《线代数(理)》综合复习资料090103.doc

线性代数（理）综合复习资料一、选择填空题 1、行列式中，元素的代数余子式为 。 2、设，则的秩 。 3、已知三阶方阵的特征值为，矩阵与相似，则的全部特征值为 。4、二次型的矩阵为。5、设行列式，则 。6、设满足关系式，其中为单位矩阵，则下列说法不正确的是（ ）（1）的行列式均不为零； （2）为可逆矩阵，为不可逆矩阵；（3）； （4）。（其中符号*表示伴随矩阵）7、下列向量组中线性无关的向量组是（ ）。（1）、；（2）、；（3）、；（4）、。8、设，则下面说法不正确的是( )（1）如果，则与相似；（2）如果，则与等价；（3）如果，则为正交矩阵，其中为单位矩阵；（4）如果，则为对称矩阵。9、下列说法不正确的是（ ）（1）一个向量组的最大无关组是不唯一的；（2）向量组与其最大无关组是等价的；（3）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性相关；（4）秩相同的向量组一定是等价向量组。10、设，如果，则初等矩阵为（ ）（1）；（2）；（3）；（4）。11、行列式中，元素的代数余子式为 。12、设，则的秩 。13、设有向量，则当 时，与正交。14、二次型的矩阵为。15、设均为3阶方阵，且，则 。16、对于矩阵，下列说法不正确的是（ ）（1）如果矩阵中有一行元素全为零，则；（2）如果矩阵中有两行元素对应成比例，则；（3）如果交换矩阵的任意两行，则相应的矩阵行列式值不变；（4）如果将矩阵的某一行加到另外一行，则相应的矩阵行列式值不变。17、下列说法不正确的是（ ）（1）一个向量组的最大无关组是不唯一的；（2）向量组与其最大无关组是等价的；（3）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性相关；（4）秩相同的向量组一定是等价向量组。18、下面论断错误的是( )（1）两个初等矩阵的乘积必是可逆矩阵；（2）可逆矩阵的乘积必是可逆矩阵；（3）两个初等矩阵的乘积仍是初等矩阵；（4）可逆矩阵可分解为有限个初等矩阵的乘积。19、设矩阵的秩为（），则下列说法不正确的是（ ）（1）矩阵所有阶子式均不等于零；（2）矩阵的所有阶子式全等于零；（3）矩阵的行向量构成的向量组的秩为；（4）矩阵的列向量构成的向量组的秩为。20、设矩阵，如果，则初等矩阵为（ ）（1）；（2）；（3）；（4）。二、计算题 1、计算阶行列式的值。 2、设矩阵，求矩阵。 3、计算行列式的值。 4、设矩阵，求矩阵。 5、计算行列式的值。 6、设矩阵，求矩阵。 7、已知向量组，求该向量组的一个最大无关组。8、设有线性方程组，问为何值时，方程组有唯一解？无解？有无穷多解？9、求矩阵的特征值和相应的特征向量。 10、计算阶行列式（）的值。 11、设矩阵，求矩阵。 12、已知向量组，求该向量组的一个最大无关组。13、问为何值时，非齐次线性方程组有解？并写出通解。14、求矩阵的特征值和相应的特征向量。参考答案第一题 选择填空题1、-14；2、2；3、；4、；5、-4；6、（2）；7、（3）；8、（2）；9、（4）；10、（4）；11、10；12、3；13、2；14、；15、33；16、（3）；17、（4）；18、（3）；19、（1）；20、（1）。第二题 计算题1将第2行乘以-1分别加到3至n行得：再将第2列乘以-1分别加到3至n列得：2，3利用行列式的性质简化行列式即得（两行对应成比例）4，5利用行列式的性质简化行列式即得6，7将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可：，所以是一个最大无关组。注：该题结果不唯一。8对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组的解与系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系即得当时，方程组有唯一解（系数行列式非零）；当且时，方程组无解（）；当且时，方程组有无穷多解（）。9解：首先计算特征多项式特征值为，（二重）；求对应的特征向量：解方程组，即等价方程组 此时方程组的一个解向量为。故对应的所有特征向量为。求对应的特征向量：解方程组，即等价方程组 此时方程组的基础解系为；对应的所有特征向量为。10（其中两个行列式分别为上三角和下三角行列式）利用特殊行列式即得。11，12将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可：所以是该向量组的一个最大无关组。13解：提示：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等即得因此，当时，方程组有解；此时，等价方程组为，相应齐次方程组的基础解系为：，非齐次方程组的一个特解为，故此时方程组的解的一般形式为（为任意实数）。14解：首先计算特征多项式特征值为，（二重）；求对应的特征向量：解方程组，即等价方程组 此时一个特征向量为；故对应的所有特征向量为。求对应的特征向量：解方程组