2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第64讲_极限和导数.doc

极限和导数相关知识1.导数的有关概念。(1)定义：函数y=f(x)的导数f/(x)，就是当时，函数的增量与自变量的增量的比的极限，即。(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。(3)几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率。2 求导的方法：(1)常用的导数公式：C/=0（C为常数）；(xm)/=mxm-1(mQ);(sinx)/=cosx;(cosx)/= -sinx ;(ex)/=ex;(ax)/=axlna;.(2)两个函数的四则运算的导数：(3)复合函数的导数：3.导数的运用：(1)判断函数的单调性。当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f/(x)0，则f(x)为增函数；如果f/(x)0，则f(x)为减函数。(2)极大值和极小值。设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)）,我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。(3)函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的求法。A类例题例1求函数的导数 (2)解 y=3,=axbsin2x,=avbyv=x,y=sin =xy=(3)=32=32(avby)=32(avby)=32(avby)=3(axbsin2x)2(absin2x)(3)解法一 设y=f(),=,v=x2+1,则yx=yvvx=f()v2x=f()2x=解法二 y=f()=f()()=f()(x2+1)(x2+1)=f()(x2+1) 2x=f()说明 本题3个小题分别涉及了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型 解答本题的关键点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数 本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错 例2观察，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若为偶函数 令 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证： 可导的偶函数的导函数是奇函数例3已知曲线C y=x33x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x00)，求直线l的方程及切点坐标 解 由l过原点，知k=(x00),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x033x02+2x0,=x023x0+2y=3x26x+2,k=3x026x0+2又k=,3x026x0+2=x023x0+22x023x0=0,x0=0或x0=由x0,知x0=y0=()33()2+2=k=l方程y=x 切点(，)情景再现1 在处可导，则 2已知f(x)在x=a处可导，且f(a)=b，求下列极限： （1）； （2）3设f(x)=(x-1)(x-2)(x-100)，求f(1)。B类例题例4 (1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；(2)若f(x)在R上可导，且f(x)= -f(x)，求f/(0)。(1)解：如果函数y=f(x)在x=0处的改变量y与自变量的改变量x之比，当时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。记作。(2)解法一：f(x)= f(-x)，则f(x)= f(-x) 当时，有 。 解法二：f(x)= f(-x)，两边对x求导，得 。链接说明 本题涉及对函数在某一点处导数的定义。题（2）可对其几何意义加以解释：由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数，它的图象关于y轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y轴对称，斜率为互为相反数，点(0,f(0)位于y轴上，且f/(0)存在，故在该点的切线必须平行x轴（当f(0)=0时，与x轴重合），于是有f/(0)=0。在题（2）的解二中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的奇函数的导函数为偶函数吗？例5 利用导数求和(1)Sn=1+2x+3x2+nxn1(x0,nN*)(2)Sn=C+2C+3C+nC,(nN*) 解 (1)当x=1时Sn=1+2+3+n=n(n+1);当x1时，x+x2+x3+xn=,两边都是关于x的函数，求导得(x+x2+x3+xn)=()即Sn=1+2x+3x2+nxn1=(2)(1+x)n=1+Cx+Cx2+Cxn,两边都是关于x的可导函数，求导得n(1+x)n1=C+2Cx+3Cx2+nCxn1,令x=1得，n2n1=C+2C+3C+nC,即Sn=C+2C+nC=n2n1 说明要注意思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力 通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维 由求导公式(xn)=nxn1,可联想到它们是另外一个和式的导数 关键要抓住数列通项的形式结构 本题难点是学生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想 第(1)题要分x=1和x1讨论，等式两边都求导例6（1）求证（2） 求证 （1）证：令 原不等式 令 令 （2）令 上式也成立将各式相加 即 例7 已知为正整数. （）设； （）设证明：（）因为，所以（）对函数求导数: 即对任意情景再现4 设f(x)在点x0处可导，a为常数，则 等于( )A.f/(x0) B.2af/(x0) C.af/(x0) D.05求证下列不等式（1） （2） （3） 6 已知，函数设，记曲线在点处的切线为。 （）求的方程；（）设与轴的交点为，证明：若，则C类例题例8 设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、dR)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-。(1)求a、b、c、d的值；(2)当x-1,1时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1,x2-1,1时，求证：|f(x1)-f(x2)|。解(1) 函数f(x)图象关于原点对称，对任意实数x，都有f(-x)=- f(x).-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx. f(x)=3ax2+c.x=1时,f(x)取极小值-. f(1)=0且f(1)=- ,即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1.(2)证明：当x-1,1时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得过这两点的切线互相垂直，则由f(x)=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)=-1. (*)x1、x2-1,1, x12-10，x22-10(x12-1)(x22-1)0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.(3)证明：f(x)=x2-1,由f(x)=0,得x=1.当x(-，-1)或（1，+）时，f(x)0; 当 x(-1，1)时，f(x)0.f(x)在-1,1上是减函数，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.在-1,1上，|f(x)|.于是x1,x2-1,1时，|f(x1)-f(x2)|f(x1)|+|f(x2)|+=.故x1,x2-1,1时,|f(x1)-f(x2)|.说明 若x0点是y=f(x)的极值点，则f(x0)=0,反之不一定成立；在讨论存在性问题时常用反证法；利用导数得到y=f(x)在-1,1上递减是解第(3)问的关键.例9 已知平面向量=(,-1).=(,).(1)证明；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2-3) ，=-k+t，试求函数关系式k=f(t)；(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.分析 通过向量的运算转化为函数问题解(1)=+(-1)=0 .(2)，=0 即+(t2-3) (-k+t)=0.整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)=0=0，=4，=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(3)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数.于是f(t)= (t2-1)= t(t+1)(t-1).