第一章 常用逻辑用语单元质量评估课时作业 新人教A.doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 第一章 常用逻辑用语单元质量评估课时作业 新人教A版选修2-1 (120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“对于正数a,若a1,则lga0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.原命题“对于正数a,若a1,则lga0”是真命题;逆命题“对于正数a,若lga0,则a1”是真命题;否命题“对于正数a,若a1,则lga0”是真命题;逆否命题“对于正数a,若lga0,则a1”是真命题.2.(2013浙江高考)若R,则“=0”是“sincos”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】让“=0”和“sincos”其中一个作条件,另一个作结论,判断命题是否正确.【解析】选A.当=0时,sin=0,cos=1,所以sincos;若sin0”是“|x|0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由x0|x|0,充分,而|x|0x0或x0,则p为()A.x0R,+10B.x0R,+10C.x0R,+13”是“x29”的充要条件,命题q:“”是“ab”的充要条件,则()A.“pq”为真B.“pq”为真C.p真q假D.p,q均为假【解析】选A.由x3能够得出x29,反之不成立,故命题p是假命题;由能够推出ab,反之,因为0,所以由ab能推出成立,故命题q是真命题.因此选A.5.(2014襄阳高二检测)下列命题中是全称命题的是()A.圆有内接四边形B.C.cb2”的充要条件是“ac”C.命题“对任意xR,有x20”的否定是“存在x0R,有0”D.l是一条直线,是两个不同的平面,若l, l,则【解题指南】利用逻辑用语的知识逐一验证.【解析】选D.对于选项A,a0时不成立;对于选项B,b=0时不成立;对于选项C,应为0;对于选项D,垂直于同一直线的两平面平行.所以只有D正确.8.(2014烟台高二检测)已知p:,q:coscos,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】根据原命题与其逆否命题的真假性相同,要判断p是q的什么条件,只需判断q是p的什么条件.【解析】选B.p:=;q:cos=cos,显然pq成立,但qp,所以q是p的必要不充分条件,即p是q的必要不充分条件.9.(2014海口高二检测)已知命题p:x0(-,0),命题q:x(0,1),log2xf(2)=-2且0a1,解得a.12.下列各小题中,p是q的充分必要条件的是()p:cos=cos,q:tan=tan;p:=1,q:y=f(x)是偶函数;p:AB=A;q:BA;p:m6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点.A.B.C.D.【解析】选C.当=,=-时,cos=cos,tantan,故pq,同理pq,不符合;由=1f(x)=f(-x)f(x)为偶函数,而逆命题为假,如f(x)=x2,不符合;由AB=AABBA,符合;函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点的充要条件为=m2-4(m+3)0,即(m+2)(m-6)0,解得m6,符合.【误区警示】原命题与逆命题都真时,命题的条件与结论互为充要条件,本题易忽视对命题“若p,则q”以及逆命题“若q,则p”的真假的判断而误选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2014许昌高二检测)命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是_.【解析】逆否命题只需将原命题的条件与结论变换并否定即可.逆否命题为:圆的切线到圆心的距离等于半径.答案:圆的切线到圆心的距离等于半径14.(2014九江高二检测)命题p:0,sin01是(填“全称命题”或“特称命题”),它是命题(填“真”或“假”),它的否定p:,它是命题(填“真”或“假”).【解析】命题p含有存在量词“”,故p是特称命题,是假命题,它的否定是全称命题,真命题.答案:特称命题假,sin1真15.(2014兰州高二检测)已知命题p:|x2-x|6,q:xN,且“pq”与“q”都是假命题,则x的值为.【解析】由“pq”与“q”都是假命题,知p假q真,得解得x=3.答案:316.(2013天津高考)已知下列三个命题:若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切.其中真命题的序号是.【解析】命题由球的体积公式可知,一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的,正确;命题两组数据的平均数相等,若其离散程度不同,则它们的标准差也不相等,故该命题错误;命题圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离d=,与圆x2+y2=的半径相等,故直线与圆相切,该命题正确.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2014长沙高二检测)(1)写出命题:“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.(2)已知集合P=x|-1x3,S=x|x2+(a+1)x+a0,且xP的充要条件是xS,求实数a的值.【解析】(1)原命题为真,逆命题:若x=1或x=2,则x2-3x+2=0,是真命题;否命题:若x2-3x+20,则x1且x2,是真命题;逆否命题:若x1且x2,则x2-3x+20,是真命题.(2)因为S=x|x2+(a+1)x+a0=x|(x+1)(x+a)0,P=x|-1x3=x|(x+1)(x-3)0,x+2.(3)x0x|xZ,log2x02.【解析】(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.(2)命题中含有全称量词“”,是全称命题,真命题.(3)命题中含有存在量词“”,是特称命题,真命题.19.(12分)求关于x的方程ax2+2x+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件.【解析】方程ax2+2x+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件是:方程只有一个负实数根或有一个正实数根与一个负实数根或有两个负实数根,或有一负一零根,设两根为x1,x2,则a=0或或或即a=0或或或即a=0或或a=0或-1a0或0a1,即-1a1.即方程ax2+2x+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件是-1a1.