a a f x t dtf x t dtf x t dtf x t dt 第五章 定积分 变上限积分和变上限求导变上限积分和变上限求导变上限积分和变上限求导变上限积分和变上限求导 sinsinsinsin 2 2 2 2 2 2 2 2 dt dt dt dte e e ex x x xF F F F x x x x x x x x t t t t 0 0 0 0 dt dt dt dtt t t tf f f ft t t tx x x xx x x xF F F F x x x x x x x xf f f f sin sin sin sin 0 0 0 0 2 2 2 2dt dt dt dt t t t tx x x xx x x xF F F F x x x x 1 1 1 1 0 0 0 0 dt dt dt dtx x x xt t t tf f f fx x x xF F F F x x x xf f f f 例例例例 求下列变上限积分函数的导数 求下列变上限积分函数的导数 求下列变上限积分函数的导数 求下列变上限积分函数的导数 2 2 2 2 其中其中其中其中 是连续函数 是连续函数 是连续函数 是连续函数 3 3 3 3 其中其中其中其中是连续函数 是连续函数 是连续函数 是连续函数 1 1 1 1 4 4 4 4 第五章 定积分 22222222 sinsinsinsin cos2 cos2 cos2 cos2 xxxxxxxx FxexexFxexexFxexexFxexex 00000000 xxxxxxxx F xxf t dttf t dtF xxf t dttf t dtF xxf t dttf t dtF xxf t dttf t dt 解解解解 变上限积分和变上限求导变上限积分和变上限求导变上限积分和变上限求导变上限积分和变上限求导 第四章 不定积分 00000000 xxxxxxxx Fxf t dtxf xxf xf t dtFxf t dtxf xxf xf t dtFxf t dtxf xxf xf t dtFxf t dtxf xxf xf t dt 令xtuxtuxtuxtu 则 则 则 则 dtdudtdudtdudtdu 2 2 2 2 0 0 0 0 sin sin sin sin x x x x F xu duF xu duF xu duF xu du 2 2 2 2 sin sin sin sinFxxFxxFxxFxx txutxutxutxu dtdudtdudtdudtdu 1 1 1 1 x x x x x x x x F xf u duF xf u duF xf u duF xf u du 1 1 1 1 Fxfxf xFxfxf xFxfxf xFxfxf x 令 则 则 则 则 变上限积分和变上限求导变上限积分和变上限求导变上限积分和变上限求导变上限积分和变上限求导 6 6 6 6 性质 性质 性质 性质 1 1 1 1 不等式 不等式 不等式 不等式 x x x xg g g gx x x xf f f f d d d d d d d d x x x xx x x xg g g gx x x xx x x xf f f f b b b b a a a a b b b b a a a a 若若若若 则则则则 x x x xf f f f b b b ba a a a d d d d a a a ab b b bMMMMx x x xx x x xf f f fa a a ab b b bm m m m b b b b a a a a 若若若若在在在在上连续 则上连续 则上连续 则上连续 则 d d d d d d d d x x x xx x x xf f f fx x x xx x x xf f f f b b b b a a a a b b b b a a a a 第五章 定积分 变上限积分和变上限求导变上限积分和变上限求导变上限积分和变上限求导变上限积分和变上限求导 2 2 2 2 中值定理 中值定理 中值定理 中值定理 x x x xf f f f b b b ba a a a b b b ba a a aa a a ab b b bf f f fx x x xx x x xf f f f b b b b a a a a 发散发散 收敛收敛 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P P P P P P P P dxdxdxdx x x x x a a a a P P P P 0 0 0 0 a a a a常用结论 常用结论 常用结论 常用结论 1 1 1 1 2 2 2 2 第五章 定积分 反常积分及常反常积分及常考题型考题型 2 2 2 2 无界函数无界函数无界函数无界函数 a a a a x x x xf f f f b b b b a a a a b b b b a a a a dxdxdxdxx x x xf f f fdxdxdxdxx x x xf f f f limlimlimlim 0 0 0 0 设设设设为为为为的无界点 的无界点 的无界点 的无界点 常用结论 常用结论 常用结论 常用结论 发散发散 收敛收敛 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P P P P P P P P dxdxdxdx a a a ax x x x b b b b a a a a P P P P 第五章 定积分 反常积分及常考题型反常积分及常考题型 常考题型常考题型常考题型常考题型 反常积分计算 反常积分计算 反常积分计算 反常积分计算 1 1 1 1 d d d d 1 1 1 1 x x x x x xx xx xx x 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 d d d d x x x xx x x x x x x x 1 1 1 1 d d d d 1 1 1 1 x x x x x xx xx xx x 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 d d d d x x x xx x x x x x x x 都收敛都收敛都收敛都收敛 都发散 都发散 都发散 都发散 例例例例1 1 1 1 下列结论中正确的是下列结论中正确的是下列结论中正确的是下列结论中正确的是 与与与与 与与与与 1 1 1 1 d d d d 1 1 1 1 x x x x x xx xx xx x 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 x x x xx x x x dxdxdxdx 1 1 1 1 d d d d 1 1 1 1 x x x x x xx xx xx x 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 d d d d x x x xx x x x x x x x 发散 发散 发散 发散 收敛收敛收敛收敛 收敛 收敛 收敛 收敛 发散 发散 发散 发散 A A A A B B B B C C C C D D D D 第五章 定积分 反常积分及常考题型反常积分及常考题型 解解解解 lnln 1 lnlnln 1 lnlnln 1 lnlnln 1 ln 1 1 1 1 1 1 1 1 dxxdxxdxxdxx xxCCxxCCxxCCxxCC x xxx xxx xxx xx 则则则则 1 1 1 1 1 1 1 1 dxdxdxdx xxxxxxxx 收敛收敛收敛收敛 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 dxdxdxdx xxxxxxxx 发散发散发散发散 故应选 故应选 故应选 故应选 D D D D 反常积分及常考题型反常积分及常考题型 1 1 1 1 3 3 3 31 1 1 1 e e e ee e e e d d d d x x x xx x x x x x x x I I I I 例例例例2 2 2 2 计算计算计算计算 第五章 定积分 解解解解 3 3 3 3 132 1 132 1 132 1 132 1 11111111 1 1 1