令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)极大值极小值当t=-1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.当t=-1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-.函数f(t)=t(t2-3)的图象如图1321所示，可观察出：(1)当k或k-时,方程f(t)-k=0有且只有一解；(2)当k=或k=-时,方程f(t)-k=0有两解；(3) 当-k时,方程f(t)-k=0有三解.说明 导数的应用为函数的作图提供了新途径。例10 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0ab,证明：0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.解：(1)函数f(x)的定义域为(-1，+)，f(x)=-1. 令f(x)=0，解得x=0.当-1x0时，f(x)0; 当x0时， f(x)0.又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值,最大值为0.（2）证法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=aln由（1）结论知ln(1+x)-x-1，且x0)由题设0ab，得因此，.又，.综上 .证法二：.设，则.当0xa时，因此F(x)在上为增函数.从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a). 即.设，则当x0时，因此上为减函数。即，综上，原不等式得证。链接1证明：当x0时，有2已知数列an各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，都有4Sn=(an+1)2(1)求数列an的通项公式；(2)若2ntSn对于任意的nN*成立，求实数t的最大值。分析：利用Sn-Sn-1=an(n2)易得an=2n-1，从而Sn=n2则问（2）转化为t恒成立，故只需求出数列的最小项，有以下求法：法一：研究数列bn的单调性。法二：数列作为一类特殊的函数，欲求的最小项可先研究连续函数的单调性，求导得，易得为函数的极小值也是最小值点，又，所以而，故注意：导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数列作为一类特殊函数其本质所在。特别提示：上几例充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，例10还说明了一点：欲用导数，得先构造函数。 例11 已知双曲线与点M（1，1），如图所示.（1）求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切；（2）设（1）中的两切点分别为A、B，其MAB是正三角形，求m的值及切点坐标。（1）证明：设，要证命题成立只需要证明关于t的方程有两个符号相反的实根。 ，且t0，t1。设方程的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题获证。（2）设，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而，即线段AB的中点在直线上。又，AB与直线垂直。故A与B关于对称， 设，则有t2-2mt+m=0 由及夹角公式知，即 由得 从而由知，代入知因此，。链接求切线方程的常见方法有：1、数刑结合。2、将直线方程代入曲线方程利用判别式。3、利用导数的几何意义。小结：深刻理解导数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的途径，成为勾通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导数还具有方法程序化，易掌握的显著特点。情景再现7设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（）用表示a，b，c；（）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围.8 已知函数 （）求的单调减区间；（）若在区间2，2.上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.9（2005山东）已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.情景再现答案1解 在处可导，必连续 2 解：（1） （2） 3解： 令x=1得 4答案C5 证：（1） 为上 恒成立 在上 恒成立（2）原式 令 （3）令 6 解：（1）的导数，由此得切线的方程，（2）依题得，切线方程中令，得，其中，（）由，有，及，当且仅当时，。（）当时，因此，且由（），所以。7 解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得 因此故，（II）解法一.当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（1，3）上单调递减.所以的取值范围为8 解：（I）令,解得或所以函数的单调递减区间为（II）因为所以因为在上,所以在单调递增,又由于在上单调递减,因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有,解得故因此即函数在区间上的最小值为9解：(I)是函数的一个极值点,即（II）由（I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100单调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）由已知得，即即设，其函数开口向上，由题意知式恒成立，解之得又所以即的取值范围为本节习题x2 x01.已知函数y=f(x)= 那么y/|x=0的值为（ ） x x0）为增函数，则( )A.b2-4ac0 B.b0,c0 C.b=0,c0 D.b2-3ac0 7 函数在区间内可导，导函数是减函数，且设，是曲线在点处的切线方程，并设函数 （）用、表示m；（）证明：当，；（）若关于x的不等式在上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系8 已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为. （）求函数的解析式；（）求函数的单调区间.9 已知是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且在和4，5上有相同的单调性，在0，2和4，5上有相反的单调性 （1）求c的值； （2）在函数的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由； （3）求的取值范围 10已知函数f(x)lnx，g(x)ax2bx，a0. （）若b2，且h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； （）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.11设函数（）证明其中为k为整数（）设为的一个极值点，证明（）设在（0,+）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明：习题参考答案1.(D) 2.(D) 3.(D) 4.(A) 5.(A) 6.(D) 7 （）解： （）证明：令 因为递减，所以递增，因此，当；当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可的最小值为0，因此即 （）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.对任意成立的充要条件是另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为于是的充要条件是 综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得 因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系 （）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 令，于是对任意成立的充要条件是 由当时当时，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即 综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系. 8 解：()由的图象过点P（0，2）,d=2知,所以 ,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1)处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,即解得b=c=-3.故所求的解析式为f(x)=x3-3x-3+2,() (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,当x1+时, (x)0;当1-x1+时, (x)0f(x)=x3-3x2-3x+2在(1+,+)内是增函数,在(-, 1-)内是增函数,在(1-,1+)内是减函数.9 解： 在和上有相反单调性， x=0是的一个极值点，故，