【拓展提升】分类讨论的思想在求充要条件中的应用对于含有参数的数学式子,或者有关几何图形的不同位置等问题,解题时通常要对问题进行分类讨论.分类讨论时要清晰全面,做到不重复、不遗漏,分类讨论后,要进行概括性的整合总结.20.(12分)(2014宿州高二检测)已知命题p:方程x2-2mx+m=0没有实数根;命题q:xR,x2+mx+10.(1)写出命题q的否定“q”.(2)如果“pq”为真命题,“pq”为假命题,求实数m的取值范围.【解析】(1)q:x0R,+mx0+10.(2)若方程x2-2mx+m=0没有实数根,则=4m2-4m0,解得0m1,即p:0ma(a0)和条件q:0,请选取适当的实数a的值,分别利用所给的两个条件作为A,B构造命题:“若A则B”,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题.【解析】已知条件p即5x-1a,所以x,已知条件q即2x2-3x+10,所以x1;令a=4,则p即x1,此时必有pq成立,反之不然.故可以选取的一个实数是a=4,A为p,B为q,对应的命题是若p则q,由以上过程可知这一命题为真命题,但它的逆命题为假命题.22.(12分)已知函数f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(aR,且a-2).(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和,求g(x)与h(x)的解析式.(2)命题p:函数f(x)在区间(a+1)2,+)上是增函数;命题q:函数g(x)是减函数.如果命题p,q有且只有一个是真命题,求a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=g(x)+h(x),g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x),所以f(-x)=-g(x)+h(x),(-)2得g(x)=(a+1)x,(+)2得h(x)=x2+lg|a+2|.(2)因为函数f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|在区间(a+1)2,+)上是增函数,所以(a+1)2-,解得a-1或a-且a-2.又由函数g(x)=(a+1)x是减函数,得a-1且a-2.所以命题p为真的条件是:a-1或a-且a-2;命题p为假的条件是:-a-1或a=-2;命题q为真的条件是:a3能够得出x29,反之不成立,故命题p是假命题;由能够推出ab,反之,因为0,所以由ab能推出成立,故命题q是真命题.因此选A.2.【解题指南】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4.【解析】选A.设右焦点为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以方程为-=1.3.【解析】选B.由准线方程为x=-7,所以可设抛物线方程为y2=2px(p0),由=7,所以p=14,故方程为y2=28x.4.【解析】选B.+=1表示椭圆的充要条件是m0且m3.故选B.5.【解析】选C.由椭圆过点(-2,),所以+=1,解得b2=4,因此c2=a2-b2=12,所以c=2,2c=4.6.【解析】 选C.设直线x=与x轴交于点M,则PF2M=60,在RtPF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos60=,解得=,故离心率e=.7.【解析】选A.由得所以a=,因此双曲线的方程为-y2=1,所以渐近线方程为y=x.8.【解析】选A.以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2=c2,点(3,4)在圆上,可得c2=25,又双曲线的渐近线方程为y=x,又过点(3,4),所以有=,结合a2+b2=c2=25,得a2=9,b2=16,所以双曲线的方程为-=1.9.【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线A1B1和A2B2的斜率之间的关系即可.【解析】选A.由题意知,直线A1B1和A2B2关于x轴对称,又所成的角为60,所以直线方程为y=x或y=x.又因为有且只有一对相交于点O、所成的角为60的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,所以渐近线斜率满足,解得e2.故选A.10.【解析】选C.椭圆C2:+=k,即+=1,离心率=.11.【解题指南】由抛物线的定义把|FM|转化为点M到准线的距离,再结合直线的斜率,借助直角三角形进行求解.【解析】选C.设直线FA的倾斜角为,因为F(0,1),A(2,0),所以直线FA的斜率为-,即tan=-,过点M作准线的垂线交准线于点Q,由抛物线定义得|FM|=|MQ|,在MQN中=,可得=,即|FM|MN|=1.12【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),(m+n)x2-2nx+n-1=0,x1+x2=,x0=,y0=1-x0=.由kOM=,得=,又=,所以=.13【解析】由题意知=b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,即,代入双曲线方程为-=1,得=2,所以=1,所以渐近线方程为y=x.答案:y=x14【解析】由“pq”与“q”都是假命题,知p假q真,得解得x=3.15【解析】由已知得两焦点为(c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,c)均在椭圆内部,则1,得1,1,解得0e,所以e.答案:16【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则-,得+=0,又点P(1,1)是AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2,所以+=0,从而+y1-y2=0,又x1x2,所以直线l的斜率k=-.17【解析】(1)q:x0R,+mx0+10.(2)若方程x2-2mx+m=0没有实数根,则=4m2-4m0,解得0m1,即p:0m0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.19【解析】(1)依题意解得a2=3,b2=1.所以双曲线C的方程为-y2=1.(2)消去y得,(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0,由已知:1-3k20且=12(m2+1-3k2)0m2+13k2设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点P(x0,y0),则x0=,y0=kx0+m=,因为APCD,所以kAP=-,整理得